群の共役作用と環の括弧積

$\Psi$の群準同型性はOK（写像の微分を取る操作は関手的）だから$C^\infty$級性を見る。$v=\pdv{x_j}\in T_pM,\ f\in C^\infty(M)$ に対し
$$dg_p(v)f=\pdv{x_j}f(g\times x)$$
$f(g\times x)$は$g,x$に関し滑らかだから、その偏微分もそう。$f$として$x_i$という座標関数を取れば、$dg_p(v)f$の$C^\infty$級性とは$\Psi(g)$の第$(i,j)$成分の$g$に関する$C^\infty$級性である。故に$\Psi$は滑らか。

$$\Ad(\exp(tX))Y=\exp(tX)Y\exp(-tX)=Y\exp(-tX)=(R_{\exp(tX)}^{-1})_*Y$$
が$Y$の左不変性から従う。両辺$\dv{t}\lvert_{t=0}$をすると、最左辺は（$\exp(tX)$が$X_e$を代表する曲線だから）$\ad(X)Y$であり、最右辺は\refから$L_X Y=[X,Y]$である。

$I\subset\g$がイデアルとは、$[X,I]\subset I\ \ \forall X\in\g$となることである。前の定理から、これは
\begin{align} &\iff\dv{t}\lvert_{t=0}\exp(tX)I\exp(-tX)\subset I\ \ \forall X\in\g\\ &\iff\exp(X)I\exp(-X)\subset I\ \ \forall X\in\g\\ &\iff gIg^{-1}\subset I\ \ \forall g\in G \end{align}
と同値である、$\exp(X)$と書ける元全体は$G$の単位元の近傍なので、連結性から全ての$G$の元は$\exp(X)$の形の元の幾つかの積であることに注意。
部分Lie環$I\subset\g$が共役不変であることはその分布が共役不変であることと同値だから、その積分多様体が共役不変であることと同値。

$\g$の中心は$Z(\g):=\set{X\in\g}{\forall Y\in\g\ [X,Y]=0}$である。$X\in\g$に対し
\begin{align} & [X,Y]=0\ \ \forall Y\in\g\\ \iff & \exp(Y)X\exp(-Y)=X\ \ \forall Y\in\g\\ \iff & gXg^{-1}=X\ \ \forall g\in G \end{align}
と、前定理の証明と同様にして分かる。連結部分Lie群と部分Lie環の対応は指数写像でも記述できる：
$$H=\bigcup_{n=0}^\infty \exp(\h)^n$$
から、$\exp(gXg^{-1})=g\exp(X)g^{-1}$ と合わせて主張を得る。

可換Lie群$G$の共役作用は自明である。故に随伴表現$Ad$は自明な表現であり、更にその微分である$ad$も零写像である。これは$\g$が可換であることを示している。

可換Lie環$\g$は定義から構造が次元$n$だけで定まり、更に$\R^n$のLie環はその形をしている。単連結Lie群とLie環の対応から、$G$の普遍被覆は$\R^n$であり、被覆写像$\R^n\to G$の商は離散部分群である。適切に$GL(n,\R)$で動かせば$Z^l\times\{0\}\subset\R^n$という形になり、そこから$G\cong\R^{n-l}\times\T^l$が従う。

$\R^k\times\T^l$は可換である。

$\mathrm{Span}\{X,Y\}\subset\g$が可換だから、対応する連結部分Lie群$H\subset G$が可換になる。可換Lie群の指数写像が普通の指数関数になっていることを見てもいいし、
$$\exp(X+Y)=\lim_{n\to\infty}\left(\exp\left(\frac{X}{n}\right)\exp\left(\frac{Y}{n}\right)\right)^n=\exp(X)\exp(Y)$$
としてもいい。

閉な条件式だから、$A$は$\GL(V)$の部分Lie群になることに注意。次を示せば十分：
$$\exp(ta)\{v,w\}=\{\exp(ta)v,\exp(ta)w\}\iff a\{v,w\}=\{av,w\}+\{v,aw\}$$
$\Rightarrow$はLiebniz則に気を付ければよく、$\Leftarrow$は冪級数で計算したらすぐ出てくる。

または、$\{,\}:V\times V\to V$を$\Psi:V\otimes V\to V$と思えば$a\circ\Psi=\Psi\circ(a\otimes1+1\otimes a)$となって、
$$\exp(ta)\circ\Psi=\Psi\circ\exp(a\otimes1+1\otimes a)=\Psi\circ(\exp(a)\otimes1)\circ(1\otimes\exp(a))=\Psi\circ(\exp(a)\otimes\exp(a))$$
と書くと見やすい。

普遍被覆$\tilde{G}$に対し、単連結Lie群とLie環の対応から$\tilde{G}$の自己同型と$\g$の自己同型が一対一に対応する。実は位相まで含めて$\tilde{G}$の自己同型群と$\g$の自己同型群は同型である。先の定理から$\g$の自己同型群はLie群になっている。
被覆空間論の話を思い出せば、$\tilde{G}$の自己同型であって$\ker(\tilde{G}\to G)$を保つもの全体が$G$の自己同型である。それは閉な条件だから、$G$の自己同型群もLie群になる。