大学数学基礎解説

文献あり

確率論小ゼミ第２回〜確率測度P, 確率空間

確率測度,確率論,確率空間

163

更新履歴

(2024-02-25 21:05) 公開

はじめに

今回でついに $P (∙)$ とは何なのかについて説明していくが，その前に，まずは前回（確率論小ゼミ第１回）で扱った $σ$ -集合体・可測空間について軽くおさらいしておこう．もう大丈夫という方はこの部分は読み飛ばして構わない．

前回言い忘れていたかもですが，標本空間

Ω

は空でないものとしています．
今後も「標本空間

Ω

」と言われたときは，

Ω

は空でない集合と捉えてください🙏

σ

-集合体

標本空間 $Ω$ 上の $σ$ -集合体とは，次の[1], [2], [3']を満たす集合族 $F$ のことである.
[1] $Ω \in F$
[2] $A \in F ⟹ A^{c} \in F$
[3'] $A_{1}, A_{2}, \dots \in F ⟹ ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in F$

可測空間

$F$ を標本空間 $Ω$ 上の $σ$ -集合体とする．このとき，組 $(Ω, F)$ を可測空間という．また， $F$ の元 $A$ は $Ω$ 上の $F$ -可測集合という．

$Ω$ を標本空間とする．このとき， $2^{Ω}$ は $Ω$ 上の $σ$ -集合体であることを示せ．

問題1の解答例

解答例を見る

任意の集合

E

に対して，

E \subseteq Ω \Leftrightarrow E \in 2^{Ω}

が成り立つことに注意すると，

$Ω \subseteq Ω$ ．従って， $Ω \in 2^{Ω}$ ．
任意の $A \in 2^{Ω}$ に対して， $A \subseteq Ω$ であるから， $A^{c} = Ω ∖ A \subseteq Ω$ ．従って， $A^{c} \in 2^{Ω}$ ．
任意の $A_{1}, A_{2}, \dots \in 2^{Ω}$ に対して， $A_{1}, A_{2}, \dots \subseteq Ω$ であるから， $⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \subseteq Ω$ ．従って， $⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in 2^{Ω}$ ．

よって，

2^{Ω}

は

Ω

上の

σ

-集合体である．

_{◼}

確率測度・確率空間

確率測度とは

確率測度（確率の公理）

可測空間 $(Ω, F)$ 上の確率測度とは，次の[1], [2], [3]を満たす関数 $P : F \to [0, 1]$ のことである.
[1] $P (Ω) = 1$
[2] $A \in F ⟹ P (A) \geq 0$
[3] $A_{1}, A_{2}, \dots \in F, A_{i} \cap A_{j} = \emptyset (i \neq j) ⟹ P (⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} P (A_{i})$

この定義を言葉で書くと，次のようになる．

全体集合（標本空間）を $P$ で測ると1になる（全確率は1）．
$F$ からどのような元を取り出して $P$ で測ったとしても負になることはない（非負性）．
$F$ から取り出した互いに素（排反）な元の和集合を $P$ で測ったものは，それぞれの元を $P$ で測ったものの総和に等しい（完全加法性）．

$P (A)$ は「集合 $A$ を測度 $P$ で測った大きさ」とも捉えられる．それ故， $A$ はちゃんと( $P$ で)測れる集合，つまり可測集合，つまり $F$ の元でなければならない．

[3]は $σ$ -加法性とか可算加法性とも呼ばれる．

確率空間とは

確率空間

$(Ω, F)$ を可測空間とし， $P$ を $(Ω, F)$ 上の確率測度とする．このとき，3つ組 $(Ω, F, P)$ を確率空間という．

これらの用語は押さえておこう
$Ω$ ：標本空間， $F$ ： $Ω$ 上の $σ$ -集合体， $P$ ： $(Ω, F)$ 上の確率測度， $(Ω, F)$ ：可測空間， $(Ω, F, P)$ ：確率空間

