三角圏のt-structureがあると、heartへのコホモジカル関手が伸びる
導入
三角圏の中にアーベル圏を実現する方法として、$t$-structureのheartを取るものが一番有名です。ここで例えばアーベル圏$\AA$の導来圏$\DDD(\AA)$の場合は、standard $t$-structureのheartとしてもとのアーベル圏がでますが、複体の$0$次ホモロジーを取る操作はコホモロジカル関手$H^0 \colon \DDD(\AA) \to \AA$ができます。
このことは$t$-structureのheartにも同じことが言え、次が成り立ちます。
三角圏$\TT$の$t$-structure $(t^{\leq 0},t^{\geq 0})$とそのheart $\HH:= t^{\leq 0} \cap t^{\geq 0}$を考える。このとき、truncationの合成で関手$\tau^{\leq 0} \tau^{\geq 0} \cong \tau^{\geq 0} \tau^{\leq 0} \colon \TT \to \HH$が定まり、これはコホモロジカルである。
本記事ではこれの具体的な構成を行い、コホモロジカルであることを示すことを目標にします。
前提知識
三角圏とアーベル圏の定義を知っている、随伴関手やその性質を知っていることを仮定します。また$t$-structureについてのtruncation functorは Bridgeland安定性第1回 へ証明を投げており、途中で$t$-structureのheartがアーベル圏になることはFactとして扱います（これについては この記事 等参照）。
慣習と記法
いつもと同じです：
- 考える部分圏は全てfullで有限直和と同型で閉じることを仮定する（直和因子で閉じることは課さない）。
- 三角圏$\TT$の部分圏$\XX$に対して、$\XX^\perp$や$^\perp \XX$で通常の$\Hom$直交部分圏を指す。また二つの部分圏$\XX,\YY$に対して、$\XX \perp \YY$で、$\TT(\XX,\YY) = 0$を表す。
- 三角圏$\TT$の対象の集まり$\XX$と$\YY$に対し（部分圏でなくてもよい）、
$$ X \to E \to Y \to X[1] $$
というtriangleで$X \in \XX$と$Y \in \YY$を満たすようなものが存在するような$E$を全て集めたものを$\XX * \YY$と書く（この$*$演算は結合的）。
$t$-structureの定義と基本性質
他の記事ですでに現れていますが、記号の確認と基本性質を思い出すために確認しましょう。
三角圏$\TT$の部分圏の組$t = (t^{\leq 0},t^{\geq 0})$が$t$-structureであるとは、以下を満たすときをいう。
- $t^{\leq 0} \perp t^{\geq 1}$.
- $\TT = t^{\leq 0} * t^{\geq 1}$.
- $t^{\leq -1} \subseteq t^{\leq 0}$（または$t^{\geq 1} \subseteq t^{\geq 0}$としても同値）.
またここで整数$n \in \Z$について$t^{\leq n}:= t^{\leq 0}[-n]$、$t^{\geq n}:= t^{\geq 0}[-n]$と書く。
いくつかの基本性質を思い出します。
三角圏$\TT$の$t$-structure $t$と任意の整数$n \in \Z$について次が成り立つ。
- $\TT = t^{\leq n} * t^{\geq n+1}$。
- $t^{\leq n}$と$t^{\geq n}$はともに拡大と直和因子で閉じる。
- 任意の$T \in \TT$に対して、三角
$$ \tau^{\leq n}T \to T \to \tau^{\geq n+1}T \to $$
で$\tau^{\leq n}T \in t^{\leq n}$かつ$\tau^{\geq n+1}T \in t^{\geq n+1}$なるものが存在するが、この性質を満たす三角は$T$を固定すれば一意的な同型を除いて一意的に定まり、これを標準三角と呼ぶ。 - 各対象$T \in \TT$に対し、上の標準三角をchoiceし、その$\tau^{\leq n}T$を対応させる操作で関手$\TT \to t^{\leq n}$が定まり、これは包含$t^{\leq n} \inj \TT$の右随伴である。同様に$\tau^{\geq n+1} T$を対応させる操作で関手$\TT \to t^{\geq n+1}$が定まり、これは包含$t^{\geq n+1} \inj \TT$の左随伴である。
