8ψ8の部分和の隣接関係式2
今回は
${}_8\psi_8$の部分和の隣接関係式
を用いて変換公式を導出したいと思う. $a^3q=bcdefg$のとき,
\begin{align}
\Omega_m(a|b,c,d,e,f,g):=\sum_{m\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(b,c,d,e,f,g;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_n}q^n
\end{align}
とする. まず, 前の記事(
${}_8\psi_8$の部分和の隣接関係式
)の定理2において$f\mapsto fq^N,g\mapsto gq^{-N}$とすると, $a^3q=bcdefg$として,
\begin{align}
A_N:=\Omega_m(a|b,c,d,e,fq^N,gq^{-N})
\end{align}
として,
\begin{align}
A_N&=-\frac{1-gq^{-2N-1}/f}{fq^N(1-aq^{-N}/bf)(1-aq^{-N}/cf)(1-aq^{-N}/df)(1-aq^{-N}/ef)}\frac{(b,c,d,e,fq^N,gq^{-N};q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{1-N}/f,aq^{N+1}/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{(1-gq^{-2N-1}/f)(b,c,d,e,fq^N;q)_m(gq^{-N};q)_{m-1}}{fq^N(1-aq^{-N}/bf)(1-aq^{-N}/cf)(1-aq^{-N}/df)(1-aq^{-N}/ef)(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{1-N}/f;q)_{m-1}(aq^{N+1}/g;q)_m}\\
&\qquad+\frac{g^2(1-fq^{N})(1-aq^{-N}/f)(1-aq^{N+1}/bg)(1-aq^{N+1}/cg)(1-aq^{N+1}/dg)(1-aq^{N+1}/eg)}{f^2q^{4N+2}(1-gq^{-N-1})(1-aq^{N+1}/g)(1-aq^{-N}/bf)(1-aq^{-N}/cf)(1-aq^{-N}/df)(1-aq^{-N}/ef)}A_{N+1}\\
&=\frac{fq^{N}}{a}\frac{1-fq^{2N+1}/g}{(1-bfq^N/a)(1-cfq^N/a)(1-dfq^N/a)(1-efq^N/a)}\frac{(aq/f;q)_{-N}(aq/g;q)_N}{(f;q)_N(g;q)_{-N}}\\
&\qquad\cdot\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad-\frac{fq^{N}}{a}\frac{1-fq^{2N+1}/g}{(1-bfq^N/a)(1-cfq^N/a)(1-dfq^N/a)(1-efq^N/a)}\frac{(aq/f;q)_{-N}(aq/g;q)_N}{(f;q)_N(g;q)_{-N}}\\
&\qquad\cdot\frac{(b,c,d,e;q)_m(f;q)_{m+N}(g;q)_{m-N-1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_{m-1}(aq/f;q)_{m-N-1}(aq/g;q)_{m+N}}\\
&\qquad+\frac{(1-fq^{N})(1-fq^N/a)(1-aq^{N+1}/bg)(1-aq^{N+1}/cg)(1-aq^{N+1}/dg)(1-aq^{N+1}/eg)}{(1-q^{N+1}/g)(1-aq^{N+1}/g)(1-bfq^N/a)(1-cfq^N/a)(1-dfq^N/a)(1-efq^N/a)}A_{N+1}\\
&=\frac{f}{a}\frac{1-fq^{2N+1}/g}{(1-bfq^N/a)(1-cfq^N/a)(1-dfq^N/a)(1-efq^N/a)}\frac{(q/g,aq/g;q)_N}{(f/a,f;q)_N}\left(\frac{fg}{a}\right)^N\\
&\qquad\cdot\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad-\frac{f}{a}\frac{1-fq^{2N+1}/g}{(1-bfq^N/a)(1-cfq^N/a)(1-dfq^N/a)(1-efq^N/a)}\frac{(q/g,aq/g,fq^{1-m}/a,fq^m;q)_{N}}{(f/a,f,q^{2-m}/g,aq^{m+1}/g;q)_{N}}q^{N}\\
&\qquad\cdot\frac{(b,c,d,e,f;q)_m(g;q)_{m-1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_{m-1}(aq/g;q)_m}\\
&\qquad+\frac{(1-fq^{N})(1-fq^N/a)(1-aq^{N+1}/bg)(1-aq^{N+1}/cg)(1-aq^{N+1}/dg)(1-aq^{N+1}/eg)}{(1-q^{N+1}/g)(1-aq^{N+1}/g)(1-bfq^N/a)(1-cfq^N/a)(1-dfq^N/a)(1-efq^N/a)}A_{N+1}
\end{align}
となる. 両辺に
\begin{align}
\frac{(f,f/a,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(q/g,aq/g,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_N}
\end{align}
を掛けて,
\begin{align}
S_N&:=\frac{(f,f/a,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(q/g,aq/g,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_N}A_N
\end{align}
とすると,
\begin{align}
&S_N-S_{N+1}\\
&=\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}
\frac{(1-fq^{2N+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}}\left(\frac{fg}{a}\right)^N\\
&\qquad-\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f;q)_m(g;q)_{m-1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_{m-1}(aq/g;q)_m}
\frac{(1-fq^{2N+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg,fq^{1-m}/a,fq^m;q)_N}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}(q^{2-m}/g,aq^{m+1}/g;q)_N}q^{N}
\end{align}
となる. よって, $N$を$n$に置き換えて$n=0$から$N-1$まで足し合わせると,
\begin{align}
&S_0-S_N\\
&=\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}
\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_n}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{n+1}}\left(\frac{fg}{a}\right)^n\\
&\qquad-\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f;q)_m(g;q)_{m-1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_{m-1}(aq/g;q)_m}
\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg,fq^{1-m}/a,fq^m;q)_n}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{n+1}(q^{2-m}/g,aq^{m+1}/g;q)_n}q^{n}
\end{align}
つまり, 以下を得る.
$a^3q=bcdefg$のとき,
\begin{align}
&\frac{(f,f/a,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(q/g,aq/g,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_N}\Omega_m(a|b,c,d,e,fq^N,gq^{-N})\\
