Singhの二次変換公式のAskey-Wilsonによる証明
Singhの二次変換公式
は$a,b,c,d$のいずれかが非負整数$N$を用いて$q^{-N}$と書けるとき,
\begin{align}
\Q43{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-cd}{q}&=\Q43{a^2,b^2,c^2,d^2}{a^2b^2q,-cd,-cdq}{q^2;q^2}
\end{align}
が成り立つというものだった. 今回はこの公式にAskey-Wilson多項式の間の関係式として証明を与える.
まず,
Askey-Wilson多項式
は$x=\cos\theta$として,
\begin{align}
p_n(x)=p_n(x;a,b,c,d|q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q
\end{align}
と定義される. それは
前の記事
で示したように直交性
\begin{align}
\int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2p_n(\cos\theta)p_m(\cos\theta)\,d\theta&=\delta_{n,m}\frac{2\pi(1-abcdq^{n-1})(abcdq^n;q)_{\infty}}{(1-abcdq^{2n-1})(q^{n+1},abq^n,acq^n,adq^n,bcq^n,bdq^n,cdq^n;q)_{\infty}}
\end{align}
を満たす. 直交多項式の一般論から, 同じ区間と重み関数を持つ直交多項式は定数倍の違いを除いて一意的に決まる. 上の式で$n,m$を$2n,2m$に置き換えてから$c=-a,d=-b$とすると, 重み関数の対称性より$p_{2n}(-x)=p_{2n}(x)$となり, 左辺は
\begin{align}
&\int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(a^2e^{2i\theta},b^2e^{2i\theta};q^2)_{\infty}}\right|^2p_{2n}(\cos\theta;a,b,-a,-b|q)p_{2m}(\cos\theta;a,b,-a,-b|q)\,d\theta\\
&=\frac 12\int_0^{2\pi}\left|\frac{(e^{i\theta};q)_{\infty}}{(a^2e^{i\theta},b^2e^{i\theta};q^2)_{\infty}}\right|^2p_{2n}\left(\left.\cos\frac{\theta}2;a,b,-a,-b\right|q\right)p_{2m}\left(\left.\cos\frac{\theta}2;a,b,-a,-b\right|q\right)\,d\theta\\
&=\int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{i\theta};q)_{\infty}}{(a^2e^{i\theta},b^2e^{i\theta};q^2)_{\infty}}\right|^2p_{2n}\left(\left.\cos\frac{\theta}2;a,b,-a,-b\right|q\right)p_{2m}\left(\left.\cos\frac{\theta}2;a,b,-a,-b\right|q\right)\,d\theta\\
&=\int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta};q^2)_{\infty}}{(a^2e^{i\theta},b^2e^{i\theta},-e^{i\theta},-e^{i\theta}q;q^2)_{\infty}}\right|^2p_{2n}\left(\left.\cos\frac{\theta}2;a,b,-a,-b\right|q\right)p_{2m}\left(\left.\cos\frac{\theta}2;a,b,-a,-b\right|q\right)\,d\theta
\end{align}
と書き換えられる. よって, 同じ区間と重み関数を持つ直交多項式の一意性から$\theta$に依存しない定数$C_n$があって
\begin{align}
p_{2n}\left(\left.\cos\frac{\theta}2;a,b,-a,-b\right|q\right)&=C_np_n(\cos\theta;a^2,b^2,-1,-q|q^2)
\end{align}
を得る. これを${}_4\phi_3$で書き表すと
\begin{align}
\Q43{q^{-2n},a^2b^2q^{2n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,-a^2,-ab}{q}&=\tilde{C}_n\Q43{q^{-2n},a^2b^2q^{2n-1},a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta}}{a^2b^2,-a^2,-a^2q}{q^2;q^2}
\end{align}
となる. ここで, $\tilde{C}_n$は$\theta$に依存しない定数である. $e^{i\theta}\to a$とすると
\begin{align}
\tilde{C}_n=1
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\Q43{q^{-2n},a^2b^2q^{2n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,-a^2,-ab}{q}&=\Q43{q^{-2n},a^2b^2q^{2n-1},a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta}}{a^2b^2,-a^2,-a^2q}{q^2;q^2}
\end{align}
が分かる. ここで, $q^{-2n},a^2b^2q^{2n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}$を$a^2,b^2,c,d$と置き換えると, Singhの二次変換公式
\begin{align}
\Q43{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-cd}{q}&=\Q43{a^2,b^2,c^2,d^2}{a^2b^2q,-cd,-cdq}{q^2;q^2}\qquad a=q^{-N}
\end{align}
を得る. $c$が$q^{-M}$の形で, $a$が$q^{-N}$の形とは限らない場合には
\begin{align}
\Q43{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-cd}{q}&=\Q43{a^2,b^2,c^2,d^2}{a^2b^2q,-cd,-cdq}{q^2;q^2}\qquad a=q^{-N}
\end{align}
が無限個の点$a=q^{-N}$で成り立ち, 両辺は$a$に関する有理関数であることから示される.
このようにAskey-Wilson多項式を用いて超幾何級数の変換公式の理解が得られるのは興味深いと思う. 他の超幾何級数の変換公式もこのように直交多項式などで理解できるかを考えてみるのも面白そうである.
