ベクトルのなす角について

はじめに

1 ではCauchy-Schwarzの不等式を示したのでした．本記事では，ベクトルのなす角を一般の次元で定め，それが既知の$2,3$次元におけるなす角の定義と整合性がとれているのかを確認？していきます．

ベクトルのなす角

最初に記号を導入しておけばよかったと今更後悔していますが，次のような定義を与えておきます：

すぐに分かることとして，ベクトル$\mathbb{a}\in {\mathbb{R}}^n$に対して「$\mathbb{a}=\mathbb{0}⟺||\mathbb{a}||=0$」や$|\mathbb{a}|=\sqrt{(\mathbb{a},\mathbb{a})}$が得られます．
さて，この記号をもとにCaushy-Schwarzの不等式は$$(\mathbb{a},\mathbb{b}{)}^2\le ||\mathbb{a}|{|}^2||\mathbb{b}|{|}^2$$と書け，両辺$\sqrt{}$をとることで$|(\mathbb{a},\mathbb{b})|\le ||\mathbb{a}||||\mathbb{b}||$ を得ます（大きさは非負であることに注意する）．つまり

$$-|\mathbb{a}||||\mathbb{b}||\le (\mathbb{a},\mathbb{b})\le ||\mathbb{a}||||\mathbb{b}||$$

が成り立ちます．ここで，ベクトルたち$\mathbb{a},\mathbb{b}$が共にゼロベクトルにならないと仮定すると，すぐに分かることから$||\mathbb{a}||\ne 0,||\mathbb{b}||\ne 0$ なので，いましがた得られた不等式を$||\mathbb{a}||||\mathbb{b}||>0$で割ることで

$$-1\le \frac{(\mathbb{a},\mathbb{b})}{||\mathbb{a}||||\mathbb{b}||}\le 1$$

を得られます．

さて，これをなす角と呼ぶためには，既存の概念と一致しているかどうかが気になる訳ですが，実際次が成立します（簡単なので，手を動かしてみてください）：

さいごに

ここまで読んでくださった方に感謝申し上げます．また機会があれば，新しい記事を作成したときにお目通しを頂けたら何よりです．