確率測度の諸性質

$(Ω, F, P)$ を確率空間とする．このとき，次が成り立つ．

$P (\emptyset) = 0$
$A_{1}, \dots, A_{n} \in F, A_{i} \cap A_{j} = \emptyset (i \neq j) ⟹ P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i})$
$A, B \in F, A \supseteq B ⟹ P (A ∖ B) = P (A) - P (B)$
$A, B \in F, A \supseteq B ⟹ P (A) \geq P (B)$
$A \in F ⟹ P (A^{c}) = 1 - P (A)$
$A_{1}, A_{2}, \dots \in F ⟹ P (⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}) \leq \sum_{i = 1}^{\infty} P (A_{i})$
$A_{1}, A_{2}, \dots \in F, {A_{n}} ↑ ⟹ P (lim_{n \to \infty} A_{n}) = lim_{n \to \infty} P (A_{n})$
$A_{1}, A_{2}, \dots \in F, {A_{n}} ↓ ⟹ P (lim_{n \to \infty} A_{n}) = lim_{n \to \infty} P (A_{n})$

${A_{n}} ↑ : \Leftrightarrow {A_{n}} は単調増加列，i.e.， A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \dots$
${A_{n}} ↓ : \Leftrightarrow {A_{n}} は単調減少列，i.e.， A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq \dots$

証明を見る
$A_{1} = Ω, A_{2} = A_{3} = \dots = \emptyset$ とすると， $A_{i} \in F (i = 1, 2, \dots)$ である（確率論小ゼミ第１回参照，以下この文言は省く）．また， $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset (i \neq j)$ であるから，確率測度の定義[1],[3]により，
$1 = P (Ω) = P (⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} P (A_{i}) = P (Ω) + \sum_{i = 2}^{\infty} P (\emptyset) = 1 + \sum_{i = 2}^{\infty} P (\emptyset)$
よって， $P (\emptyset) = 0$ を得る． $_{◼}$

証明を見る
$A_{n + 1} = A_{n + 2} = \dots = \emptyset$ とする．このとき， $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset (i \neq j)$ であるから，
$P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) = P (⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} P (A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) + \sum_{i = n + 1}^{\infty} \underset{= 0}{\underset{⏟}{P (\emptyset)}} = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i})$
を得る． $_{◼}$

証明を見る
$A_{1} = B, A_{2} = A ∖ B (= A \cap B^{c})$ とおくと， $A_{1} \cup A_{2} = A, A_{1} \cap A_{2} = \emptyset$ となる．従って，(2)から
$P (A) = P (A_{1} \cup A_{2}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) = P (B) + P (A ∖ B)$
即ち， $P (A ∖ B) = P (A) - P (B)$ が成り立つ． $_{◼}$

証明を見る
(3)より $P (A ∖ B) = P (A) - P (B)$ が成り立つ．よって，確率測度の定義[2]（非負値性）より $P (A ∖ B) \geq 0$ となるから，
$0 \leq P (A ∖ B) = P (A) - P (B) ⟺ P (A) \geq P (B)$
が成り立つ． $_{◼}$

証明を見る
$Ω \supseteq A$ であるから(3)より
$P (A^{c}) = P (Ω ∖ A) = P (Ω) - P (A) = 1 - P (A)$
が成り立つ． $_{◼}$

証明を見る
$B_{n} = {\begin{cases} A_{1} & (n = 1) \\ A_{n} \cap {(⋃_{k = 1}^{n - 1} A_{k})}^{c} & (n = 2, 3, \dots) \end{cases}$
とすると，
$⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n} = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}, B_{i} \cap B_{j} = \emptyset (i \neq j)$
であるから， $P (A_{n}) \geq P (B_{n}) (∵ A_{n} \supseteq B_{n}; n = 1, 2, \dots)$ に注意すると
$P (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = P (⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (B_{n}) \leq \sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n})$
を得る． $_{◼}$

