非整数階積分のq類似
前の記事(
非整数階積分とJacobi多項式
)において,
\begin{align*}
[a,b]_+ x^n&=\frac{(a)_n}{(b)_n}x^n
\end{align*}
を満たす作用素$[a,b]_+$定義した. 今回はこの$q$類似として,
\begin{align*}
[a,b;q]_+x^n=\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n
\end{align*}
関数$f(x)$に対し, 区間$(0,1)$における$q$積分を以下のように定義する.
\begin{align*}
\int_0^1f(x)\,d_qx&:=\sum_{0\leq n}q^nf(q^n)
\end{align*}
ベータ積分
\begin{align*}
\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
\end{align*}
の$q$類似として以下が成り立つ.
$q^{\alpha}=a$として,
\begin{align*}
\int_0^1x^{\alpha-1}\frac{(xq;q)_{\infty}}{(bx;q)_{\infty}}\,d_qx=\frac{(ab,q;q)_{\infty}}{(a,b;q)_{\infty}}
\end{align*}
が成り立つ.
\begin{align*}
\int_0^1x^{\alpha-1}\frac{(xq;q)_{\infty}}{(bx;q)_{\infty}}\,d_qx&=\sum_{0\leq n}a^n\frac{(q^{n+1};q)_{\infty}}{(bq^n;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(q;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}a^n\frac{(b;q)_n}{(q;q)_n}
\end{align*}
ここで, $q$二項定理より,
\begin{align*}
\sum_{0\leq n}a^n\frac{(b;q)_n}{(q;q)_n}&=\frac{(ab;q)_{\infty}}{(a;q)_{\infty}}
\end{align*}
であるから定理が従う.
上の$q$ベータ積分において, $\alpha\mapsto \alpha+n, b\mapsto b/a$とすると,
\begin{align*}
\int_0^1x^{n+\alpha-1}\frac{(xq;q)_{\infty}}{(bx/a;q)_{\infty}}\,d_qx&=\frac{(b,q;q)_{\infty}}{(a,b/a;q)_{\infty}}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}
\end{align*}
が成り立つ. よって,
\begin{align*}
[a,b;q]_+f(x):=\frac{(a,b/a;q)_{\infty}}{(b,q;q)_{\infty}}\int_0^1f(xt) t^{\alpha-1}\frac{(tq;q)_{\infty}}{(bt/a;q)_{\infty}}\,d_qt
\end{align*}
によって定義すれば,
\begin{align*}
[a,b;q]_+x^n=\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n
\end{align*}
を満たすことが分かる. 前回の記事(
非整数階積分と随伴作用素
)のように随伴作用素を構成することや, $\langle a,b\rangle_+,\langle a,b\rangle^+$の$q$類似を構成しその固有関数となる直交関数系を求めることが今後の研究課題である.
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