三角圏のt-structureがあると、heartへのコホモジカル関手が伸びる

Bridgeland安定性第1回 を適切に言い換えたりシフトでずらせば得られる（torsion radicalとtorsion-free coradicalがそれぞれ${\tau }^{\le n}$や${\tau }^{\ge n}$を与える）。

heartについての記事 参照。

まず${\tau }^{\le 0}:t^{\ge 0}\to \mathcal{H}$が誘導されることは、$0$以上の$T$があれば作られる三角
$${\tau }^{\ge 1}T[-1]\to {\tau }^{\le 0}T\to T\to {\tau }^{\ge 1}T$$
において、一番左が$2$以上、$T$が$0$以上なことから${\tau }^{\le 0}T$も$0$以上より従う。もう一つの方も同様。

自然同型${\tau }^{\ge 0}{\tau }^{\le 0}\cong {\tau }^{\le 0}{\tau }^{\ge 0}:\mathcal{T}\to \mathcal{H}$を示す。対象$T\in \mathcal{T}$をとり、二つの標準三角の射の合成${\tau }^{\le 0}T\to T\to {\tau }^{\ge 0}T$を考える。これについて、随伴を2回使うと、次を可換にする一意的な射${\eta }_T:{\tau }^{\ge 0}{\tau }^{\le 0}T\to {\tau }^{\le 0}{\tau }^{\ge 0}T$が得られる：
$${\tau }^{\le 0}T{\tau }^{\ge 0}{\tau }^{\le 0}T{\eta }_T{\tau }^{\le 0}{\tau }^{\ge 0}TT{\tau }^{\ge 0}T$$
（${\eta }_T$以外の全ての射は標準三角に現れる射である。）このとき$\eta$が自然変換なことはすぐ分かる。

このとき${\eta }_T$が同型なことを示す。そのため、まず標準三角の射${\tau }^{\le -1}T\to T$は${\tau }^{\le 0}T\to T$を経由する（${\tau }^{\le -1}\in t^{\le 0}$と随伴より）ので、これを利用して八面体から次の三角ができる：
$$\begin{array}{ccccccc}{\tau }^{\le -1}T& \stackrel{}{\to }& {\tau }^{\le 0}T& \stackrel{}{\to }& X& \stackrel{}{\to }& {\tau }^{\le -1}T[1]\\ \parallel & & \downarrow & & \downarrow & & \parallel & \\ {\tau }^{\le -1}T& \stackrel{}{\to }& T& \stackrel{}{\to }& {\tau }^{\ge 0}T& \stackrel{}{\to }& {\tau }^{\le -1}T[1]\\ & & \downarrow & & \downarrow & \\ & & {\tau }^{\ge 1}T& =& {\tau }^{\ge 1}T\\ & & \downarrow & & \downarrow & \\ & & {\tau }^{\le 0}T[1]& \stackrel{}{\to }& X[1]\end{array}$$
ここで縦の2列目と横の2行目は標準三角であり、横の1列目は写像錐を伸ばしたもの、縦の3列目は八面体により保証される三角である。このとき縦の3列目により$X$は${\tau }^{\ge 1}T[-1]$と${\tau }^{\ge 0}T$の拡大だが、それぞれ$2$以上$0$以上なので$X$は$0$以上である。同様に横の1列目により$X$は$0$以下となり、つまり$X\in \mathcal{H}$となっている。