証明を見る
${A_{n}} ↑$ であるから，任意の自然数 $n = 1, 2, \dots$ に対して，
$⋃_{m = n}^{\infty} A_{m} = ⋃_{m = 1}^{\infty} A_{m}, ⋂_{m = n}^{\infty} A_{m} = A_{n}$
が成り立つ．従って，
$\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n} = inf_{n \geq 1} sup_{m \geq n} A_{m} = ⋂_{n = 1}^{\infty} ⋃_{m = n}^{\infty} A_{m} = ⋂_{n = 1}^{\infty} ⋃_{m = 1}^{\infty} A_{m} = ⋃_{m = 1}^{\infty} A_{m},$
$\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n} = sup_{n \geq 1} inf_{m \geq n} A_{m} = ⋃_{n = 1}^{\infty} ⋂_{m = n}^{\infty} A_{m} = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}$
となるから， $\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n} = \underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n} = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ が言える．故に， $lim_{n \to \infty} A_{n} = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ が成り立つ．ここで，
$B_{n} = {\begin{cases} A_{1} & (n = 1) \\ A_{n} ∖ A_{n - 1} & (n = 2, 3, \dots) \end{cases}$
とおくと， $⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n} = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ ， $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset (i \neq j)$ となるから，
$P (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = P (⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (B_{n}) = lim_{N \to \infty} (P (A_{1}) + \sum_{n = 2}^{N} (P (A_{n}) - P (A_{n - 1}))) = lim_{N \to \infty} P (A_{N})$
が成り立つ． $_{◼}$

証明を見る
${A_{n}} ↓$ であるから，任意の自然数 $n = 1, 2, \dots$ に対して，
$⋃_{m = n}^{\infty} A_{m} = A_{n}, ⋂_{m = n}^{\infty} A_{m} = ⋂_{m = 1}^{\infty} A_{m}$
が成り立つ．従って，
$\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n} = inf_{n \geq 1} sup_{m \geq n} A_{m} = ⋂_{n = 1}^{\infty} ⋃_{m = n}^{\infty} A_{m} = ⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n},$
$\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n} = sup_{n \geq 1} inf_{m \geq n} A_{m} = ⋃_{n = 1}^{\infty} ⋂_{m = n}^{\infty} A_{m} = ⋃_{n = 1}^{\infty} ⋂_{m = 1}^{\infty} A_{m} = ⋂_{m = 1}^{\infty} A_{m}$
となるから， $\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n} = \underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n} = ⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ が言える．故に， $lim_{n \to \infty} A_{n} = ⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ が成り立つ．今， $A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq \dots$ であるから， $A_{1}^{c} \subseteq A_{2}^{c} \subseteq \dots$ ，即ち ${A_{n}^{c}} ↑$ となる．よって，(7)より，
$P (lim_{n \to \infty} A_{n}) = P (⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = 1 - P (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}^{c}) = 1 - P (lim_{n \to \infty} A_{n}^{c}) = 1 - lim_{n \to \infty} P (A_{n}^{c}) = lim_{n \to \infty} P (A_{n})$
を得る． $_{◼}$

確率測度の具体例（有限ver）

実際，確率測度の構成方法は少し分かりずらいと思われるので次の例で理解を深めてほしい．

1から6までの数字が書かれている6面体サイコロを3つ同時に振る．但し，どの出目も同様に確からしいとする．このとき，この結果を表す確率空間 $(Ω, F, P)$ を構成してみよう．まず，標本空間は
$\begin{aligned} Ω & = {1, 2, 3, 4, 5, 6}^{3} \\ = {(ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}) ∣ \forall i \in {1, 2, 3}, ω_{i} \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}} \\ = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), \dots, (1, 1, 6), (1, 2, 1), \dots, (6, 6, 6)} \end{aligned}$
とすれば良い．次に， $Ω$ 上の $σ$ -集合体として，
$F = 2^{Ω}$
を選べば，可測空間 $(Ω, F)$ を構成することができる．最後に，関数 $P : F \to [0, 1]$ を，任意の $A \in F$ に対して，
$P (A) = \frac{| A |}{| Ω |} = \frac{| A |}{6^{3}}$
と定めれば， $P$ は確率測度となる_①から，これで確率空間 $(Ω, F, P)$ を構成することができた．

下線部①「

P

は確率測度となる」の証明

解答例を見る

$P (Ω) = \frac{| Ω |}{| Ω |} = 1$ ．
任意の $A \in F$ に対して， $| A | \geq 0$ であるから， $P (A) = \frac{| A |}{| Ω |} \geq 0$ ．
任意の互いに素な集合 $A_{1}, A_{2}, \dots \in F (A_{i} \cap A_{j} = \emptyset; i \neq j)$ に対して，
$| ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} | = \sum_{n = 1}^{\infty} | A_{n} |$
であるから，
$P (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = \frac{1}{| Ω |} | ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} | = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{| A_{n} |}{| Ω |} = \sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) ．$

