3ψ3の部分和の変換公式
前の記事(
${}_8\psi_8$の部分和の隣接関係式2
)において, ${}_8\psi_8$の部分和の変換公式を導いた. 今回はそれを特殊化することによって, ${}_3\psi_3$の部分和の変換公式を導きたいと思う.
\begin{align}
\Lambda_m(b,c,d|e,f,g):=\sum_{m\leq n}\frac{(b,c,d;q)_n}{(e,f,g;q)_n}q^n
\end{align}
と定義し, $\Lambda_{< m}:=\Lambda_0-\Lambda_m$とする. 前の記事(
${}_8\psi_8$の部分和の隣接関係式2
)の定理1, 定理2, 系1において$b,c,d$を$aq/b,aq/c,aq/d$に置き換えてから$a\to 0$とすると以下を得る.
$efgq^2=bcd$のとき,
\begin{align}
&\frac{(f,b/g,c/g,d/g;q)_Ne^{-N}}{(q/g,fq/b,fq/c,fq/d;q)_N}\Lambda_m(e,fq^N,gq^{-N}|b,c,d)\\
&=\Lambda_m(e,f,g|b,c,d)+\frac{(e,f,g;q)_{\infty}}{e(b,c,d;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(b/g,c/g,d/g;q)_n}{(fq/b,fq/c,fq/d;q)_{n+1}}q^{-\binom{n+1}2}\left(-\frac{g}e\right)^n\\
&-\frac {(e,f;q)_m(g;q)_{m-1}}{e(b,c,d;q)_{m-1}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(b/g,c/g,d/g,fq^m;q)_n}{(fq/b,fq/c,fq/d;q)_{n+1}(q^{2-m}/g;q)_n}\left(\frac{q^{1-m}}e\right)^n
\end{align}
が成り立つ.
$efgq^2=bcd$のとき,
\begin{align}
&\frac{(f,b/g,c/g,d/g;q)_Ne^{-N}}{(q/g,fq/b,fq/c,fq/d;q)_N}\Lambda_N(e,fq^N,gq^{-N}|b,c,d)\\
&=\Lambda_0(e,f,g|b,c,d)+\frac{(e,f,g;q)_{\infty}}{e(b,c,d;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(b/g,c/g,d/g;q)_n}{(fq/b,fq/c,fq/d;q)_{n+1}}q^{-\binom{n+1}2}\left(-\frac{g}e\right)^n\\
&\qquad-\frac 1e\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(e;q)_{n+1}(b/g,c/g,d/g;q)_n(f;q)_{2n+1}}{(b,c,d;q)_n(fq/b,fq/c,fq/d;q)_{n+1}}q^{-\binom{n+1}2}\left(-\frac ge\right)^n\\
&\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(e,b/g,c/g,d/g;q)_n(f;q)_{2n}}{(b,c,d,fq/b,fq/c,fq/d;q)_n}q^{-\binom n2}\left(-\frac ge\right)^n
\end{align}
が成り立つ.
$efgq^2=bcd$のとき,
\begin{align}
&\frac{(f,b/g,c/g,d/g;q)_Ne^{-N}}{(q/g,fq/b,fq/c,fq/d;q)_N}\Lambda_{< N}(e,fq^N,gq^{-N}|b,c,d)\\
&=-\frac{(1-b/q)(1-c/q)(1-d/q)}{e(1-g/q)}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(b/g,c/g,d/g,f;q)_n}{(fq/b,fq/c,fq/d;q)_{n+1}(q^2/g;q)_n}\left(\frac qe\right)^n\\
&\qquad+\frac 1e\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(e;q)_{n+1}(b/g,c/g,d/g;q)_n(f;q)_{2n+1}}{(b,c,d;q)_n(fq/b,fq/c,fq/d;q)_{n+1}}q^{-\binom{n+1}2}\left(-\frac ge\right)^n\\
&\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(e,b/g,c/g,d/g;q)_n(f;q)_{2n}}{(b,c,d,fq/b,fq/c,fq/d;q)_n}q^{-\binom n2}\left(-\frac ge\right)^n
\end{align}
が成り立つ.
次に, 前の記事( ${}_8\psi_8$の部分和の隣接関係式2 )の定理1, 定理2, 系1において$d,e,f$を$aq/d,aq/e,aq/f$として$a\to 0$とすると以下を得る.