よって横の1行目は実際は${\tau }^{\le 0}T$に関する標準三角と同型、縦の3列目は${\tau }^{\ge 0}T$に関する標準三角と同型。つまり次の可換図式が得られる（縦や横は三角と限らない）：
$$\begin{array}{ccccc}{\tau }^{\le -1}{\tau }^{\le 0}T& \stackrel{}{\to }& {\tau }^{\le 0}T& \stackrel{}{\to }& {\tau }^{\ge 0}{\tau }^{\le 0}T\\ \sim \downarrow & & \parallel & & \sim \downarrow & \\ {\tau }^{\le -1}T& \stackrel{}{\to }& {\tau }^{\le 0}T& \stackrel{}{\to }& X& \stackrel{\sim }{\to }& {\tau }^{\le 0}{\tau }^{\ge 0}T\\ \parallel & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ {\tau }^{\le -1}T& \stackrel{}{\to }& T& \stackrel{}{\to }& {\tau }^{\ge 0}T& =& {\tau }^{\ge 0}T\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ & & {\tau }^{\ge 1}T& =& {\tau }^{\ge 1}T& \stackrel{\sim }{\to }& {\tau }^{\ge 1}{\tau }^{\ge 0}T\end{array}$$
ここで上の図式の右の隅の合成${\tau }^{\ge 0}{\tau }^{\le 0}T\stackrel{\sim }{\to }X\stackrel{\sim }{\to }{\tau }^{\le 0}{\tau }^{\ge 0}T$が${\eta }_T$に等しいことが、上の可換性から従う。よって${\eta }_T$は同型である。

当たり前っぽいけど、一応初めに標準三角を全てchoiceしてfixしているのでちょっとは議論が必要（圏論の練習問題っぽい）（多分部分圏の包含が右随伴を持つときの一般論から従わせることができる）。

1について。$A=A\to 0\to A[1]$が$A$の標準三角になっているので、標準三角の一意性より${\tau }^{\le 0}A\to A$は$A=A$ど同型、よって同型。

2について。${\tau }^{\le 0}A\to A$を${\tau }^{\le 0}$で送ることを考えて、次の図式を考える：
$$\begin{array}{ccc}{\tau }^{\le 0}{\tau }^{\le 0}A& \stackrel{}{\to }& {\tau }^{\le 0}A\\ \downarrow & & \downarrow & \\ {\tau }^{\le 0}A& \stackrel{}{\to }& A\end{array}$$
ここで一番右の射が最初の標準三角の射${\tau }^{\le 0}A\to A$で、下と上の射はそれぞれ$A$と${\tau }^{\le 0}A$に関する標準三角の射、一番左の射は求める射で、それは上の図式を可換にする一意的な射である。ここで1により上の射は同型、また一意性から左の射は上の射と一致している。よって左の射も同型である。

3. $H={\tau }^{\ge 0}{\tau }^{\le 0}$の表示を使うと2よりすぐ従う。

まずこの三角を取り換えて$B,D\in t^{\le 0}$としてよいことを見る。標準三角の射${\tau }^{\le 0}D\to D$とその合成$D\to X[1]$に逆八面体を使うと、三角からなる次が得られる：
$$\begin{array}{ccccccc}X& \stackrel{}{\to }& E& \stackrel{}{\to }& {\tau }^{\le 0}D& \stackrel{}{\to }& X[1]\\ \parallel & & \downarrow & & \downarrow & & \parallel & \\ X& \stackrel{}{\to }& B& \stackrel{}{\to }& D& \stackrel{}{\to }& X[1]\\ & & \downarrow & & \downarrow & \\ & & {\tau }^{\ge 1}D& =& {\tau }^{\ge 1}D\\ & & \downarrow & & \downarrow & \end{array}$$
ここで横1行目を見ると$E\in t^{\le 0}$が分かり、よって縦2列めは$B$についての標準三角と同型である。ゆえに先の補題6により$H(E)\to H(B)$と$H({\tau }^{\le 0}D)\to H(D)$は同型で、初めに取った三角（横2行目）を$H$で送ったものは横1行目の三角を$H$で送ったものと同型。よって横1行目に取り換えることで、初めから$B,D\in t^{\le 0}$としてよい。