よって，

P

は

(Ω, F)

上の確率測度である．

_{◼}

例1において，

3つの出目の和が5となる事象を $A$ としたときの $P (A)$
3つの出目の積が $m (= 1, 2, \dots)$ の倍数となる事象を $B_{m}$ としたときの $P (B_{4})$

をそれぞれ求めてみよう．

$A = {(ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}) \in Ω ∣ ω_{1} + ω_{2} + ω_{3} = 5} = {(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)} \in F$ であるから， $P (A) = \frac{| A |}{| Ω |} = \frac{6}{6^{3}} = \frac{1}{36}$ となる．
$B_{m} = {(ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}) \in Ω ∣ ω_{1} ω_{2} ω_{3} \equiv 0 (mod m)} \in F$ である．今， $4 = 2^{2}$ であり， $B_{4} \subseteq B_{2}$ ， $B_{4}^{c} = (B_{2} \cap B_{4}^{c}) \cup B_{2}^{c}$ であるから，
$\begin{aligned} P (B_{4}) & = 1 - P (B_{4}^{c}) = 1 - P ((B_{2} \cap B_{4}^{c}) \cup B_{2}^{c}) \\ = 1 - P (B_{2} \cap B_{4}^{c}) - P (B_{2}^{c}) \\ = 1 - P ({出目の積は2で割り切れるが4では割り切れない}) - P ({出目の積は2で割り切れない}) \\ = 1 - P ({出目の1つは2,6のどれか，残りは2,4,6以外のどれか}) - P ({全ての出目は2,4,6以外のどれか}) \\ = 1 - 3 \cdot \frac{2}{6} {(\frac{3}{6})}^{2} - {(\frac{3}{6})}^{3} = \frac{5}{8} \end{aligned}$
となる．

確率測度の具体例（可算無限ver）

表の出る確率が $p (0 < p < 1)$ ，裏の出る確率が $1 - p$ のコインを表が出るまで投げ続ける．このとき，この結果を表す確率空間 $(Ω, F, P)$ を構成してみよう．まず，標本空間は
$Ω = {0, 1, 2, \dots}$
とすれば良い．次に， $Ω$ 上の $σ$ -集合体として，
$F = 2^{Ω}$
を選べば，可測空間 $(Ω, F)$ を構成することができる．最後に，関数 $P : F \to [0, 1]$ を，任意の $A \in F$ に対して，
$P (A) = \sum_{ω \in A} p (ω), p (ω) = p (1 - p)^{ω}$
と定めれば， $P$ は確率測度となる_②から，これで確率空間 $(Ω, F, P)$ を構成することができた．

下線部②「

P

は確率測度となる」の証明

解答例を見る

$P (Ω) = \sum_{ω \in Ω} p (ω) = \sum_{ω = 0}^{\infty} p (1 - p)^{ω} = \frac{p}{1 - (1 - p)} = 1$ ．
任意の $ω \in Ω$ に対して， $p (ω) > 0$ であるから，任意の $A \in F$ に対して，
$P (A) = \sum_{ω \in A} p (ω) \geq 0 ．$
任意の互いに素な集合 $A_{1}, A_{2}, \dots \in F (A_{i} \cap A_{j} = \emptyset; i \neq j)$ に対して，
$P (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = \sum_{ω \in ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}} p (ω) = \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{ω \in A_{n}} p (ω) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) ．$

よって，

P

は

(Ω, F)

上の確率測度である．

_{◼}

実際，例3の標本空間は
$Ω^{'} = {表, 裏表, 裏裏表, 裏裏裏表, \dots}$
であるが，確率空間を簡単に構成するために $Ω = {0, 1, 2, \dots}$ を標本空間とした．もし， $Ω^{'}$ を標本空間とする場合は
$X (ω) = 「文字列 ω にある裏の出現回数」$
という関数 $X : Ω^{'} \to Z$ を導入して，
$f (x) = {\begin{cases} p (1 - p)^{x} & (x = 0, 1, 2, \dots) \\ 0 & (otherwise) \end{cases}$
として，任意の $A \in F$ に対して，
$P (A) = \sum_{x \in X (A)} f (x)$
とすれば良い．実はこの関数 $X$ は確率変数であり，関数 $f$ は $X$ の確率(量)関数と呼ばれる．

$X (A) = {X (ω) ∣ ω \in A}$

非可算無限の場合はまた今度...

