連続準同型
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連続準同型
連続群準同型$\phi:\R\to G$は自動的に$C^\infty$級。
$$\exp:\g\supset U\xrightarrow{\cong}\exp(U)\subset G$$
が同相となる$0$の開近傍$U$を取る。十分小さい$t$で $\phi(t)=\exp({}^{\exists !} X(t))$ と$X(t)$を定めると
$$\forall n\ \exists\epsilon\ -\epsilon< t<\epsilon\Rightarrow X(nt)=nX(t)$$
$X:=\lim_{N\to\infty}2^NX(2^{-N})$は十分大きい$N$で一定だから極限が存在する。$p\in\Q$に対し十分小さい$t$で$X(pt)=pX(t)$となるから
$$\phi(p)=\phi(2^{-N}p)^{2^N}=\exp(2^NX(2^{-N}p))=\exp(pX)$$
$\phi$の連続性から$\phi(t)=\exp(tX)\ (t\in\R)$である。
積$m:G\times G\to G$の微分$dm:T_eG\times T_eG\to T_eG$は$(v,w)\mapsto v+w$である。
全微分を計算するためには偏微分を計算すればよく、それは$m(x,e)$を調べ$x$に関し微分するという手続きである。$m(x,e)=x$だから明らか。
連続群準同型$\phi:G\to H$は自動的に$C^\infty$級。
LieGrpからTopGrpへの忘却関手が忠実充満であることを意味している。
$X\in\g$に対し$\R\ni t\mapsto\phi(\exp(tX))\in H$は連続群準同型、従って滑らかである。$\g$の基底$X_1,\dots,X_n$に対し
$\xymatrix{
\R^n\ni(t_1,\dots,t_n)\ar[r]\ar[dr] &\exp(t_1X_1)\cdots\exp(t_nX_n)\in G\ar[d]_\phi\\
&\prod_{i=1}^n\phi(\exp(t_iX_i))\in H
}$
これにより$\R^n\to H$が$C^\infty$級であり、逆関数定理から$\R^n\to G$が局所微分同相（前の補題による）だから$\phi$はある単位元近傍で$C^\infty$級。平行移動をすれば$G$全域で$C^\infty$級。
位相群をLie群化する微分構造は高々一意。
極大アトラス$\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2$に対し、$\id:(G,\mathcal{A}_1)\to(G,\mathcal{A}_2)$とその逆は連続群準同型だから。
ではLie群化可能な位相群はどういったクラスか？と言うと、実は局所Euclidな位相群に対しては必ずLie群化する微分構造が存在する。つまり、TopGrpのうち局所Euclidな位相群のなす部分圏へのLieGrpからの忘却関手は圏同値を与える。これがHilbertの第五問題である。
これは、位相多様体の圏での群対象と微分多様体での群対象が一致するという話だが、実は実解析多様体での群対象とも一致するらしい。
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