&=\Omega_m(a|b,c,d,e,f,g)-\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}
\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_n}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{n+1}}\left(\frac{fg}{a}\right)^n\\
&\qquad+\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f;q)_m(g;q)_{m-1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_{m-1}(aq/g;q)_m}
\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg,fq^{1-m}/a,fq^m;q)_n}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{n+1}(q^{2-m}/g,aq^{m+1}/g;q)_n}q^{n}
\end{align}
が成り立つ.
次に, 先ほどの漸化式
\begin{align}
&\frac{(f,f/a,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(q/g,aq/g,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_N}\Omega_m(a|b,c,d,e,fq^N,gq^{-N})\\
&\qquad-\frac{(f,f/a,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_{N+1}}{(q/g,aq/g,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}}\Omega_m(a|b,c,d,e,fq^{N+1},gq^{-N-1})\\
&=\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}
\frac{(1-fq^{2N+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}}\left(\frac{fg}{a}\right)^N\\
&\qquad-\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f;q)_m(g;q)_{m-1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_{m-1}(aq/g;q)_m}
\frac{(1-fq^{2N+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg,fq^{1-m}/a,fq^m;q)_N}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}(q^{2-m}/g,aq^{m+1}/g;q)_N}q^{N}
\end{align}
において, $m=N+1$として,
\begin{align}
&\frac{(f,f/a,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(q/g,aq/g,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_N}\Omega_{N+1}(a|b,c,d,e,fq^N,gq^{-N})\\
&\qquad-\frac{(f,f/a,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_{N+1}}{(q/g,aq/g,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}}\Omega_{N+1}(a|b,c,d,e,fq^{N+1},gq^{-N-1})\\
&=\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}
\frac{(1-fq^{2N+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}}\left(\frac{fg}{a}\right)^N\\
&\qquad-\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f;q)_{N+1}(g;q)_{N}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_{N}(aq/g;q)_{N+1}}
\frac{(1-fq^{2N+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg,fq^{-N}/a,fq^{N+1};q)_N}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}(q^{1-N}/g,aq^{N+2}/g;q)_N}q^{N}\\
&=\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}
\frac{(1-fq^{2N+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}}\left(\frac{fg}{a}\right)^N\\
&\qquad-\frac{f}{a}
\frac{(1-fq^{2N+1}/g)(b,c,d,e;q)_{N+1}(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N(f;q)_{2N+1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_{N}(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}(aq/g;q)_{2N+1}}\left(\frac{fg}a\right)^{N}
\end{align}
となる. ここで,
\begin{align}
&\Omega_{N+1}(a|b,c,d,e,fq^N,gq^{-N})\\
&=\Omega_{N}(a|b,c,d,e,fq^N,gq^{-N})-\frac{(1-aq^{2N})(b,c,d,e,fq^N,gq^{-N};q)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{1-N}/f,aq^{N+1}/g;q)_N}q^N
\end{align}
であるから,
\begin{align}
T_N:=\frac{(f,f/a,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(q/g,aq/g,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_N}\Omega_{N}(a|b,c,d,e,fq^N,gq^{-N})
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
&T_N-T_{N+1}\\
&=\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}
\frac{(1-fq^{2N+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}}\left(\frac{fg}{a}\right)^N\\
&\qquad-\frac{f}{a}
\frac{(1-fq^{2N+1}/g)(b,c,d,e;q)_{N+1}(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N(f;q)_{2N+1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_{N}(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}(aq/g;q)_{2N+1}}\left(\frac{fg}a\right)^{N}\\
&\qquad+\frac{(f,f/a,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(q/g,aq/g,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_N}\frac{(1-aq^{2N})(b,c,d,e,fq^N,gq^{-N};q)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{1-N}/f,aq^{N+1}/g;q)_N}q^N\\
&=\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}
