大学数学基礎解説

中国式剰余定理を理解する（第2回　群論）

群論,中国式剰余定理

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はじめに

本記事は，この記事の続きである。
なお，第2回は群論と環論の基礎について述べる予定であったが，群論のみに変更した。
環論については第3回で述べる。

群論の基礎

整数環（および一般の環）における中国式剰余定理を述べるが，その前に群論および環論の基礎について確認する。

二項演算

集合 $G$ に対し，写像 $\circ : G \times G ∋ (g_{1}, g_{2}) \mapsto g \in G$ を（ $G$ 上の）二項演算と呼ぶ。

群

$G$ を集合， $\circ$ を $G$ 上の二項演算とする。以下を満たすとき， $G$ は二項演算 $\circ$ で群になる，あるいは単に $G$ は群であるという。

ある $e \in G$ が存在して，任意の $g \in G$ に対して， $e \circ g = g \circ e = g$ が成り立つ。

任意の $g \in G$ に対して，ある $g^{- 1} \in G$ が存在して $g \circ g^{- 1} = g^{- 1} \circ g = e$ が成り立つ。
任意の $g_{1}, g_{2}, g_{3} \in G$ に対して， $(g_{1} \circ g_{2}) \circ g_{3} = g_{1} \circ (g_{2} \circ g_{3})$ が成り立つ。

なお，1.の $e$ を単位元，2.の $g^{- 1}$ を $g$ の逆元という。

整数全体の集合 $Z$ は加法（ $+$ ）について群をなす。

単位元は $0$

整数 $n$ の逆元は $- n$
$(l + m) + n = l + (m + n)$ が成り立つ

部分群

群 $G$ の部分集合 $H$ が $G$ の単位元 $e$ を含み， $G$ の演算によりふたたび群になっているとき， $H$ を $G$ の部分群という。

整数 $n$ に対し， $n Z := {n m | m \in Z}$ とすると $n Z$ は $Z$ の部分群である。

単位元は $0 \in n Z$ （ $m = 0$ とすればよい）

$n m$ の逆元は $- n m$
明らか。

正規部分群

群 $G$ の部分群 $H$ が以下を満たすとき， $H$ を群 $G$ の正規部分群という。

$H = g H g^{- 1} := {g h g^{- 1} | h \in H} (g \in G)$

$H ◃ G$ とかく。

同値関係

$\sim$ が同値関係であるとは以下を満たすこと。

$x \sim x$ （反射律）

$x \sim y \Rightarrow y \sim x$ （対称律）
$x \sim y$ かつ $y \sim z \Rightarrow x \sim z$ （推移律）

同値類

集合 $S$ に同値関係 $\sim$ が定義されているとき，各 $x \in S$ に対して $S$ の部分集合
$C (x) := {y \in S | x \sim y}$
を $x$ が定める同値類という。

群 $G$ とその部分群 $H$ と1つ固定する。このとき， $G$ の元 $x$ ， $y$ に対して

$x \sim y \Leftrightarrow x y^{- 1} \in H$

と定めると， $\sim$ は $G$ の同値関係になる。

（反射律） $x x^{- 1} = 1$ であり， $H$ は群なので $1 \in H$ だから $x x^{- 1} \in H$
（対称律） $x y^{- 1} \in H$ とする。 $(x y^{- 1}) (y x^{- 1}) = 1$ なので $x y^{- 1}$ の逆元は $y x^{- 1}$ である。 $H$ は群なので $y x^{- 1} \in H$ である。
（推移律） $x y^{- 1} \in H$ ， $y z^{- 1} \in H$ とする。 $H$ は群なので $x y^{- 1} y z^{- 1} \in H$ であり， $x y^{- 1} y z^{- 1} = x z^{- 1}$ だから $x z^{- 1} \in H$ である。

本記事では，同値関係 $\sim$ は上記の例により定義されているものとする。

商集合

集合 $S$ に同値関係 $\sim$ が与えられたとき，新しい集合
$S / \sim:= {C (x) | x \in S}$
を同値関係 $\sim$ による（ $S$ の）商集合という。

