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中国式剰余定理を理解する(第2回 群論)

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はじめに

本記事は, この記事 の続きである。
なお,第2回は群論と環論の基礎について述べる予定であったが,群論のみに変更した。
環論については第3回で述べる。

群論の基礎

整数環(および一般の環)における中国式剰余定理を述べるが,その前に群論および環論の基礎について確認する。

二項演算

集合$G$に対し,写像$\circ:G \times G \ni (g_1, g_2) \mapsto g \in G$を($G$上の)二項演算と呼ぶ。

$G$を集合,$\circ$$G$上の二項演算とする。以下を満たすとき,$G$は二項演算$\circ$で群になる,あるいは単に$G$は群であるという。

  1. ある$e \in G$が存在して,任意の$g \in G$に対して,$e\circ g = g \circ e = g$が成り立つ。
  • 任意の$g \in G$に対して,ある$g ^{-1} \in G$が存在して$g\circ g^{-1} = g^{-1}\circ g = e$が成り立つ。
  • 任意の$g_1, g_2, g_3 \in G$に対して,$(g_1\circ g_2) \circ g_3 = g_1\circ(g_2\circ g_3)$が成り立つ。

なお,1.の$e$を単位元,2.の$g^{-1}$$g$の逆元という。

整数全体の集合$\mathbb Z $は加法($+$)について群をなす。

  1. 単位元は$0$
  • 整数$n$の逆元は$-n$
  • $(l+m)+n = l+(m+n)$が成り立つ
部分群

$G$の部分集合$H$$G$の単位元$e$を含み,$G$の演算によりふたたび群になっているとき,$H$$G$の部分群という。

整数$n$に対し,$n \mathbb Z := \{ nm \ | \ m\in \mathbb Z \} $とすると$n\mathbb Z$$\mathbb Z$の部分群である。

  1. 単位元は$0\in n \mathbb Z$$m=0$ とすればよい)
  • $nm$の逆元は$-nm$
  • 明らか。
正規部分群

$G$の部分群$H$が以下を満たすとき,$H$を群$G$の正規部分群という。

$H=gHg^{-1}:=\{ ghg^{-1} | h \in H\} \ (g \in G)$

$H \triangleleft G$とかく。

同値関係

$\sim$が同値関係であるとは以下を満たすこと。

  1. $x \sim x$(反射律)
  • $x \sim y \Rightarrow y \sim x$(対称律)
  • $x \sim y$かつ$y \sim z \Rightarrow x \sim z$ (推移律)
同値類

集合$S$に同値関係$\sim$が定義されているとき,各$x\in S$に対して$S$の部分集合
$$ C(x) := \{ y\in S \ |\ x \sim y \} $$
$x$が定める同値類という。

$G$とその部分群$H$と1つ固定する。このとき,$G$の元$x$$y$に対して

$$ x \sim y \Leftrightarrow xy^{-1} \in H $$

と定めると,$\sim $$G$の同値関係になる。

  • (反射律)$xx^{-1} = 1$であり,$H$は群なので$1\in H$だから$xx^{-1} \in H$
  • (対称律)$xy^{-1} \in H $とする。$(xy^{-1})(yx^{-1}) = 1$なので$xy^{-1}$の逆元は$yx^{-1}$である。$H$は群なので$yx^{-1} \in H$である。
  • (推移律)$xy^{-1} \in H$$yz^{-1}\in H$とする。$H$は群なので$xy^{-1}yz^{-1} \in H$であり,$xy^{-1}yz^{-1} = xz^{-1}$だから$xz^{-1} \in H $である。

本記事では,同値関係$\sim$は上記の例により定義されているものとする。

商集合

集合$S$に同値関係$\sim$が与えられたとき,新しい集合
$$ S/\sim := \{ C(x) | x\in S \} $$
を同値関係$\sim$による($S$の)商集合という。

$G$とその部分群$H$に対し,$\sim$による同値類$C(x)$

$$ C(x) = \{ y \in G \ | \ x^{-1}y \in H \}$$

である。ここで$x^{-1}y \in H$ということは,ある$h \in H$が存在して,$y = xh$とかける。

つまり,$G$の部分集合$xH$

$$ xH := \{ xh \in G \ |\ h \in H \}$$

と定義すると,$C(x) = xH$となる。

剰余類

上記の$xH$$G$$H$による(左)剰余類という。

この剰余類全体の集合を$G/H$とかき(左)剰余集合という。

$Hx$を(右)剰余類というが,可換群を考える場合は区別する必要はない。

$x' \in xH$ならば,$xH = x'H$が成り立つ。

任意の$y\in xH$を1つ固定する。すると,ある$h_y \in H$が存在して$y = xh_y$とかける。条件より,ある$h_{x'}\in H $が存在して,$x' = xh_{x'} $とかける。すると$y = xh_y = (x'(h_{x'})^{-1})h_y = x'(h_{x'}^{-1}h_y)$となり,$h_{x'}^{-1}h_y \in H$であるから,$y \in x'H$がいえた。よって,$xH \subset x'H$である。
$xH \supset x'H$も全く同様に示すことができるので,$xH = x'H$が示された。