\frac{(1-fq^{2N+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}}\left(\frac{fg}{a}\right)^N\\
&\qquad-\frac{f}{a}
\frac{(1-fq^{2N+1}/g)(b,c,d,e;q)_{N+1}(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N(f;q)_{2N+1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_{N}(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{N+1}(aq/g;q)_{2N+1}}\left(\frac{fg}a\right)^{N}\\
&\qquad+\frac{(1-aq^{2N})(b,c,d,e,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N(f;q)_{2N}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_N(aq/g;q)_{2N}}\left(\frac{fg}a\right)^N
\end{align}
となる. よって, $N$を$n$に置き換えて$n=0$から$N-1$まで足し合わせると
\begin{align}
&T_0-T_{N}\\
&=\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_n}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{n+1}}\left(\frac{fg}{a}\right)^n\\
&\qquad-\frac{f}{a}
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(b,c,d,e;q)_{n+1}(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_n(f;q)_{2n+1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_n(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{n+1}(aq/g;q)_{2n+1}}\left(\frac{fg}a\right)^n\\
&\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-aq^{2n})(b,c,d,e,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_n(f;q)_{2n}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_n(aq/g;q)_{2n}}\left(\frac{fg}a\right)^n
\end{align}
を得る. つまり以下が得られた.
$a^3q=bcdefg$のとき,
\begin{align}
&\frac{(f,f/a,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(q/g,aq/g,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_N}\Omega_{N}(a|b,c,d,e,fq^N,gq^{-N})\\
&=\Omega_0(a|b,c,d,e,f,g)\\
&\qquad-\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_n}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{n+1}}\left(\frac{fg}{a}\right)^n\\
&\qquad+\frac{f}{a}
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(b,c,d,e;q)_{n+1}(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_n(f;q)_{2n+1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_n(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{n+1}(aq/g;q)_{2n+1}}\left(\frac{fg}a\right)^n\\
&\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-aq^{2n})(b,c,d,e,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_n(f;q)_{2n}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_n(aq/g;q)_{2n}}\left(\frac{fg}a\right)^n
\end{align}
が成り立つ.
定理1において, $m=0$とすると,
\begin{align}
&\frac{(f,f/a,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(q/g,aq/g,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_N}\Omega_0(a|b,c,d,e,fq^N,gq^{-N})\\
&=\Omega_0(a|b,c,d,e,f,g)-\frac{f}{a}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}
\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_n}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{n+1}}\left(\frac{fg}{a}\right)^n\\
&\qquad+\frac{f}{a}\frac{(1-a/b)(1-a/c)(1-a/d)(1-a/e)(1-a/f)}{1-g/q}
\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg,fq/a,f;q)_n}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{n+1}(q^2/g,aq/g;q)_n}q^{n}
\end{align}
を得る. これと定理2との差を考えると, $\Omega_{< N}:=\Omega_0-\Omega_N$として以下が得られる.
$a^3q=bcdefg$のとき,
\begin{align}
&\frac{(f,f/a,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_N}{(q/g,aq/g,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_N}\Omega_{< N}(a|b,c,d,e,fq^N,gq^{-N})\\
&=\frac{f}{a}\frac{(1-a/b)(1-a/c)(1-a/d)(1-a/e)(1-a/f)}{1-g/q}
\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg,fq/a,f;q)_n}{(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{n+1}(q^2/g,aq/g;q)_n}q^{n}\\
&\qquad-\frac{f}{a}
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-fq^{2n+1}/g)(b,c,d,e;q)_{n+1}(aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_n(f;q)_{2n+1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_n(bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_{n+1}(aq/g;q)_{2n+1}}\left(\frac{fg}a\right)^n\\
&\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-aq^{2n})(b,c,d,e,aq/bg,aq/cg,aq/dg,aq/eg;q)_n(f;q)_{2n}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,bf/a,cf/a,df/a,ef/a;q)_n(aq/g;q)_{2n}}\left(\frac{fg}a\right)^n
\end{align}
が成り立つ.