群 $G$ とその部分群 $H$ に対し， $\sim$ による同値類 $C (x)$ は

$C (x) = {y \in G | x^{- 1} y \in H}$

である。ここで $x^{- 1} y \in H$ ということは，ある $h \in H$ が存在して， $y = x h$ とかける。

つまり， $G$ の部分集合 $x H$ を

$x H := {x h \in G | h \in H}$

と定義すると， $C (x) = x H$ となる。

剰余類

上記の $x H$ を $G$ の $H$ による（左）剰余類という。

この剰余類全体の集合を $G / H$ とかき（左）剰余集合という。

※ $H x$ を（右）剰余類というが，可換群を考える場合は区別する必要はない。

$x^{'} \in x H$ ならば， $x H = x^{'} H$ が成り立つ。

任意の $y \in x H$ を1つ固定する。すると，ある $h_{y} \in H$ が存在して $y = x h_{y}$ とかける。条件より，ある $h_{x^{'}} \in H$ が存在して， $x^{'} = x h_{x^{'}}$ とかける。すると $y = x h_{y} = (x^{'} (h_{x^{'}})^{- 1}) h_{y} = x^{'} (h_{x^{'}}^{- 1} h_{y})$ となり， $h_{x^{'}}^{- 1} h_{y} \in H$ であるから， $y \in x^{'} H$ がいえた。よって， $x H \subset x^{'} H$ である。
$x H \supset x^{'} H$ も全く同様に示すことができるので， $x H = x^{'} H$ が示された。

当然，右剰余類について $x^{'} \in H x$ ならば， $H x = H x^{'}$ が成り立つ。

$G$ の部分群 $H$ に対して， $H$ の左右の剰余類が必ず一致するための必要十分条件は $H$ が正規部分群であることである。

（ $\Rightarrow$ ）左右の剰余類が一致しているとする。つまり，任意の $x \in G$ に対して，ある $x^{'} \in G$ が存在して $x H = H x^{'}$ となるとする。このとき， $H$ は群なので単位元 $1$ を要素にもつ。よって $x = x \cdot 1 \in H$ であるから， $x \in H x^{'}$ がいえる。したがって， $H x = H x^{'}$ が成り立つ。よって， $x H = H x$ となり，これから $x H x^{- 1} = H$ を得る。
（ $\Leftarrow$ ） $H$ が正規部分群のとき， $x H x^{- 1} = H$ だから，任意の $x \in G$ に対して， $x H = H X$ が成り立つ。

$H$ が $G$ の正規部分群ならば，剰余集合 $G / H$ は以下の演算により群になる。
$(x H) (y H) := x y H$ （ $x, y \in G$ ）

well-defined

まずこの演算がwell-definedであることを示す。
（ $(x H) (y H) \subset x y H$ について）
$(x H) (y H)$ の任意の元は $(x h_{1}) (y h_{2})$ とかける。
$\begin{array}{rcl} (x h_{1}) (y h_{2}) & = & x (h_{1} y) h_{2} （結合法則） \\ = & x (y h_{1}^{'}) h_{2} H は正規部分群なので x H = H x \\ = & (x y) (h_{1}^{'} h_{2}) （結合法則） \\ \in & x y H \end{array}$
（ $(x H) (y H) \supset x y H$ について）
上記の証明を逆にたどれば（ほぼ）同様に示すことができる。
以上から，この演算がwell-definedであることが示せた。

群をなすこと

演算が閉じていることは明らか。

$(x H) (e H) = x e H = x H$ であるから， $G / H$ の単位元は $e H$ 。
$(x H) (x^{- 1} H) = (x x^{- 1} H) = e H$ であるから $x H$ の逆元は $x^{- 1} H$ 。
$(x H y H) (z H) = (x y H) z H = x y z H$ であり， $x H (y H z H) = x H (y z H) = x y z H$ なので結合則も成り立つ。

加法群 $Z$ の部分群 $n Z$ は正規部分群である。
$n = 3$ として考えることにする。 $3 Z = {3 m | m \in Z}$ である。 $Z$ が可換群であることから $3 Z = Z 3$ が成り立つので，命題2から $3 Z$ は正規部分群であることがわかる。
$3 Z$ は正規部分群なので，剰余集合 $Z / 3 Z$ が群をなすことが命題3からわかる。
群 $Z / 3 Z$ について調べる。同値関係 $\sim$ は $n$ ， $m \in Z$ に対して， $n \cdot m^{- 1} \in 3 Z$ であるが，いま $Z$ を加法群として考えているので， $m^{- 1} = - m$ である。したがって， $n$ ， $m \in Z$ に対して $n - m \in 3 Z$ のとき $n \sim m$ である。つまり， $n - m$ が3の倍数であれば $n$ と $m$ を同一視する。これは $n \equiv m (\mod 3)$ ということである（合同式が登場した！）。 $3$ で割った余りは $0$ ， $1$ ， $2$ の $3$ 種類のみであるから $Z / 3 Z$ の元は $0$ ， $1$ ， $2$ で代表される $3$ つのみである。これらをそれぞれ $\overset{―}{0}$ ， $\overset{―}{1}$ ， $\overset{―}{2}$ とあらわせば
$Z / 3 Z = {\overset{―}{0}, \overset{―}{1}, \overset{―}{2}}$ となる。これを $Z_{3}$ とかくこともある（これを位数 $3$ の有限巡回群とよぶ）。