Eulerの公式（がなぜ成り立たなければならないのか）

Eulerの公式
$$e^{x+yi}=e^x(\cos y+i\sin y)\text{for all real }x,y\cdots \text{(1)}$$
は、特に
$$e^{\pi i}+1=0$$
の形で、強く印象に残る公式である。またこの公式は
$$e^{\pi }=(-1{)}^{-i}$$
とあらわせることも意味する。なお、このことから、$e^{\pi }$ が超越数であることがGel'fond-Schneiderの定理から従う（ Sep氏の記事を参照 ）。もちろんGel'fond-Schneiderの定理の証明は（複素関数に関するCauchyの定理よりも高級な手法を使わずに可能であるものの）本記事の議論よりもずっと難しい。

本記事では、Eulerの公式 $(1)$ を、可能な限り初等的に示すにはどうすればよいかを考える。

$(1)$ により複素数全体で再定義された関数 $e^x$ について
$$(e^x{)}^{\prime }=e^x$$
が成り立つことは極限の計算、あるいはTaylor展開の計算により確かめられる。また指数法則も三角関数の加法定理により確かめられる。また、このとき $e^x$ の逆演算は、$2\pi i$ の整数倍を法として、
$$\log (r(\cos \theta +i\sin \theta ))=\log r+i\theta$$
により定まる。
では、逆に $e^x$ の自然な拡張がそのようなものしかないことをどのように示すか？

自然な拡張とは何かだが、微分に関する公式に整合的であることを求めたい。
具体的には、関数 $f(x),g(x)$ について、実数上で（つまり $x,f(x)$ がともに実数値であるときに）
$$g^{\prime }(x)=f(x)$$ となっていることが実関数の微分法により示されているとき、 $f(x)$ が実数値をとらないときにもこの関係が成り立つように $g(x)$ を定める。このようにして拡張された $g(x)$ をつかって、微分公式や指数法則・対数法則に整合的になるように、複素数上で $e^x$ を定めるのである。

したがって、そのような整合性を保ちながら $e^x$ を定義するには $(1)$ のように定めるしかないことを示せばよいことになる。
指数関数や三角関数のTaylor展開を用いて、冪級数の一意性からこれを示すことはできるが、そのような冪級数に関する議論は避けて、基本的な微分法のみで示したいのである。

では、上記の関数 $f(x),g(x)$ として何をとればよいかであるが、選び方はいろいろあるが、$x\ge 1$ で実数値をとる関数 $\log (x\pm \sqrt{x^2-1})$ を考える。そうすると $\left|x\right|\ge 1$ のとき
$$(\log (x+\sqrt{x^2-1}){)}^{\prime }=\frac{1+\frac{x}{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\cdots \text{(2)}$$
となる。そこで、$-1\le \left|x\right|<1$ のときにもこの等式が成り立つように
$\log (x+\sqrt{x^2-1})$ を定義する。さて $\left|x\right|\le 1$ のとき（ここでは $x=1$ でもよい）整数 $n$ を何でもよいから選ぶと（たとえば $n=0$）、
$$x=\cos \theta ,\sqrt{x^2-1}=i\sin \theta ,0\le \sin \theta \le 1,2n\pi \le \theta \le (2n+1)\pi$$
となる $\theta$ がとれる。$(2)$ は
$$\frac{d}{dx}(\log (\cos \theta +i\sin \theta ))=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{i\sin \theta }$$
とあらわせるので
$$\frac{d}{d\theta }(\log (\cos \theta +i\sin \theta ))=\frac{1}{i\sin \theta }\frac{dx}{d\theta }=\frac{-\sin \theta }{i\sin \theta }=i\cdots \text{(3)}$$
と、$\theta$ に関する微分の式でいい替えられる。
したがって $\log (\cos 0+i\sin 0)=\log 1=0$ と定めれば $2n\pi \le \theta \le (2n+1)\pi$ において
$$\log (\cos \theta +i\sin \theta )=i\theta \cdots \text{(4)}$$
が成り立たなければならない。

ただし、ここで単純に $(3)$ もすべての実数 $\theta$ に対して成り立つようにすることはできない。というのは、すべての実数 $\theta$ に対して $(3)$ が成り立つならば $(4)$ もすべての実数に対して成り立つことになるがその場合、
$$i\theta =\log (\cos \theta +i\sin \theta )=\log (\cos (\theta +2\pi )+i\sin (\theta +2\pi ))=i(\theta +2\pi )$$
となって、矛盾してしまうからである。よって $(3)$ は $\theta$ の動く範囲を制限しなければ成り立たない。
$0\le \theta <2\pi$ あるいは $-\pi <\theta \le \pi$ などのように幅が $2\pi$ で、片方の端点のみ取り除くように $\theta$ の動く区間をとれば
矛盾なく $(4)$ が成り立つ。

ところで $\log (x-\sqrt{x^2-1})$ について、
$$(\log (x-\sqrt{x^2-1}){)}^{\prime }=\frac{1-\frac{x}{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}=\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}$$
となるが、先と同様に、$-1\le \left|x\right|<1$ に拡張する。この場合 $\left|x\right|\le 1$ のとき
$$x=\cos \theta ,-\sqrt{x^2-1}=i\sin \theta ,-1\le \sin \theta \le 0,(2n-1)\pi \le \theta \le 2n\pi$$
となる $\theta$ がとれる。
$$\frac{d}{dx}(\log (\cos \theta +i\sin \theta ))=\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{i\sin \theta }$$
となるから、結局は $(4)$ が成り立つ。ただし $\theta$ の動く範囲が異なる。

さて、 $(4)$ が成り立てば、実数 $r$ に対して
$$\log (r(\cos \theta +i\sin \theta ))=\log r+i\theta$$
が成り立つから、この逆関数を取れば $(1)$ が（ $y$が $2n\le y\le (2n+1)\pi$ を含む、幅 $2\pi$ の区間を動くときに）成り立つ。

$n$ は任意にとれるから、結局任意の実数 $x,y$ に対して $(1)$ が成り立たなければならないのである。