これは有限和の間の関係式になっており, 前の記事( Well-poised 4φ3のq有限対称モーメント )の系1の一般化になっている.
古典極限
あらためて$1+3a=b+c+d+e+f+g$のとき,
\begin{align}
\Omega_m(a|b,c,d,e,f,g):=\sum_{m\leq n}\frac{(2n+a)(b,c,d,e,f,g)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g)_n}
\end{align}
として, $\Omega_{< m}:=\Omega_0-\Omega_m$とする. 定理1,定理2,系1の古典極限は以下のようになる.
$1+3a=b+c+d+e+f+g$のとき,
\begin{align}
&\frac{(f,f-a,1+a-b-g,1+a-c-g,1+a-d-g,1+a-e-g)_N}{(1-g,1+a-g,b+f-a,c+f-a,d+f-a,e+f-a)_N}\Omega_m(a|b,c,d,e,f+N,g-N)\\
&=\Omega_m(a|b,c,d,e,f,g)-\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-g)}{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}
\frac{(2n+1+f-g)(1+a-b-g,1+a-c-g,1+a-d-g,1+a-e-g)_n}{(b+f-a,c+f-a,d+f-a,e+f-a)_{n+1}}\\
&\qquad+\frac{(b,c,d,e,f)_m(g)_{m-1}}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f)_{m-1}(1+a-g)_m}
\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+1+f-g)(1+a-b-g,1+a-c-g,1+a-d-g,1+a-e-g,f-a+1-m,f+m)_n}{(b+f-a,c+f-a,d+f-a,e+f-a)_{n+1}(2-g-m,1+a-g+m)_n}
\end{align}
が成り立つ.
$1+3a=b+c+d+e+f+g$のとき,
\begin{align}
&\frac{(f,f-a,1+a-b-g,1+a-c-g,1+a-d-g,1+a-e-g)_N}{(1-g,1+a-g,b+f-a,c+f-a,d+f-a,e+f-a)_N}\Omega_{N}(a|b,c,d,e,f+N,g-N)\\
&=\Omega_0(a|b,c,d,e,f,g)-\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-g)}{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)}
\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}
\frac{(2n+1+f-g)(1+a-b-g,1+a-c-g,1+a-d-g,1+a-e-g)_n}{(b+f-a,c+f-a,d+f-a,e+f-a)_{n+1}}\\
&\qquad+
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+1+f-g)(b,c,d,e)_{n+1}(1+a-b-g,1+a-c-g,1+a-d-g,1+a-e-g)_n(f)_{2n+1}}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e)_n(b+f-a,c+f-a,d+f-a,e+f-a)_{n+1}(1+a-g)_{2n+1}}\\
&\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a)(b,c,d,e,1+a-b-g,1+a-c-g,1+a-d-g,1+a-e-g)_n(f)_{2n}}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,b+f-a,c+f-a,d+f-a,e+f-a)_n(1+a-g)_{2n}}
\end{align}
が成り立つ.
$1+3a=b+c+d+e+f+g$のとき,
\begin{align}
&\frac{(f,f-a,1+a-b-g,1+a-c-g,1+a-d-g,1+a-e-g)_N}{(1-g,1+a-g,b+f-a,c+f-a,d+f-a,e+f-a)_N}\Omega_{< N}(a|b,c,d,e,f+N,g-N)\\
&=\frac{(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)(a-f)}{g-1}
\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+1+f-g)(1+a-b-g,1+a-c-g,1+a-d-g,1+a-e-g,1+f-a,f)_n}{(b+f-a,c+f-a,d+f-a,e+f-a)_{n+1}(2-g,1+a-g)_n}\\
&\qquad-
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+1+f-g)(b,c,d,e)_{n+1}(1+a-b-g,1+a-c-g,1+a-d-g,1+a-e-g)_n(f)_{2n+1}}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e)_n(b+f-a,c+f-a,d+f-a,e+f-a)_{n+1}(1+a-g)_{2n+1}}\\
&\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a)(b,c,d,e,1+a-b-g,1+a-c-g,1+a-d-g,1+a-e-g)_n(f)_{2n}}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,b+f-a,c+f-a,d+f-a,e+f-a)_n(1+a-g)_{2n}}
\end{align}
が成り立つ.