演習問題

$(Ω, F, P)$ を確率空間とする．このとき，次が成り立つことを示せ．

$A, B \in F ⟹ P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
$A_{1}, \dots, A_{n} \in F ⟹ P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} \underset{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n}{\sum \dots \sum} P (⋂_{ℓ = 1}^{k} A_{i_{ℓ}})$
$(= \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) - \underset{1 \leq i < j \leq n}{\sum \sum} P (A_{i} \cap A_{j}) + \underset{1 \leq i < j < k \leq n}{\sum \sum \sum} P (A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k}) - \dots + (- 1)^{n - 1} P (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}))$
$A, B, D \in F, D \subseteq A ⟹ P (A \cap (B \cup D^{c})) = P (A) + P (B \cap D) - P (D)$
$A_{1}, A_{2}, \dots \in F ⟹ P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}) = lim_{n \to \infty} P (⋃_{k = n}^{\infty} A_{k}) \leq lim_{n \to \infty} \sum_{k = n}^{\infty} P (A_{k})$
$A_{1}, A_{2}, \dots \in F ⟹ P (\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n}) = lim_{n \to \infty} P (⋂_{k = n}^{\infty} A_{k}) \geq 1 - lim_{n \to \infty} \sum_{k = n}^{\infty} P (A_{k}^{c})$
$A_{1}, A_{2}, \dots \in F ⟹ P (\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} P (A_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} P (A_{n}) \leq P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n})$
$A_{1}, A_{2}, \dots \in F, lim_{n \to \infty} A_{n} が存在 ⟹ P (lim_{n \to \infty} A_{n}) = lim_{n \to \infty} P (A_{n})$

問題2の解答例

解答例を見る

証明を見る
$A \cup (B \cap A^{c}) = A \cup B, A \cap (B \cap A^{c}) = \emptyset$ であることと， $B ∖ (A \cap B) = B \cap A^{c}, B \supseteq A \cap B$ より，
$P (A \cup B) = P (A) + P (B \cap A^{c}) = P (A) + P (B ∖ (A \cap B)) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
となる． $_{◼}$

証明を見る
まず， $n = 1$ は明らか． $n = 2$ のときは(1)と同じ．次に， $n = N (N = 2, 3, \dots)$ のとき成り立つと仮定すると， $n = N + 1$ のとき，
$\begin{aligned} (右辺) & = \sum_{k = 1}^{N + 1} (- 1)^{k - 1} \underset{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq N + 1}{\sum \dots \sum} P (⋂_{ℓ = 1}^{k} A_{i_{ℓ}}) \\ = \sum_{k = 1}^{N} (- 1)^{k - 1} (\underset{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq N}{\sum \dots \sum} P (⋂_{ℓ = 1}^{k} A_{i_{ℓ}}) + \underset{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} = N + 1}{\sum \dots \sum} P (⋂_{ℓ = 1}^{k} A_{i_{ℓ}})) - (- 1)^{N - 1} \underset{1 \leq i_{1} < \dots < i_{N + 1} \leq N + 1}{\sum \dots \sum} P (⋂_{ℓ = 1}^{k} A_{i_{ℓ}}) \\ = \sum_{k = 1}^{N} (- 1)^{k - 1} \underset{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq N}{\sum \dots \sum} P (⋂_{ℓ = 1}^{k} A_{i_{ℓ}}) + P (A_{N + 1}) + \sum_{k = 2}^{N} (- 1)^{k - 1} \underset{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k - 1} \leq N}{\sum \dots \sum} P ((⋂_{ℓ = 1}^{k - 1} A_{i_{ℓ}}) \cap A_{N + 1}) - (- 1)^{N - 1} P (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{N + 1}) \\ = P (⋃_{i = 1}^{N} A_{i}) + P (A_{N + 1}) - \sum_{k^{'} = 1}^{N - 1} (- 1)^{k^{'} - 1} \underset{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k^{'}} \leq N}{\sum \dots \sum} P (⋂_{ℓ = 1}^{k^{'}} (A_{i_{ℓ}} \cap A_{N + 1})) - (- 1)^{N - 1} P (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{N + 1}) \\ = P (⋃_{i = 1}^{N} A_{i}) + P (A_{N + 1}) - \sum_{k^{'} = 1}^{N} (- 1)^{k^{'} - 1} \underset{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k^{'}} \leq N}{\sum \dots \sum} P (⋂_{ℓ = 1}^{k^{'}} (A_{i_{ℓ}} \cap A_{N + 1})) \\ = P (⋃_{i = 1}^{N} A_{i}) + P (A_{N + 1}) - P (⋃_{i = 1}^{N} (A_{i} \cap A_{N + 1})) \\ = P (⋃_{i = 1}^{N} A_{i}) + P (A_{N + 1}) - P ((⋃_{i = 1}^{N} A_{i}) \cap A_{N + 1}) \\ = P ((⋃_{i = 1}^{N} A_{i}) \cup A_{N + 1}) \\ = P (⋃_{i = 1}^{N + 1} A_{i}) = (左辺) \end{aligned}$
となる．よって，数学的帰納法により，この命題は真となることが示される． $_{◼}$