Bridgeland安定性第1回 を適切に言い換えたりシフトでずらせば得られる（torsion radicalとtorsion-free coradicalがそれぞれ$\tau^{\leq n}$や$\tau^{\geq n}$を与える）。
以下では各対象$T \in \TT$と整数$n$について予め標準三角$\tau^{\leq n} T \to T \to \tau^{\geq n+1} T \to $を固定して選んでおき、それにより関手$\tau^{\leq n} \colon \TT \to t^{\leq n}$と$\tau^{\geq n+1} \colon \TT \to t^{\geq n+1}$を固定しておきます。
上の$\tau^{\leq n}$などをよくtruncationと言います。導来圏の場合は複体の普通の（stupidでない）truncationです。
またheartを思い出しましょう。
三角圏$\TT$の$t$-structure $(t^{\leq 0}, t^{\geq 0})$のheartとは、$\TT$の部分圏$t^{\leq 0} \cap t^{\geq 0}$を指す。
アーベル圏$\AA$の導来圏$\DDD(\AA)$を考え、標準的な$t$-structureを入れます（つまり$t^{\leq 0}$は$0$以下にコホモロジーがconcentrateして複体）。このheartはコホモロジーが$0$次以外消えている複体のなす部分圏です。これはよく知られた議論により$\AA$と圏同値になっています。
次がheartの基本性質です。
三角圏$\TT$の$t$-structure $t$のheartを$\HH$とすると次が成り立つ：
- $\HH$はアーベル圏である。
- $\HH$の射の組$X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z$が$\HH$で短完全列であることと、ある$\TT$の三角$X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \to X[1]$が存在することは同値である。
heartについての記事 参照。
主定理の証明
以下、三角圏$\TT$とその$t$-structure $t = (t^{\leq 0},t^{\geq 0})$とそのheart $\HH$や各truncation functor $\tau^{\leq n},\tau^{\geq n}$を固定します。
コホモロジカル関手の構成と二つの定義の同値性
作りたい関手は$\TT \to \HH$ですが、定義だけなら簡単にできて、truncation functorの合成$\tau^{\geq 0} \tau^{\leq 0}$です（無理やりゼロ以上ゼロ以下にすれば$\HH$の元ができるので）。しかし$\tau^{\leq 0} \tau^{\geq 0}$という順番もありうるので、この二つが自然同値なことをまずは見ていきたいと思います。
関手$\tau^{\leq 0}$は$\tau^{\leq 0}\colon t^{\geq 0} \to \HH$を導き、関手$\tau^{\geq 0}$は$\tau^{\geq 0}\colon t^{\leq 0} \to \HH$を導き、さらに関手の自然同型$\tau^{\geq 0}\tau^{\leq 0} \cong \tau^{\leq 0}\tau^{\geq 0} \colon \TT \to \HH$がある。
これはもっと言えば$t^{[m,n]}$への二つの自然な関手にも拡張できるし、さらに包含がある二つの$t$-structureや、包含がある二つのtorsion pairについても同様の「どっちから切っても同じ」という主張が成り立つはずだが、証明は全く同じだし、過度に一般化しても読者が分かりにくくなりそうなのでやめることにする。
まず$\tau^{\leq 0}\colon t^{\geq 0}\to \HH$が誘導されることは、$0$以上の$T$があれば作られる三角
$$
\tau^{\geq 1}T[-1] \to \tau^{\leq 0} T \to T \to \tau^{\geq 1}T
$$
において、一番左が$2$以上、$T$が$0$以上なことから$\tau^{\leq 0}T$も$0$以上より従う。もう一つの方も同様。