$bcgq^2=def$のとき,
\begin{align}
&\frac{(q/f,d/g,e/g;q)_N}{(q/g,bq/f,cq/f;q)_N}\Lambda_m(b,c,gq^{-N}|d,e,fq^{-N})\\
&=\Lambda_m(b,c,g|d,e,f)-\frac qf\frac{(b,c,g;q)_{\infty}}{(d,e,f;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(d/g,e/g;q)_n}{(bq/f,cq/f;q)_{n+1}}\left(\frac{gq}f\right)^n\\
&\qquad+\frac qf\frac{(b,c;q)_m(g;q)_{m-1}}{(d,e,f;q)_{m-1}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(d/g,e/g,q^{2-m}/f;q)_n}{(bq/f,cq/f;q)_{n+1}(q^{2-m}/g;q)_n}q^n
\end{align}
が成り立つ.
$bcgq^2=def$のとき,
\begin{align}
&\frac{(q/f,d/g,e/g;q)_N}{(q/g,bq/f,cq/f;q)_N}\Lambda_N(b,c,gq^{-N}|d,e,fq^{-N})\\
&=\Lambda_0(b,c,g|d,e,f)-\frac qf\frac{(b,c,g;q)_{\infty}}{(d,e,f;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(d/g,e/g;q)_n}{(bq/f,cq/f;q)_{n+1}}\left(\frac{gq}f\right)^n\\
&\qquad+\frac qf\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(b,c;q)_{n+1}(d/g,e/g;q)_n}{(d,e;q)_n(bq/f,cq/f;q)_{n+1}}\left(\frac{gq}f\right)^n\\
&\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(b,c,d/g,e/g;q)_n}{(d,e,bq/f,cq/f;q)_n}\left(\frac{gq}f\right)^n
\end{align}
が成り立つ.
$bcgq^2=def$のとき,
\begin{align}
&\frac{(q/f,d/g,e/g;q)_N}{(q/g,bq/f,cq/f;q)_N}\Lambda_{< N}(b,c,gq^{-N}|d,e,fq^{-N})\\
&=\frac qf\frac{(1-d/q)(1-e/q)(1-f/q)}{1-g/q}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(d/g,e/g,q^2/f;q)_n}{(bq/f,cq/f;q)_{n+1}(q^2/g;q)_n}q^n\\
&\qquad-\frac qf\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(b,c;q)_{n+1}(d/g,e/g;q)_n}{(d,e;q)_n(bq/f,cq/f;q)_{n+1}}\left(\frac{gq}f\right)^n\\
&\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(b,c,d/g,e/g;q)_n}{(d,e,bq/f,cq/f;q)_n}\left(\frac{gq}f\right)^n
\end{align}
が成り立つ.
次に, 前の記事( ${}_8\psi_8$の部分和の隣接関係式2 )の定理1, 定理2, 系1において, $b,c,g$を$aq/b,aq/c,aq/g$として$a\to 0$とすると以下を得る.
$defq^2=bcg$のとき,
\begin{align}
&\frac{(f,g/d,g/e;q)_N}{(g,fq/b,fq/c;q)_N}\Lambda_m(d,e,fq^N|b,c,gq^N)\\
&=\Lambda_m(d,e,f|b,c,g)+\frac{g}{de}\frac{(d,e,f;q)_{\infty}}{(b,c,g;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(g/d,g/e;q)_n}{(fq/b,fq/c;q)_{n+1}}q^n\\
&\qquad-\frac{g}{de}\frac{(d,e,f;q)_m}{(b,c;q)_{m-1}(g;q)_{m}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(g/d,g/e,fq^m;q)_n}{(fq/b,fq/c;q)_{n+1}(gq^m;q)_n}q^n
\end{align}
が成り立つ.
$defq^2=bcg$のとき,
\begin{align}
&\frac{(f,g/d,g/e;q)_N}{(g,fq/b,fq/c;q)_N}\Lambda_N(d,e,fq^N|b,c,gq^N)\\
&=\Lambda_0(d,e,f|b,c,g)+\frac{g}{de}\frac{(d,e,f;q)_{\infty}}{(b,c,g;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(g/d,g/e;q)_n}{(fq/b,fq/c;q)_{n+1}}q^n\\
&\qquad-\frac{g}{de}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(d,e;q)_{n+1}(g/d,g/e;q)_n(f;q)_{2n+1}}{(b,c;q)_n(fq/b,fq/c;q)_{n+1}(g;q)_{2n+1}}q^n\\
&\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(d,e,g/d,g/e;q)_n(f;q)_{2n}}{(b,c,fq/b,fq/c;q)_n(g;q)_{2n}}q^n
\end{align}
が成り立つ.
