文献あり

私はゼータ関数のEuler積表示を無限積の絶対収束性を使わず示したい！

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はじめに

記事名がラノベのタイトルみたいですね. ところで $Re (z)$ で複素数 $z$ の実部, 実数 $x$ に対し $P, P_{< x}$ をそれぞれ素数全体, $x$ 未満の素数全体の集合を表わすとする. 最も一般的に知られているゼータ関数:
$\begin{array}{r} ζ (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} (Re (s) > 1) \end{array}$
には,
$\begin{array}{r} ζ (s) = \prod_{p \in P} {(1 - p^{- s})}^{- 1} (Re (s) > 1) \end{array}$
という無限積表示がある. これを, $ζ (s)$ のEuler積表示という. みずきさんの記事では, Euler積表示を簡単な方法で分かりやすく示しているが, 暗に無限積の絶対収束性等を認めているので, 今回はそれを用いずに示していきたいと思う.

ゼータ関数のEuler積表示

級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s}$ は $Re (s) > 1$ で絶対収束する.

$\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} | \frac{1}{n^{s}} | = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{Re (s)}} \leq 1 + \int_{1}^{\infty} x^{- Re (s)} d x = 1 + \frac{1}{Re (s) - 1} < \infty . \end{array}$

Euler積表示

$\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} = \prod_{p \in P} {(1 - p^{- s})}^{- 1} (Re (s) > 1) \end{array}$

$A_{x}$ で $x$ 未満の素数の積で構成される数全体とする. 即ち,
$\begin{array}{r} A_{x} = {n = \prod_{j = 1}^{k} p_{j}^{e (j)} : k \in N, p_{j} \in P_{< x}, e (j) \in N (1 \leq j \leq k)} . \end{array}$
すると,
$\begin{array}{r} \prod_{p < x} {(1 - p^{- s})}^{- 1} = \prod_{p < x} (1 + p^{- s} + p^{- 2 s} + p^{- 3 s} + \dots) = \sum_{n \in A_{x}} \frac{1}{n^{s}} \end{array}$
と変形できる. 二つ目の等式においては, 絶対収束級数 $\sum_{k = 0}^{\infty} p^{- k s}$ の有限積であるから, 並びかえ及び積の展開が可能である. 従って
$\begin{array}{r} \prod_{p \in P} {(1 - p^{- s})}^{- 1} = lim_{x \to \infty} \prod_{p \in P_{< x}} {(1 - p^{- s})}^{- 1} \end{array}$
と解釈すれば,
$\begin{aligned} | \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} - \prod_{p \in P} {(1 - p^{- s})}^{- 1} | & = | \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} - lim_{x \to \infty} \sum_{n \in A_{x}} \frac{1}{n^{s}} | = | lim_{x \to \infty} \sum_{n \notin A_{x}} \frac{1}{n^{s}} | \\ \leq lim_{x \to \infty} \sum_{n \notin A_{x}} \frac{1}{n^{Re (s)}} \leq lim_{x \to \infty} \sum_{n \geq x} \frac{1}{n^{Re (s)}} = 0. \end{aligned}$