自然同型$\tau^{\geq 0} \tau^{\leq 0} \cong \tau^{\leq 0}\tau^{\geq 0} \colon \TT \to \HH$を示す。対象$T \in \TT$をとり、二つの標準三角の射の合成$\tau^{\leq 0} T \to T \to \tau^{\geq 0} T$を考える。これについて、随伴を2回使うと、次を可換にする一意的な射$\eta_T \colon \tau^{\geq 0}\tau^{\leq 0}T \to \tau^{\leq 0}\tau^{\geq 0} T$が得られる：
$$
\xymatrix{
\tau^{\leq 0} T \ar[dd]\ar[r] & \tau^{\geq 0}\tau^{\leq 0}T \ar[dr]^{\eta_T} \\
& & \tau^{\leq 0} \tau^{\geq 0} T \ar[d]\\
T \ar[rr] & & \tau^{\geq 0} T
}
$$
（$\eta_T$以外の全ての射は標準三角に現れる射である。）このとき$\eta$が自然変換なことはすぐ分かる。
このとき$\eta_T$が同型なことを示す。そのため、まず標準三角の射$\tau^{\leq -1} T \to T$は$\tau^{\leq 0}T \to T$を経由する（$\tau^{\leq -1} \in t^{\leq 0}$と随伴より）ので、これを利用して八面体から次の三角ができる：
\begin{CD}
\tau^{\leq -1} T @>>>\tau^{\leq 0} T @>>> X @>>> \tau^{\leq -1}T[1] \\
@|@VVV @VVV @|\\
\tau^{\leq -1} T @>>> T @>>> \tau^{\geq 0} T @>>> \tau^{\leq -1}T[1] \\
@. @VVV @VVV \\
@. \tau^{\geq 1} T @= \tau^{\geq 1} T \\
@. @VVV @VVV\\
@. \tau^{\leq 0}T[1] @>>> X[1]
\end{CD}
ここで縦の2列目と横の2行目は標準三角であり、横の1列目は写像錐を伸ばしたもの、縦の3列目は八面体により保証される三角である。このとき縦の3列目により$X$は$\tau^{\geq 1} T[-1]$と$\tau^{\geq 0} T$の拡大だが、それぞれ$2$以上$0$以上なので$X$は$0$以上である。同様に横の1列目により$X$は$0$以下となり、つまり$X \in \HH$となっている。
よって横の1行目は実際は$\tau^{\leq 0}T$に関する標準三角と同型、縦の3列目は$\tau^{\geq 0}T$に関する標準三角と同型。つまり次の可換図式が得られる（縦や横は三角と限らない）：
\begin{CD}
\tau^{\leq -1}\tau^{\leq 0} T @>>>\tau^{\leq 0} T @>>> \tau^{\geq 0} \tau^{\leq 0} T \\
@V{\sim}VV @| @V{\sim}VV \\
\tau^{\leq -1} T @>>>\tau^{\leq 0} T @>>> X @>{\sim}>> \tau^{\leq 0} \tau^{\geq 0}T \\
@|@VVV @VVV @VVV\\
\tau^{\leq -1} T @>>> T @>>> \tau^{\geq 0} T @= \tau^{\geq 0} T \\
@. @VVV @VVV @VVV\\
@. \tau^{\geq 1} T @= \tau^{\geq 1} T @>{\sim}>> \tau^{\geq 1} \tau^{\geq 0} T
\end{CD}
ここで上の図式の右の隅の合成$\tau^{\geq 0}\tau^{\leq 0}T \xrightarrow{\sim} X \xrightarrow{\sim} \tau^{\leq 0}\tau^{\geq 0}T$が$\eta_T$に等しいことが、上の可換性から従う。よって$\eta_T$は同型である。
コホモロジカルなこと
三角圏$\TT$の$t$-structure $(t^{\leq 0},t^{\geq 0})$を固定し、そのheart $\HH$を考える。このとき前節命題4により自然同型$\tau^{\geq 0}\tau^{\leq 0} \cong \tau^{\leq 0} \tau^{\geq 0} \colon \TT \to \HH$があるが、これを$H \colon \TT \to \HH$という記号で定める。