$defq^2=bcg$のとき,
\begin{align}
&\frac{(f,g/d,g/e;q)_N}{(g,fq/b,fq/c;q)_N}\Lambda_{< N}(d,e,fq^N|b,c,gq^N)\\
&=-\frac{g(1-b/q)(1-c/q)}{de}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(g/d,g/e,f;q)_n}{(fq/b,fq/c;q)_{n+1}(g;q)_n}\left(\frac{fq}{g}\right)^n\\
&\qquad+\frac{g}{de}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(d,e;q)_{n+1}(g/d,g/e;q)_n(f;q)_{2n+1}}{(b,c;q)_n(fq/b,fq/c;q)_{n+1}(g;q)_{2n+1}}q^n\\
&\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(d,e,g/d,g/e;q)_n(f;q)_{2n}}{(b,c,fq/b,fq/c;q)_n(g;q)_{2n}}q^n
\end{align}
が成り立つ.
次に, 前の記事( ${}_8\psi_8$の部分和の隣接関係式2 )の定理1, 定理2, 系1において, $e,f,g$を$aq/e,aq/f,aq/g$として$a\to 0$とすると以下を得る.
$bcdq^2=efg$のとき,
\begin{align}
&\frac{(q/f,g/b,g/c,g/d;q)_N(e/q)^N}{(g,bq/f,cq/f,dq/f;q)_N}\Lambda_m(b,c,d|e,fq^{-N},gq^N)\\
&=\Lambda_m(b,c,d|e,f,g)-\frac qf\frac{(b,c,d;q)_{\infty}}{(e,f,g;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-gq^{2n+1}/f)(g/b,g/c,g/d;q)_n}{(bq/f,cq/f,dq/f;q)_{n+1}}q^{\binom n2}\left(-\frac{eq}{f}\right)^n\\
&\qquad+\frac{q}{f}\frac{(b,c,d;q)_m}{(e,f;q)_{m-1}(g;q)_m}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-gq^{2n+1}/f)(g/b,g/c,g/d,q^{2-m}/f;q)_n}{(bq/f,cq/f,dq/f;q)_{n+1}(gq^m;q)_n}(eq^{m-1})^n
\end{align}
が成り立つ.
$bcdq^2=efg$のとき,
\begin{align}
&\frac{(q/f,g/b,g/c,g/d;q)_N(e/q)^N}{(g,bq/f,cq/f,dq/f;q)_N}\Lambda_N(b,c,d|e,fq^{-N},gq^N)\\
&=\Lambda_0(b,c,d|e,f,g)-\frac qf\frac{(b,c,d;q)_{\infty}}{(e,f,g;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-gq^{2n+1}/f)(g/b,g/c,g/d;q)_n}{(bq/f,cq/f,dq/f;q)_{n+1}}q^{\binom n2}\left(-\frac{eq}{f}\right)^n\\
&\qquad+\frac{q}{f}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-gq^{2n+1}/f)(b,c,d;q)_{n+1}(g/b,g/c,g/d;q)_n}{(e;q)_{n}(bq/f,cq/f,dq/f;q)_{n+1}(g;q)_{2n+1}}q^{\binom n2}\left(-\frac{eq}{f}\right)^n\\
&\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(b,c,d,g/b,g/c,g/d;q)_n}{(e,bq/f,cq/f,dq/f;q)_{n}(g;q)_{2n}}q^{\binom n2}\left(-\frac{eq}{f}\right)^n
\end{align}
が成り立つ.
$bcdq^2=efg$のとき,
\begin{align}
&\frac{(q/f,g/b,g/c,g/d;q)_N(e/q)^N}{(g,bq/f,cq/f,dq/f;q)_N}\Lambda_{< N}(b,c,d|e,fq^{-N},gq^N)\\
&=\frac{q(1-e/q)(1-f/q)}f\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-gq^{2n+1}/f)(g/b,g/c,g/d,q^2/f;q)_n}{(bq/f,cq/f,dq/f;q)_{n+1}(g;q)_n}\left(\frac eq\right)^n\\
&\qquad-\frac{q}{f}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-gq^{2n+1}/f)(b,c,d;q)_{n+1}(g/b,g/c,g/d;q)_n}{(e;q)_{n}(bq/f,cq/f,dq/f;q)_{n+1}(g;q)_{2n+1}}q^{\binom n2}\left(-\frac{eq}{f}\right)^n\\
&\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(b,c,d,g/b,g/c,g/d;q)_n}{(e,bq/f,cq/f,dq/f;q)_{n}(g;q)_{2n}}q^{\binom n2}\left(-\frac{eq}{f}\right)^n
\end{align}
が成り立つ.