証明を見る
$A \supseteq D$ に注意すると，
$(A ∖ D) \cap (B \cap D) = A \cap D^{c} \cap B \cap D = \emptyset$
$(A ∖ D) \cup (B \cap D) = \underset{= A}{\underset{⏟}{(A \cup B) \cap \underset{= A}{\underset{⏟}{(A \cup D)}}}} \cap (D^{c} \cup B) \cap \underset{= Ω}{\underset{⏟}{(D^{c} \cup D)}} = A \cap (B \cup D^{c})$
より， $P (A \cap (B \cup D^{c})) = P (A ∖ D) + P (B \cap D)$ が成り立つ．よって，
$P (A \cap (B \cup D^{c})) = P (A) - P (D) + P (B \cap D)$
が成り立つ． $_{◼}$

証明を見る
$B_{n} = ⋂_{m = n}^{\infty} A_{m} (n = 1, 2, \dots)$ とすると， ${B_{n}} ↑$ であるから，定理1-(7)より，
$P (\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n}) = P (⋃_{n = 1}^{\infty} ⋂_{m = n}^{\infty} A_{m}) = P (⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n}) = lim_{n \to \infty} P (B_{n})$
となる．また，定理1-(6)より，任意の $n = 1, 2, \dots$ に対して，
$P (B_{n}) = P (⋃_{m = n}^{\infty} A_{m}) \leq \sum_{m = n}^{\infty} P (A_{m})$
となるから，
$P (\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n}) = lim_{n \to \infty} P (B_{n}) = lim_{n \to \infty} P (⋃_{m = n}^{\infty} A_{m}) \leq lim_{n \to \infty} \sum_{m = n}^{\infty} P (A_{m})$
を得る． $_{◼}$

証明を見る
$C_{n} = ⋃_{m = n}^{\infty} A_{m} (n = 1, 2, \dots)$ とすると， ${C_{n}} ↓$ であるから，定理1-(8)より，
$P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}) = P (⋂_{n = 1}^{\infty} ⋃_{m = n}^{\infty} A_{m}) = P (⋂_{n = 1}^{\infty} C_{n}) = lim_{n \to \infty} P (C_{n})$
となる．また，定理1-(6)より，任意の $n = 1, 2, \dots$ に対して，
$P (C_{n}) = P (⋂_{m = n}^{\infty} A_{m}) = 1 - P (⋃_{m = n}^{\infty} A_{m}^{c}) \geq 1 - \sum_{m = n}^{\infty} P (A_{m}^{c})$
となるから，
$P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}) = lim_{n \to \infty} P (C_{n}) = lim_{n \to \infty} P (⋂_{m = n}^{\infty} A_{m}) \geq 1 - lim_{n \to \infty} \sum_{m = n}^{\infty} P (A_{m}^{c})$
を得る． $_{◼}$