さてこの関手がコホモロジカルだというのが本記事の一番の目的です。まず定義を思い出しましょう。
三角圏$\TT$からアーベル圏$\HH$への関手$H$がコホモロジカルであるとは、任意の$\TT$の三角
$$
A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to A[1]
$$
に対して、$H$で飛ばした次の列
$$
H(A) \xrightarrow{H(f)} H(B) \xrightarrow{H(g)} H(C)
$$
がアーベル圏$\HH$の完全列になっているときをいう。
- よく知られている三角圏の性質から、表現可能関手$\TT(T,-)$はコホモロジカルです。
- アーベル圏$\AA$の導来圏$\DDD(\AA)$を考えると、$0$次コホモロジーを取る関手$H^0 \colon \DDD(\AA) \to \AA$ができますが、これはコホモロジカルです。
2番目の例を拡張するのが$t$-structureからできるコホモロジカル関手です。
三角圏$\TT$の$t$-structure $(t^{\leq 0},t^{\geq 0})$とそのheart $\HH:= t^{\leq 0} \cap t^{\geq 0}$について、定義3で定めた関手$H$はコホモロジカルである。
いくつかの補題を準備して証明します。以下記号は前のように固定します。
- $A \in t^{\leq 0}$に対して、標準三角の射$\tau^{\leq 0} A \to A$は同型である。
- $A \in \TT$に対して、標準三角の射$\tau^{\leq 0} A \to A$を関手$\tau^{\leq 0}$で飛ばすと同型になる。
- $A \in \TT$に対して、標準三角の射$\tau^{\leq 0} A \to A$を$H$で飛ばすと同型になる。
当たり前っぽいけど、一応初めに標準三角を全てchoiceしてfixしているのでちょっとは議論が必要（圏論の練習問題っぽい）（多分部分圏の包含が右随伴を持つときの一般論から従わせることができる）。
1について。$A = A \to 0 \to A[1]$が$A$の標準三角になっているので、標準三角の一意性より$\tau^{\leq 0}A \to A$は$A = A$ど同型、よって同型。
2について。$\tau^{\leq 0} A \to A$を$\tau^{\leq 0}$で送ることを考えて、次の図式を考える：
\begin{CD}
\tau^{\leq 0}\tau^{\leq 0} A @>>> \tau^{\leq 0} A \\
@VVV @VVV \\
\tau^{\leq 0} A @>>> A
\end{CD}
ここで一番右の射が最初の標準三角の射$\tau^{\leq 0} A \to A$で、下と上の射はそれぞれ$A$と$\tau^{\leq 0} A$に関する標準三角の射、一番左の射は求める射で、それは上の図式を可換にする一意的な射である。ここで1により上の射は同型、また一意性から左の射は上の射と一致している。よって左の射も同型である。
- $H = \tau^{\geq 0} \tau^{\leq 0}$の表示を使うと2よりすぐ従う。
三角$X \to B \to D \to X[1]$で$X \in t^{\leq 0}$とすると、$H$で送ると$\HH$の完全列
$$
H(X) \to H(B) \to H(D) \to 0
$$
が得られる。
まずこの三角を取り換えて$B,D \in t^{\leq 0}$としてよいことを見る。標準三角の射$\tau^{\leq 0} D \to D$とその合成$D \to X[1]$に逆八面体を使うと、三角からなる次が得られる：
\begin{CD}
X @>>> E @>>> \tau^{\leq 0} D @>>> X[1] \\
@| @VVV @VVV @| \\
X @>>> B @>>> D @>>> X[1] \\
@. @VVV @VVV \\
@. \tau^{\geq 1} D @= \tau^{\geq 1} D \\
@. @VVV @VVV
\end{CD}