応用
系2は$bcgq^2=def$として,
\begin{align}
&\frac{(d/g,e/g;q)_N}{(bq/f,cq/f;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(b,c;q)_n(q/f;q)_{N-n}}{(d,e;q)_n(q/g;q)_{N-n}}\left(\frac{gq}f\right)^n\\
&=\frac qf\frac{(1-d/q)(1-e/q)(1-f/q)}{1-g/q}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(d/g,e/g,q^2/f;q)_n}{(bq/f,cq/f;q)_{n+1}(q^2/g;q)_n}q^n\\
&\qquad-\frac qf\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(b,c;q)_{n+1}(d/g,e/g;q)_n}{(d,e;q)_n(bq/f,cq/f;q)_{n+1}}\left(\frac{gq}f\right)^n\\
&\qquad+\sum_{n=0}^{N}\frac{(b,c,d/g,e/g;q)_n}{(d,e,bq/f,cq/f;q)_n}\left(\frac{gq}f\right)^n
\end{align}
と書き換えられる. これは畳み込みの形になっている. $N=m$として両辺に
\begin{align}
\frac{(bq/f,cq/f;q)_m}{(d/g,e/g;q)_m}x^m
\end{align}
を掛けて足し合わせると以下を得る.
$bcgq^2=def$のとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq m}\frac{(q/f;q)_m}{(q/g;q)_m}x^m\sum_{0\leq n}\frac{(b,c;q)_n}{(d,e;q)_n}\left(\frac{gxq}f\right)^n\\
&=\frac qf\frac{(1-d/q)(1-e/q)(1-f/q)}{1-g/q}\sum_{0\leq m}\frac{(bq/f,cq/f;q)_m}{(d/g,e/g;q)_m}x^m\sum_{n=0}^{m-1}\frac{(d/g,e/g,q^2/f;q)_n}{(bq/f,cq/f;q)_{n+1}(q^2/g;q)_n}q^n\\
&\qquad-\frac qf\sum_{0\leq m}\frac{(bq/f,cq/f;q)_m}{(d/g,e/g;q)_m}x^m\sum_{n=0}^{m-1}\frac{(b,c;q)_{n+1}(d/g,e/g;q)_n}{(d,e;q)_n(bq/f,cq/f;q)_{n+1}}\left(\frac{gq}f\right)^n\\
&\qquad+\sum_{0\leq m}\frac{(bq/f,cq/f;q)_m}{(d/g,e/g;q)_m}x^m\sum_{n=0}^{m}\frac{(b,c,d/g,e/g;q)_n}{(d,e,bq/f,cq/f;q)_n}\left(\frac{gq}f\right)^n
\end{align}
が成り立つ.
これは Heineの第3変換公式 の一般化を与えている. 定理9において, $c,e$以外を固定して$c\to\infty$とすると, 以下の系を得る.
\begin{align} &\sum_{0\leq m}\frac{(q/f;q)_m}{(q/g;q)_m}x^m\sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_n}{(d;q)_n}\left(\frac{dx}{bq}\right)^n\\ &=\frac{bgq}{df}\frac{(1-d/q)(1-f/q)}{1-g/q}\sum_{0\leq m}\frac{(bq/f;q)_m}{(d/g;q)_m}\left(\frac{dx}{bq}\right)^m\sum_{n=0}^{m-1}\frac{(d/g,q^2/f;q)_n}{(bq/f;q)_{n+1}(q^2/g;q)_n}\left(\frac{bq}d\right)^n\\ &\qquad-\sum_{0\leq m}\frac{(bq/f;q)_m}{(d/g;q)_m}\left(\frac{dx}{bq}\right)^m\sum_{n=0}^{m-1}\frac{(b;q)_{n+1}(d/g;q)_n}{(d;q)_n(bq/f;q)_{n+1}}\\ &\qquad+\sum_{0\leq m}\frac{(bq/f;q)_m}{(d/g;q)_m}\left(\frac{dx}{bq}\right)^m\sum_{n=0}^{m}\frac{(b,d/g;q)_n}{(d,bq/f;q)_n} \end{align}
