ベクトルのなす角について

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はじめに

1 ではCauchy-Schwarzの不等式を示したのでした．本記事では，ベクトルのなす角を一般の次元で定め，それが既知の$2,3$次元におけるなす角の定義と整合性がとれているのかを確認？していきます．

ベクトルのなす角

最初に記号を導入しておけばよかったと今更後悔していますが，次のような定義を与えておきます：

大きさ&内積

ベクトルたち$\mathbb{a}=(a_i)_i,\mathbb{b}=(b_i)_i\in \mathbb{R}^n$に対して$||\mathbb{a}||:=\sqrt{a_1^2+\dots a_n^2}$ をベクトル$\mathbb{a}$の大きさ（長さ）と呼び， $(\mathbb{a},\mathbb{b}):=a_1b_1+\dots + a_nb_n$を$\mathbb{a}$と$\mathbb{b}$の内積という．

すぐに分かることとして，ベクトル$\mathbb{a}\in \mathbb{R}^n$に対して「$\mathbb{a}=\mathbb{0}\iff||\mathbb{a}||=0$」や$|\mathbb{a}|=\sqrt{(\mathbb{a},\mathbb{a})}$が得られます．
さて，この記号をもとにCaushy-Schwarzの不等式は$$(\mathbb{a},\mathbb{b})^2\leq ||\mathbb{a}||^2 ||\mathbb{b}||^2$$と書け，両辺$\sqrt{}$をとることで$|(\mathbb{a},\mathbb{b})|\leq ||\mathbb{a}|| ||\mathbb{b}||$ を得ます（大きさは非負であることに注意する）．つまり

$$- |\mathbb{a}||\,||\mathbb{b}||\leq (\mathbb{a},\mathbb{b})\leq ||\mathbb{a}||\,||\mathbb{b}|| $$

が成り立ちます．ここで，ベクトルたち$\mathbb{a},\mathbb{b}$が共にゼロベクトルにならないと仮定すると，すぐに分かることから$||\mathbb{a}||\neq 0,\,||\mathbb{b}||\neq 0$ なので，いましがた得られた不等式を$||\mathbb{a}||||\mathbb{b}||>0$で割ることで

$$ -1 \leq \frac{(\mathbb{a},\mathbb{b})}{||\mathbb{a}||\,||\mathbb{b}||} \leq 1 $$

を得られます．

ベクトルのなす角

非ゼロなベクトルたち$\mathbb{0}\neq \mathbb{a},\mathbb{b}\in \mathbb{R}^n$に対して，次で定まる値を$\mathbb{a}$と$\mathbb{b}$のなす角と呼ぶ：

$$ \theta:= \cos^{-1}(\frac{(\mathbb{a},\mathbb{b})}{||\mathbb{a}||\,||\mathbb{b}||}). $$

ここで，$\cos:[0,\pi]\to [-1,1]$，つまり$\cos^{-1}$ はアーク・コサイン関数のこと．

さて，これをなす角と呼ぶためには，既存の概念と一致しているかどうかが気になる訳ですが，実際次が成立します（簡単なので，手を動かしてみてください）：

なす角に関する幾何的な性質たち

非ゼロなベクトルたち$\mathbb{0}\neq \mathbb{a},\mathbb{b}\in \mathbb{R}^n$に対して，以下が成立する：
(i) $\theta=0$または$\theta=\pi \iff $あるスカラー$k\in \mathbb{R}$ を用いて$ \mathbb{b}=k\mathbb{a}$と書ける，
(ii) $\theta=\frac{\pi}{2}\iff (\mathbb{a},\mathbb{b})=0.$