フーリエ級数展開(基本)

フーリエ級数展開の公式

　フーリエ級数展開とは、周期関数を三角関数で展開することを言う。周期2πの関数f(x) (-$\pi$ < x < $\pi$)を展開すると、次のような式になる。
$$ f(x)= \frac{ a_{0} }{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} \cos nx + b_{n} \sin nx) $$
この時、$a_{0} $,$a_{n} $,$b_{n} $は展開係数となる。
例えば、$f(x)=f(x+2\pi)$　といったような式を展開できる。

　さて、ではこの式を求める為には展開係数についてそれぞれ求める必要があるが、それは次のような式で表される。
$$ a_{n} = \frac{1}{\pi} \int_{ - \pi}^{\pi} f(x) \cos (nx)dx\ $$
$$ b_{n} = \frac{1}{\pi} \int_{ - \pi}^{\pi} f(x) \sin (nx)dx\ $$

尚、$a_{0}$は$n=0$となる為、$\cos(nx)=1$となることに留意する。

三角関数の直交性

　三角関数は、次のような直交性がある。
$$ \frac{1}{\pi}\int_{ - \pi}^{\pi} \cos(mx)\cos (nx)dx\ = \delta_{mn} $$
$$ \frac{1}{\pi}\int_{ - \pi}^{\pi} \sin(mx)\sin (nx)dx\ = \delta_{mn} $$
$$ \frac{1}{\pi}\int_{ - \pi}^{\pi} \cos(mx)\sin (nx)dx\ = 0 $$
尚、$\delta_{mn}$は、$m=n$の時1、$m\neq n$の時0となる。
三角関数の直交性

展開係数の証明

$a_{n}$の証明

　まず周期$2 \pi $の関数$f(x)$について、展開を行う。
$$ f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} \cos nx + b_{n} \sin nx) $$
ここで、$f(x)$と$\cos mx $ の内積を取る。この内積とは、両辺に$cos mx $をかけたのち、$-\pi$から$\pi$の範囲で積分することを言う。
$$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos mx dx\ = \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos mx dx\ +\sum_{n=1}^{\infty} \lbrace a_n\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos mx \cos nx dx\ + b_n\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos mx \sin nx dx\ \rbrace $$
ここで、三角関数の直交性より、$\cos mx \sin nx$の積分は$0$となり、$\cos mx \cos nx$の積分は$n=m$の時$\pi$、$n \neq m$の時$0$となる。また、$f(x)\cos mx$の積分は、周期$2\pi$の範囲で積分を行っている為、$0$となる。
　以上より、$n=m$の時のみ$\pi a_n$の値が現れ、$n \neq m$の時は解が$0$となる無限級数の計算となり、結果、$\pi a_n$が求まることが分かる。両辺に$\frac{1}{\pi}$をかけることにより、$\pi$を排除すれば$a_{m}$を求めることが出来る。(ここで、$a_{m}$と表記するのは、$n$が変数であり、$n=m$の時のみこの数字となるからである。)

$b_{n}$の証明

　基本的な方法は$a_{n}$と変わらないことに留意する。変わる部分は、内積にする関数が$\cos m$から$\sin m$となるのみである。周期$2\pi$の関数$f(x)\sin mx$の区間$2\pi$での積分は$0$、$\sin m \sin n$の積分は$m=n$の時$\pi$、$m \neq n$の時$0$、当然$\sin m \cos n$の積分は$0$となる為、この場合最後に残るのは$b_{m}$となる。よって、$b_{n}$を求める式は
$$ \frac{1}{\pi} \int_{ - \pi}^{\pi} f(x) \sin (nx)dx\ $$
となる。

$a_{0}$の計算

　これは、$a_{n}$の計算となんら変わらない。$\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx = 0$及び$\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx = 0$が確定するので、計算としては
$$ a_{0} = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) dx\ $$
となることは容易に分かるはずだ。