大学数学基礎解説

中国式剰余定理を理解する（第2回　群論）

群論,中国式剰余定理

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はじめに

本記事は，この記事の続きである。
なお，第2回は群論と環論の基礎について述べる予定であったが，群論のみに変更した。
環論については第3回で述べる。

群論の基礎

整数環（および一般の環）における中国式剰余定理を述べるが，その前に群論および環論の基礎について確認する。

二項演算

集合$G$に対し，写像$\circ:G \times G \ni (g_1, g_2) \mapsto g \in G$を（$G$上の）二項演算と呼ぶ。

群

$G$を集合，$\circ$を$G$上の二項演算とする。以下を満たすとき，$G$は二項演算$\circ$で群になる，あるいは単に$G$は群であるという。

ある$e \in G$が存在して，任意の$g \in G$に対して，$e\circ g = g \circ e = g$が成り立つ。

任意の$g \in G$に対して，ある$g ^{-1} \in G$が存在して$g\circ g^{-1} = g^{-1}\circ g = e$が成り立つ。
任意の$g_1, g_2, g_3 \in G$に対して，$(g_1\circ g_2) \circ g_3 = g_1\circ(g_2\circ g_3)$が成り立つ。

なお，1.の$e$を単位元，2.の$g^{-1}$を$g$の逆元という。

整数全体の集合$\mathbb Z　$は加法（$+$）について群をなす。

単位元は$0$

整数$n$の逆元は$-n$
$(l+m)+n = l+(m+n)$が成り立つ

部分群

群$G$の部分集合$H$が$G$の単位元$e$を含み，$G$の演算によりふたたび群になっているとき，$H$を$G$の部分群という。

整数$n$に対し，$n \mathbb Z := \{ nm \ | \ m\in \mathbb Z \} $とすると$n\mathbb Z$は$\mathbb Z$の部分群である。

単位元は$0\in n \mathbb Z$（ $m=0$ とすればよい）

$nm$の逆元は$-nm$
明らか。

正規部分群

群$G$の部分群$H$が以下を満たすとき，$H$を群$G$の正規部分群という。

$H=gHg^{-1}:=\{ ghg^{-1} | h \in H\} \ (g \in G)$

$H \triangleleft G$とかく。

同値関係

$\sim$が同値関係であるとは以下を満たすこと。

$x \sim x$（反射律）

$x \sim y \Rightarrow y \sim x$（対称律）
$x \sim y$かつ$y \sim z \Rightarrow x \sim z$ （推移律）

同値類

集合$S$に同値関係$\sim$が定義されているとき，各$x\in S$に対して$S$の部分集合
$$ C(x) := \{ y\in S \ |\ x \sim y \} $$
を$x$が定める同値類という。

群$G$とその部分群$H$と1つ固定する。このとき，$G$の元$x$，$y$に対して

$$ x \sim y \Leftrightarrow xy^{-1} \in H $$

と定めると，$\sim $は$G$の同値関係になる。

（反射律）$xx^{-1} = 1$であり，$H$は群なので$1\in H$だから$xx^{-1} \in H$
（対称律）$xy^{-1} \in H $とする。$(xy^{-1})(yx^{-1}) = 1$なので$xy^{-1}$の逆元は$yx^{-1}$である。$H$は群なので$yx^{-1} \in H$である。
（推移律）$xy^{-1} \in H$，$yz^{-1}\in H$とする。$H$は群なので$xy^{-1}yz^{-1} \in H$であり，$xy^{-1}yz^{-1} = xz^{-1}$だから$xz^{-1} \in H $である。

本記事では，同値関係$\sim$は上記の例により定義されているものとする。

商集合

集合$S$に同値関係$\sim$が与えられたとき，新しい集合
$$ S/\sim := \{ C(x) | x\in S \} $$
を同値関係$\sim$による（$S$の）商集合という。

群$G$とその部分群$H$に対し，$\sim$による同値類$C(x)$は

$$ C(x) = \{ y \in G \ | \ x^{-1}y \in H \}$$

である。ここで$x^{-1}y \in H$ということは，ある$h \in H$が存在して，$y = xh$とかける。

つまり，$G$の部分集合$xH$を

$$ xH := \{ xh \in G \ |\ h \in H \}$$

と定義すると，$C(x) = xH$となる。

剰余類

上記の$xH$を$G$の$H$による（左）剰余類という。

この剰余類全体の集合を$G/H$とかき（左）剰余集合という。

※$Hx$を（右）剰余類というが，可換群を考える場合は区別する必要はない。

$x' \in xH$ならば，$xH = x'H$が成り立つ。

任意の$y\in xH$を1つ固定する。すると，ある$h_y \in H$が存在して$y = xh_y$とかける。条件より，ある$h_{x'}\in H $が存在して，$x' = xh_{x'} $とかける。すると$y = xh_y = (x'(h_{x'})^{-1})h_y = x'(h_{x'}^{-1}h_y)$となり，$h_{x'}^{-1}h_y \in H$であるから，$y \in x'H$がいえた。よって，$xH \subset x'H$である。
$xH \supset x'H$も全く同様に示すことができるので，$xH = x'H$が示された。