ここで横1行目を見ると$E \in t^{\leq 0}$が分かり、よって縦2列めは$B$についての標準三角と同型である。ゆえに先の補題6により$H(E) \to H(B)$と$H(\tau^{\leq 0} D) \to H(D)$は同型で、初めに取った三角（横2行目）を$H$で送ったものは横1行目の三角を$H$で送ったものと同型。よって横1行目に取り換えることで、初めから$B,D \in t^{\leq 0}$としてよい。
すると任意に$W \in \HH$をとると、次の可換図式がある：
\begin{CD}
0 @>>> \TT(H(D),W) @>>> \TT(H(B),W) @>>> \TT(H(X),W) \\
@. @| @| @| \\
0 @>>> \TT(\tau^{\geq 0}\tau^{\leq 0} D,W) @>>> \TT(\tau^{\geq 0}\tau^{\leq 0} B,W) @>>> \TT(\tau^{\geq 0}\tau^{\leq 0} X,W) \\
@. @V{\sim}VV @V{\sim}VV @V{\sim}VV\\
0 @>>> \TT(\tau^{\leq 0} D,W) @>>> \TT(\tau^{\leq 0} B,W) @>>> \TT(\tau^{\leq 0} X,W) \\
@. @V{\sim}VV @V{\sim}VV @V{\sim}VV\\
0 = \TT(X[1],W) @>>> \TT(D,W) @>>> \TT(B,W) @>>> \TT(X,W) \\
\end{CD}
ここで1行目から2行目は$H$の定義、2行目から3行目は$W \in t^{\geq 0}$と$\tau^{\geq 0}$の左随伴性、3行目から4行目への同型は各$D,B,X \in t^{\leq 0}$から補題6により従う。また$0 = \TT(X[1],W)$は$X[1] \in t^{\leq -1}$と$W \in t^{\geq 0}$から従う。
さて一番下の列は$\TT(-,W)$がコホモロジカル関手なことから完全。よって一番上も完全である。これは$H(X) \to H(B) \to H(D) \to 0$が$\HH$で完全なことを意味している。
これの双対的に次が得られます（ここで暗に$\tau^{\geq 0}\tau^{\leq 0} \cong \tau^{\leq 0}\tau^{\geq 0}$を使っている）：
三角$Y[-1] \to D \to C \to Y$で$Y \in t^{\geq 0}$とすると、$H$で送ると$\HH$の完全列
$$
0 \to H(D) \to H(C) \to H(Y)
$$
が得られる。
これらを認めると、主定理の証明ができます
任意に$\TT$の三角$A \to B \to C \to A[1]$をとる。このとき標準三角の射$\tau^{\leq 0} A \to A$に対して八面体により下の図式ができる。
\begin{CD}
\tau^{\leq 0} A @= \tau^{\leq 0} A \\
@VVV @VVV \\
A @>>> B @>>> C @>>> A[1] \\
@VVV @VVV @| @VVV \\
\tau^{\geq 1} A @>>> D @>>> C @>>> \tau^{\geq 1}A[1] \\
@VVV @VVV \\
\tau^{\leq 0}A[1] @= \tau^{\leq 0}A[1]
\end{CD}
このとき$H$で送って次の$\HH$の図式を考える。
\begin{CD}
H(\tau^{\leq 0} A) @= H(\tau^{\leq 0} A) \\
@VVV @VVV \\
H(A) @>>> H(B) @>>> H(C) \\
@. @VVV @| \\
0 @>>> H(D) @>>> H(C) \\
@. @VVV \\
@. 0
\end{CD}
上の$\HH$の図式において、
- 左上の$H(\tau^{\leq 0} A) \to H(A)$が同型
- 縦2列目の$H(\tau^{\leq 0} A) \to H(B) \to H(D) \to 0$が完全
- 横3行目の$0 \to H(D) \to H(C)$が完全
の3つが示せれば、$H(A) \to H(B) \to H(C)$が完全なことが従う。しかし、それぞれ
- の同型は補題6
- の右完全列は補題7（$\tau^{\leq 0} A \in t^{\leq 0}$より）
- の単射性は補題8（の一部）（$\tau^{\geq 1}A[1] \in t^{\geq 0}$により）
から従う。
感想
落ち着いて八面体を使って帰着させれば証明はできるけど、まあまあ面倒なので人生で一回追えばいいタイプの証明だと思いました。