すると任意に$W\in \mathcal{H}$をとると、次の可換図式がある：
$$\begin{array}{ccccccc}0& \stackrel{}{\to }& \mathcal{T}(H(D),W)& \stackrel{}{\to }& \mathcal{T}(H(B),W)& \stackrel{}{\to }& \mathcal{T}(H(X),W)\\ & & \parallel & & \parallel & & \parallel & \\ 0& \stackrel{}{\to }& \mathcal{T}({\tau }^{\ge 0}{\tau }^{\le 0}D,W)& \stackrel{}{\to }& \mathcal{T}({\tau }^{\ge 0}{\tau }^{\le 0}B,W)& \stackrel{}{\to }& \mathcal{T}({\tau }^{\ge 0}{\tau }^{\le 0}X,W)\\ & & \sim \downarrow & & \sim \downarrow & & \sim \downarrow & \\ 0& \stackrel{}{\to }& \mathcal{T}({\tau }^{\le 0}D,W)& \stackrel{}{\to }& \mathcal{T}({\tau }^{\le 0}B,W)& \stackrel{}{\to }& \mathcal{T}({\tau }^{\le 0}X,W)\\ & & \sim \downarrow & & \sim \downarrow & & \sim \downarrow & \\ 0=\mathcal{T}(X[1],W)& \stackrel{}{\to }& \mathcal{T}(D,W)& \stackrel{}{\to }& \mathcal{T}(B,W)& \stackrel{}{\to }& \mathcal{T}(X,W)\end{array}$$
ここで1行目から2行目は$H$の定義、2行目から3行目は$W\in t^{\ge 0}$と${\tau }^{\ge 0}$の左随伴性、3行目から4行目への同型は各$D,B,X\in t^{\le 0}$から補題6により従う。また$0=\mathcal{T}(X[1],W)$は$X[1]\in t^{\le -1}$と$W\in t^{\ge 0}$から従う。

さて一番下の列は$\mathcal{T}(-,W)$がコホモロジカル関手なことから完全。よって一番上も完全である。これは$H(X)\to H(B)\to H(D)\to 0$が$\mathcal{H}$で完全なことを意味している。

任意に$\mathcal{T}$の三角$A\to B\to C\to A[1]$をとる。このとき標準三角の射${\tau }^{\le 0}A\to A$に対して八面体により下の図式ができる。
$$\begin{array}{ccc}{\tau }^{\le 0}A& =& {\tau }^{\le 0}A\\ \downarrow & & \downarrow & \\ A& \stackrel{}{\to }& B& \stackrel{}{\to }& C& \stackrel{}{\to }& A[1]\\ \downarrow & & \downarrow & & \parallel & & \downarrow & \\ {\tau }^{\ge 1}A& \stackrel{}{\to }& D& \stackrel{}{\to }& C& \stackrel{}{\to }& {\tau }^{\ge 1}A[1]\\ \downarrow & & \downarrow & \\ {\tau }^{\le 0}A[1]& =& {\tau }^{\le 0}A[1]\end{array}$$

このとき$H$で送って次の$\mathcal{H}$の図式を考える。
$$\begin{array}{ccc}H({\tau }^{\le 0}A)& =& H({\tau }^{\le 0}A)\\ \downarrow & & \downarrow & \\ H(A)& \stackrel{}{\to }& H(B)& \stackrel{}{\to }& H(C)\\ & & \downarrow & & \parallel & \\ 0& \stackrel{}{\to }& H(D)& \stackrel{}{\to }& H(C)\\ & & \downarrow & \\ & & 0\end{array}$$
上の$\mathcal{H}$の図式において、

1. 左上の$H({\tau }^{\le 0}A)\to H(A)$が同型
2. 縦2列目の$H({\tau }^{\le 0}A)\to H(B)\to H(D)\to 0$が完全
3. 横3行目の$0\to H(D)\to H(C)$が完全

の3つが示せれば、$H(A)\to H(B)\to H(C)$が完全なことが従う。しかし、それぞれ

1. の同型は補題6
2. の右完全列は補題7（${\tau }^{\le 0}A\in t^{\le 0}$より）
3. の単射性は補題8（の一部）（${\tau }^{\ge 1}A[1]\in t^{\ge 0}$により）

から従う。