当然，右剰余類について$x' \in Hx$ならば，$Hx = Hx'$が成り立つ。

$G$の部分群$H$に対して，$H$の左右の剰余類が必ず一致するための必要十分条件は$H$が正規部分群であることである。

（$\Rightarrow$）左右の剰余類が一致しているとする。つまり，任意の$x\in G$に対して，ある$x' \in G$が存在して$xH = Hx'$となるとする。このとき，$H$は群なので単位元$1$を要素にもつ。よって$x=x\cdot 1 \in H$であるから，$x\in Hx'$がいえる。したがって，$Hx = Hx'$が成り立つ。よって，$xH = Hx$となり，これから$xHx^{-1} = H$を得る。
（$\Leftarrow$）$H$が正規部分群のとき，$xHx^{-1} = H$だから，任意の$x\in G$に対して，$xH = HX$が成り立つ。

$H$が$G$の正規部分群ならば，剰余集合$G/H$は以下の演算により群になる。
$(xH)(yH) := xyH$ （$x, y \in G$）

well-defined

まずこの演算がwell-definedであることを示す。
（$(xH)(yH) \subset xyH$について）
$(xH)(yH)$の任意の元は$(xh_1)(yh_2)$とかける。
\begin{eqnarray} (xh_1)(yh_2) &=& x(h_1y)h_2 \ \mbox{（結合法則）}\\　　　　　　　&=& x(yh'_1)h_2 \ H\mbox{は正規部分群なので}xH = Hx\\ &=& (xy)(h'_1h_2) \ \mbox{（結合法則）}\\　 &\in & xyH \end{eqnarray}
（$(xH)(yH) \supset xyH$について）
上記の証明を逆にたどれば（ほぼ）同様に示すことができる。
以上から，この演算がwell-definedであることが示せた。

群をなすこと

演算が閉じていることは明らか。

$(xH)(eH) = xeH = xH$であるから，$G/H$の単位元は$eH$。
$(xH)(x^{-1}H) =(xx^{-1}H) = eH$であるから$xH$の逆元は$x^{-1}H$。
$(xHyH)(zH) = (xyH)zH = xyzH$ であり，$xH(yHzH) = xH(yzH) = xyzH$なので結合則も成り立つ。

加法群$\mathbb{Z}$の部分群$n\mathbb{Z}$は正規部分群である。
$n=3$として考えることにする。$3\mathbb Z = \{3m \ | \ m\in \mathbb Z \}$である。$\mathbb Z$が可換群であることから$3\mathbb Z = \mathbb Z 3$が成り立つので，命題2から$3\mathbb Z$は正規部分群であることがわかる。
$3\mathbb Z$は正規部分群なので，剰余集合$\mathbb Z/ 3\mathbb Z$が群をなすことが命題3からわかる。
群$\mathbb Z/ 3\mathbb Z$について調べる。同値関係$\sim$は$n$，$m\in　\mathbb Z$に対して，$n\cdot m^{-1} \in 3\mathbb Z$であるが，いま$\mathbb Z$を加法群として考えているので，$m^{-1} = -m$である。したがって，$n$，$m\in \mathbb Z$に対して$n-m \in 3 \mathbb Z$のとき$n\sim m$である。つまり，$n-m$が3の倍数であれば$n$と$m$を同一視する。これは$n \equiv m \pmod 3$ということである（合同式が登場した！）。$3$で割った余りは$0$，$1$，$2$の$3$種類のみであるから$\mathbb Z/ 3\mathbb Z$の元は$0$，$1$，$2$で代表される$3$つのみである。これらをそれぞれ$\overline{0}$，$\overline{1}$，$\overline{2}$とあらわせば
$$ \mathbb Z/ 3\mathbb Z = \{ \overline{0}, \ \overline{1}, \ \overline{2} \} $$となる。これを$\mathbb Z_3$とかくこともある（これを位数$3$の有限巡回群とよぶ）。