いつか出した積分の解説

問題の紹介

解答解説

$I={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{(1+x)\sqrt{x}}}dx}$とおく
$x={\tan }^2\theta$とおく。このとき$\sqrt{x}=\tan \theta$で${\displaystyle \frac{dx}{2\sqrt{x}}}=(1+{\tan }^2\theta )d\theta \iff {\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{x}}}=2(1+{\tan }^2\theta )d\theta$である。
よって
$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{\ln (1+{\tan }^2\theta )}{1+{\tan }^2\theta }}\cdot 2(1+{\tan }^2\theta )d\theta \\ & =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln \left({\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}\right)d\theta \\ & =-4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln \cos \theta d\theta \end{array}$$

ここで、 最初に書いた記事 で紹介した通り${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln \cos \theta d\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\ln 2}$であるから、
$I=2\pi \ln 2$となる。◻︎