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大学数学基礎解説
文献あり

私はゼータ関数のEuler積表示を無限積の絶対収束性を使わず示したい!

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$$\newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{pas}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{Pas}[1]{\left\{#1\right\}} $$

はじめに

記事名がラノベのタイトルみたいですね. ところで$\Re(z)$で複素数$z$の実部, 実数$x$に対し$\mathbb{P},\mathbb{P}_{< x}$をそれぞれ素数全体, $x$未満の素数全体の集合を表わすとする. 最も一般的に知られているゼータ関数:
\begin{align} \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\quad (\Re(s)>1) \end{align}
には,
\begin{align} \zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1-p^{-s}\right)^{-1}\quad(\Re(s)>1) \end{align}
という無限積表示がある. これを, $\zeta(s)$のEuler積表示という. みずきさんの記事 では, Euler積表示を簡単な方法で分かりやすく示しているが, 暗に無限積の絶対収束性等を認めているので, 今回はそれを用いずに示していきたいと思う.

ゼータ関数のEuler積表示

級数$\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$$\Re(s)>1$で絶対収束する.

\begin{align} \sum_{n=1}^\infty\abs{\frac{1}{n^s}}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{\Re(s)}}\leq 1+\int_1^\infty x^{-\Re(s)}dx =1+\frac{1}{\Re(s)-1}<\infty. \end{align}

Euler積表示

\begin{align} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\prod_{p\in\mathbb{P}}\pas{1-p^{-s}}^{-1}\quad (\Re(s)>1) \end{align}

$A_x$$x$未満の素数の積で構成される数全体とする. 即ち,
\begin{align} A_x=\Pas{n=\prod_{j=1}^kp_j^{e(j)}: k\in\mathbb{N},\;p_j\in\mathbb{P}_{< x},\;e(j)\in\mathbb{N}\quad(1\leq j\leq k)}. \end{align}
すると,
\begin{align} \prod_{p< x}\pas{1-p^{-s}}^{-1}=\prod_{p< x}(1+p^{-s}+p^{-2s}+p^{-3s}+\cdots)=\sum_{n\in A_x}\frac{1}{n^s} \end{align}
と変形できる. 二つ目の等式においては, 絶対収束級数$\sum_{k=0}^\infty p^{-ks}$有限積であるから, 並びかえ及び積の展開が可能である. 従って
\begin{align} \prod_{p\in\mathbb{P}}\pas{1-p^{-s}}^{-1}=\lim_{x\to\infty}\prod_{p\in\mathbb{P}_{< x}}\pas{1-p^{-s}}^{-1} \end{align}
と解釈すれば,
\begin{align} \abs{\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}-\prod_{p\in\mathbb{P}}\pas{1-p^{-s}}^{-1}} &=\abs{\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}-\lim_{x\to\infty}\sum_{n\in A_x}\frac{1}{n^s}}=\abs{\lim_{x\to\infty}\sum_{n\notin A_x}\frac{1}{n^s}}\\ &\leq \lim_{x\to\infty}\sum_{n\notin A_x}\frac{1}{n^{\Re(s)}}\leq \lim_{x\to\infty}\sum_{n\geq x}\frac{1}{n^{\Re(s)}}=0. \end{align}

さいごに

下の引用に挙げた書籍「素数とゼータ関数」には, みずきさんのような直感的な証明と, 本記事のような厳密な証明のどちらも載っていますので, 気になる方はお手にとってみてください.

素数とゼータ関数, 小山信也, 共立出版.

参考文献

[1]
小山信也, 素数とゼータ関数, 共立講座 数学の輝き6, 共立出版, 2015
投稿日:20201130

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解析数論が好きです! ねこに包まれたい。

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