当然,右剰余類について$x' \in Hx$ならば,$Hx = Hx'$が成り立つ。

$G$の部分群$H$に対して,$H$の左右の剰余類が必ず一致するための必要十分条件は$H$が正規部分群であることである。

$\Rightarrow$)左右の剰余類が一致しているとする。つまり,任意の$x\in G$に対して,ある$x' \in G$が存在して$xH = Hx'$となるとする。このとき,$H$は群なので単位元$1$を要素にもつ。よって$x=x\cdot 1 \in H$であるから,$x\in Hx'$がいえる。したがって,$Hx = Hx'$が成り立つ。よって,$xH = Hx$となり,これから$xHx^{-1} = H$を得る。
$\Leftarrow$$H$が正規部分群のとき,$xHx^{-1} = H$だから,任意の$x\in G$に対して,$xH = HX$が成り立つ。

$H$$G$の正規部分群ならば,剰余集合$G/H$は以下の演算により群になる。
$(xH)(yH) := xyH$$x, y \in G$

well-defined

まずこの演算がwell-definedであることを示す。
$(xH)(yH) \subset xyH$について)
$(xH)(yH)$の任意の元は$(xh_1)(yh_2)$とかける。
\begin{eqnarray} (xh_1)(yh_2) &=& x(h_1y)h_2 \ \mbox{(結合法則)}\\        &=& x(yh'_1)h_2 \ H\mbox{は正規部分群なので}xH = Hx\\ &=& (xy)(h'_1h_2) \ \mbox{(結合法則)}\\  &\in & xyH \end{eqnarray}
$(xH)(yH) \supset xyH$について)
上記の証明を逆にたどれば(ほぼ)同様に示すことができる。
以上から,この演算がwell-definedであることが示せた。

群をなすこと
  1. 演算が閉じていることは明らか。
  • $(xH)(eH) = xeH = xH$であるから,$G/H$の単位元は$eH$
  • $(xH)(x^{-1}H) =(xx^{-1}H) = eH$であるから$xH$の逆元は$x^{-1}H$
  • $(xHyH)(zH) = (xyH)zH = xyzH$ であり,$xH(yHzH) = xH(yzH) = xyzH$なので結合則も成り立つ。

加法群$\mathbb{Z}$の部分群$n\mathbb{Z}$は正規部分群である。
$n=3$として考えることにする。$3\mathbb Z = \{3m \ | \ m\in \mathbb Z \}$である。$\mathbb Z$が可換群であることから$3\mathbb Z = \mathbb Z 3$が成り立つので,命題2から$3\mathbb Z$は正規部分群であることがわかる。
$3\mathbb Z$は正規部分群なので,剰余集合$\mathbb Z/ 3\mathbb Z$が群をなすことが命題3からわかる。
$\mathbb Z/ 3\mathbb Z$について調べる。同値関係$\sim$$n$$m\in \mathbb Z$に対して,$n\cdot m^{-1} \in 3\mathbb Z$であるが,いま$\mathbb Z$を加法群として考えているので,$m^{-1} = -m$である。したがって,$n$$m\in \mathbb Z$に対して$n-m \in 3 \mathbb Z$のとき$n\sim m$である。つまり,$n-m$が3の倍数であれば$n$$m$を同一視する。これは$n \equiv m \pmod 3$ということである(合同式が登場した!)。$3$で割った余りは$0$$1$$2$$3$種類のみであるから$\mathbb Z/ 3\mathbb Z$の元は$0$$1$$2$で代表される$3$つのみである。これらをそれぞれ$\overline{0}$$\overline{1}$$\overline{2}$とあらわせば
$$ \mathbb Z/ 3\mathbb Z = \{ \overline{0}, \ \overline{1}, \ \overline{2} \} $$となる。これを$\mathbb Z_3$とかくこともある(これを位数$3$の有限巡回群とよぶ)。

参考文献

ジョセフ・H・シルヴァーマン:はじめての数論 原著第3版 発見と証明の大航海―ピタゴラスの定理から楕円曲線まで(訳,鈴木 治郎),丸善出版
結城浩:数学ガール ガロア理論, SBクリエイティブ
堀田良之:代数入門 -群と加群-, 裳華房

投稿日:2020122

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投稿者

とも
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広島県の高校で数学の教員をやっていたはずなのに,気づけば違う仕事をしております。高校数学と大学で学ぶ数学の橋渡しのようなことができればいいなと思っています。記事に誤り等あれば教えてください。

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