閉部分群

$A$の部分多様体としての構造を固定する。もし、$A$がある左不変分布の積分多様体になっていたとする。定理\ref{thm131}から諸々の写像の$C^\infty$級性が自動的になるため$A$は部分Lie群になり、命題\ref{prop:111}と同じ理由により部分多様体としての構造が一意的であることが従う。つまり、$x\in A$に対し$A_x=dL_x(A_e)$であることを見れば主張が示される。

$B_x$を「$x\in A$を通る$A$内の$C^\infty$曲線から来る接ベクトルの集まり」とする。ここで曲線の$C^\infty$級性は$G$のそれで考える。例えば８の字の部分多様体ではこれは線形空間にはならない。
$$B_x:=\qty{\dv{c}{t}\in G_x\ \middle|\ c(0)=x,\ c({}^\forall t)\in A}$$
$A$内での$C^\infty$級性は$G$でのそれを導くので、$A_x\cup dL_x(A_e)\subset B_x$となる。$k:=\dim A$として$\dim\mathrm{Span} B_x=k$を示せばいいので、線形独立な$\dv{c_1}{t},\dots,\dv{c_{k+1}}{t}\in B_x$が存在したと仮定して矛盾を導く。
$$\phi:(-\epsilon,\epsilon)^{k+1}\ni(t_1,\dots,t_{k+1})\longmapsto x^{-k-1}c_1(t_1)\dots c_{k+1}(t_{k+1})\in G$$
という写像は十分小さい$\ve$により像が$A$に含まれる（$A$は部分群！）ような$G$への埋め込みである。その埋め込み像は$G$の$k+1$次元部分多様体であるが、それは$k$次元多様体からの$C^\infty$級写像では覆えない（第二可算性を使う）。

部分Lie群は然るべき分布に対する極大積分多様体になる（定理\ref{thm:311}）から、$G$の各点に対し高々可算集合$D\subset\R^{n-k}$が存在し、$H\subset G$は局所的には$\R^k\times D\subset\R^n$と微分同相。$H\subset G$が埋め込みであることも閉であることも局所的な性質：

局所的な性質
$G$の開被覆$\{U_\lambda\}$に対し、$H\subset G$が性質(P)を持つ$\iff H\cap U_\lambda\subset U_\lambda$が$\forall\lambda$で性質(P)を持つ
となる性質(P)を局所的な性質と呼ぶ。

Cantor集合
高々可算集合$D\subset\R^{n-k}$が閉であれば孤立点を持つ。

平行移動から言える「$D$が離散的$\iff D$が孤立点を持つ」と上の事実から、$H\subset G$が局所的に閉であること局所的に埋め込みであることと各点での$D$の離散性は全て同値。

示すべきことは$A$が（埋め込まれた）部分多様体であることだけである。$\exp:U\to\exp(U)$が微分同相となる開近傍$U\subset\g$と部分空間$\a\subset\g$であって$\exp(U\cap\a)=\exp(U)\cap A$なるものが取れれば、$A$の平行移動により各点で埋め込みであることが言え、証明が完了する。

$$\a:=\set{X\in\g}{\forall t\in\R\ \ \exp(tX)\in A}$$
が$\g$の部分空間であることをまず見る、スカラー倍については良いから和について閉じることを言う。
$\g\times\g\ni(X,Y)\mapsto\exp^{-1}(\exp X\exp Y)$ はTaylorの定理（\ref）から$X+Y+O(\norm{X}^2+\norm{Y}^2)$ だから
$$\qty(\exp\qty(\frac{tX}{n})\exp\qty(\frac{tY}{n}))^n=\exp\qty(n\times\qty(\frac{tX}{n}+\frac{tY}{n}+O\qty(\frac1{n^2})))\to\exp(tX+tY)$$
$\exp(t(X+Y))$に収束する$A$内の点列が存在するから、閉性から$\exp(t(X+Y))\in A$。

また、\refから $\a\times\a^\perp\ni(X,Y)\mapsto\exp X\exp Y\in G$は局所微分同相である（$\a^\perp$は$\a\subset\g$の補空間）。故に $\exp(U\cap\a)\supset\exp(U)\cap A$ （逆の包含は自動的）となる$U$を見つけるためには、$\exp(\mathrm{pr}_{\a^\perp}({}^\exists U))\cap A=\{e\}$ となればいい。何故なら、$\exp(U)\cap A$の元を$\exp\a\times\exp\a^\perp$の形に表せば、$\exp\a^\perp$のパートが$A$に入ることになるから。

そのような$U$が無いと仮定すれば、$\exp(X_n)\in A$なる$\a^\perp$内の点列で0に収束する$\{X_n\}$が存在することになる。$X_n$をその部分列に取りかえることで、$\{\frac{X_n}{\norm{X_n}}\}$がある$X\in\a^\perp$に収束している（$\a^\perp$の単位球面の点列コンパクト性）として良い。$N_n:=\lfloor t\norm{X_n}^{-1}\rfloor$ と置くと、$\exp(N_nX_n)\in A$である一方それは$\exp(tX)$に収束する。故に$\exp({}^\forall tX)\in A$となり、$X\in\a\cap\a^\perp$である。$X$の構成から$\norm{X}=1$だからこれは矛盾。