前の記事( 非整数階積分とJacobi多項式 )において,[a,b]+xn=(a)n(b)nxnを満たす作用素[a,b]+定義した. 今回はこのq類似として,[a,b;q]+xn=(a;q)n(b;q)nxn関数f(x)に対し, 区間(0,1)におけるq積分を以下のように定義する.∫01f(x)dqx:=∑0≤nqnf(qn)ベータ積分∫01xa−1(1−x)b−1dx=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)のq類似として以下が成り立つ.
qα=aとして,∫01xα−1(xq;q)∞(bx;q)∞dqx=(ab,q;q)∞(a,b;q)∞が成り立つ.
∫01xα−1(xq;q)∞(bx;q)∞dqx=∑0≤nan(qn+1;q)∞(bqn;q)∞=(q;q)∞(b;q)∞∑0≤nan(b;q)n(q;q)nここで, q二項定理より,∑0≤nan(b;q)n(q;q)n=(ab;q)∞(a;q)∞であるから定理が従う.
上のqベータ積分において, α↦α+n,b↦b/aとすると,∫01xn+α−1(xq;q)∞(bx/a;q)∞dqx=(b,q;q)∞(a,b/a;q)∞(a;q)n(b;q)nが成り立つ. よって,[a,b;q]+f(x):=(a,b/a;q)∞(b,q;q)∞∫01f(xt)tα−1(tq;q)∞(bt/a;q)∞dqtによって定義すれば,[a,b;q]+xn=(a;q)n(b;q)nxnを満たすことが分かる. 前回の記事( 非整数階積分と随伴作用素 )のように随伴作用素を構成することや, ⟨a,b⟩+,⟨a,b⟩+のq類似を構成しその固有関数となる直交関数系を求めることが今後の研究課題である.
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