証明を見る
まず， $P (\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} P (A_{n})$ を示す． $B_{n} = ⋂_{m = n}^{\infty} A_{m} (n = 1, 2, \dots)$ とすると， ${B_{n}} ↑$ であるから，定理1-(7)より，
$P (\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n}) = P (⋃_{n = 1}^{\infty} ⋂_{m = n}^{\infty} A_{m}) = P (⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n}) = lim_{n \to \infty} P (B_{n})$
となる．ここで，任意の $n, m (n = 1, 2, \dots; m = n, n + 1, \dots)$ に対して， $B_{n} \subseteq A_{m}$ より $P (B_{n}) \leq P (A_{m})$ となるから，任意の $n = 1, 2, \dots$ に対して， $P (B_{n}) \leq inf_{m \geq n} P (A_{m})$ が成り立つ．よって，
$P (\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n}) = lim_{n \to \infty} P (B_{n}) \leq lim_{n \to \infty} inf_{m \geq n} P (A_{m}) = \underset{n \to \infty}{lim inf} P (A_{n})$
を得る．次に， $P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}) \geq \underset{n \to \infty}{lim sup} P (A_{n})$ を示す． $C_{n} = ⋃_{m = n}^{\infty} A_{m} (n = 1, 2, \dots)$ とすると， ${C_{n}} ↓$ であるから，定理1-(8)より，
$P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}) = P (⋂_{n = 1}^{\infty} ⋃_{m = n}^{\infty} A_{m}) = P (⋂_{n = 1}^{\infty} C_{n}) = lim_{n \to \infty} P (C_{n})$
となる．ここで，任意の $n, m (n = 1, 2, \dots; m = n, n + 1, \dots)$ に対して， $C_{n} \supseteq A_{m}$ より $P (C_{n}) \geq P (A_{m})$ となるから，任意の $n = 1, 2, \dots$ に対して， $P (C_{n}) \geq sup_{m \geq n} P (A_{m})$ が成り立つ．よって，
$P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}) = lim_{n \to \infty} P (C_{n}) \geq lim_{n \to \infty} sup_{m \geq n} P (A_{m}) = \underset{n \to \infty}{lim sup} P (A_{n})$
を得る．このことと，任意の $n = 1, 2, \dots$ に対して， $inf_{m \geq n} P (A_{m}) \leq sup_{m \geq n} P (A_{m})$ が成り立つ，即ち
$lim_{n \to \infty} inf_{m \geq n} P (A_{m}) = \underset{n \to \infty}{lim inf} P (A_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} P (A_{n}) = lim_{n \to \infty} sup_{m \geq n} P (A_{m})$
が成り立つことから，
$P (\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} P (A_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} P (A_{n}) \leq P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n})$
を得る． $_{◼}$

証明を見る
$lim_{n \to \infty} A_{n}$ が存在するから， $lim_{n \to \infty} A_{n} = A$ とすると， $\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n} = \underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n} = A$ が成り立つ．よって，(6)より，
$P (A) \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} P (A_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} P (A_{n}) \leq P (A)$
が成り立つから， $\underset{n \to \infty}{lim inf} P (A_{n}) = \underset{n \to \infty}{lim sup} P (A_{n}) = P (A)$ を得る．故に，
$P (lim_{n \to \infty} A_{n}) = lim_{n \to \infty} P (A_{n})$
を得る． $_{◼}$

おわりに

今回はレイアウトに凝ってみましたw

参考文献

[1]

重川一郎, 確率論基礎, 閲覧日 2023年12月28日, https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/06bpr.pdf

投稿日：2024年2月25日

更新日：2024年2月28日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

マシロ

1367

テキトーに不定期に統計・確率論について載せていきます.

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

マシロ

確率論小ゼミ第２回〜確率測度P, 確率空間

目次
はじめに
確率測度・確率空間
確率測度とは
確率空間とは
確率測度の諸性質
確率測度の具体例（有限ver）
確率測度の具体例（可算無限ver）
演習問題
おわりに
参考文献

確率論小ゼミ第２回 〜確率測度P, 確率空間

更新履歴

目次

はじめに

確率測度・確率空間

確率測度とは

確率空間とは

確率測度の諸性質

確率測度の具体例（有限ver）

確率測度の具体例（可算無限ver）

演習問題

おわりに

参考文献

この記事を高評価した人

この記事に送られたバッジ

投稿者

コメント

他の人のコメント

確率論小ゼミ第２回〜確率測度P, 確率空間