q-Jacobi多項式の変換公式
前の記事( Jacobi多項式の対称性について )で証明したJacobi多項式の対称性$\rho_n^{(a,b)}(x)=(-1)^n\rho_n^{(b,a)}(1-x)$を$q$類似に一般化することを考える. $q$類似においては$x\mapsto 1-x$という変換では上手くいかないので, 代わりに$x^n\mapsto (x;q)_n$のような形の変換を考えることになる.
以下の等式が成り立つ.
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},b;q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{cxq^n}{b}\right)^k&=\frac{(q;q)_n}{(c;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b;q)_k}{(q;q)_k}\frac{(c/b;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}\left(\frac cb\right)^k(x;q)_k
\end{align*}
$q$二項定理から得られる式
\begin{align*}
x^k=\sum_{j=0}^k(-1)^j\frac{(q;q)_k}{(q;q)_j(q;q)_{k-j}}q^{\binom{j+1}2-jk}(x;q)_j
\end{align*}
を用いると,
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},b;q)_k}{(c,q;q)_k}\left(dx\right)^k&=\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n},b;q)_k}{(c,q;q)_k}d^k\sum_{j=0}^k(-1)^j\frac{(q;q)_k}{(q;q)_j(q;q)_{k-j}}q^{\binom{j+1}2-jk}(x;q)_j\\
&=\sum_{0\leq j}\frac{(-1)^j(x;q)_jq^{\binom{j+1}2}}{(q;q)_j}\sum_{j\leq k}\frac{(q^{-n},b;q)_k}{(c;q)_k(q;q)_{k-j}}d^kq^{-jk}\\
&=\sum_{0\leq j}\frac{(-1)^j(q^{-n},b,x;q)_j}{(c,q;q)_j}d^jq^{-\binom j2}\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(q^{j-n},bq^j;q)_k}{(cq^j,q;q)_k}(dq^{-j})^k
\end{align*}
$d=\frac{cq^n}{b}$として, $q$-Vandermondeの恒等式を用いると,
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(q^{j-n},bq^j;q)_k}{(cq^j,q;q)_k}(dq^{-j})^k&=\frac{(c/b;q)_{n-j}}{(cq^j;q)_{n-j}}
\end{align*}
となるので,
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},b;q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{cxq^n}{b}\right)^k&=\sum_{0\leq j}\frac{(-1)^j(q^{-n},b,x;q)_j}{(c,q;q)_j}\left(\frac{cq^n}{b}\right)^jq^{-\binom j2}\frac{(c/b;q)_{n-j}}{(cq^j;q)_{n-j}}\\
&=\frac{(q;q)_n}{(c;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b;q)_k}{(q;q)_k}\frac{(c/b;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}\left(\frac cb\right)^k(x;q)_k
\end{align*}
となって示される.
$q$-(little)Jacobi多項式を以下のように定義する.
\begin{align*}
\rho_n^{(a,b)}(x;q):=(-1)^n\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},abq^{n-1};q)_k}{(a,q;q)_k}(xq)^k
\end{align*}
以下の等式が成り立つ.
\begin{align*}
\rho_n^{(a,b)}(x;q)&=b^{-n}q^{-\binom n2}\frac{(b;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},abq^{n-1};q)_k}{(b,q;q)_k}q^k(bx;q)_k
\end{align*}
前の定理において, $b\mapsto abq^{n-1}, c\mapsto a, x\mapsto bx$とすればよい.
前回の記事(
非整数階積分のq類似
)において,
\begin{align*}
[a,b;q]_+ x^n=\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n
\end{align*}
を満たすような作用素$[a,b;q]_+$を定義した. これと, 変換$x^n\mapsto (bx;q)_n$を合成した線形作用素を
\begin{align*}
\langle a,b;q\rangle_+ x^n:=\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}(bx;q)_n
\end{align*}
として定義する. このとき, 前の系より
\begin{align*}
\langle a,c;q\rangle_+ \rho_n^{(a,b)}(x;q)&=(-c)^nq^{\binom n2}\frac{(a;q)_n}{(c;q)_n}\rho_n^{(ab/c,c)}(x;q)
\end{align*}
が成り立つことが分かる. 特に
\begin{align*}
\langle a,b;q\rangle_+ \rho_n^{(a,b)}(x;q)&=(-b)^nq^{\binom n2}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}\rho_n^{(a,b)}(x;q)
\end{align*}
より, $\rho_n^{(a,b)}(x;q)$は$\langle a,b;q\rangle_+$の固有関数となる直交関数系であることが分かる. 今回定義した$\langle a,b;q\rangle_+$はべき級数で表されるものだけに対して定義されている. より一般的な関数に対してこの作用を定義することについても考えてみたいと思う.
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