いつか出した積分の解説

問題の紹介

解答解説

$I=\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\ln(1+x)}{(1+x)\sqrt{x}}dx$とおく
$x=\tan^2\theta$とおく。このとき$\sqrt{x}=\tan\theta$で$\dfrac{dx}{2\sqrt{x}}=(1+\tan^2\theta)d\theta\Leftrightarrow\dfrac{dx}{\sqrt{x}}=2(1+\tan^2\theta)d\theta$である。
よって
$$ \begin{align*} I&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\ln(1+\tan^2\theta)}{1+\tan^2\theta}\cdot2(1+\tan^2\theta)d\theta\\ &=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\dfrac{1}{\cos^2\theta}\right)d\theta\\ &=-4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\cos\theta d\theta \end{align*} $$

ここで、 最初に書いた記事 で紹介した通り$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\cos\theta d\theta=-\dfrac{\pi}{2}\ln2$であるから、
$I=2\pi\ln2$となる。◻︎