以下,
前回のsemidifferentialに関する記事
の続きについて. ここで,
・
となる.
これは, 微分不可能な点
対称的に,
となる.
と定める. このとき, 点
\begin{align*}
\begin{cases}
D^{+}u(0,0) = \emptyset \
D^{-}u(0,0) = \emptyset
\end{cases}
\end{align*}
である.
この例は,
\begin{align*}
D\varphi(0,0)=(p_1,p_2), \quad 0=u(0,0)=\varphi(0,0) \ \
かつ \ u(x,y) \leq \varphi(x,y), \ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}
\end{align*}
とできる. ここで,
\begin{align}
\frac{\varphi(h,0)-\varphi(0,0)}{h}
&= \frac{\varphi(h,0)}{h} \nonumber \
&\geq \frac{u(h,0)}{h} \nonumber \
&= \frac{|h|^{\alpha}}{h} \geq \frac{|h|}{h} =1 \nonumber
\end{align}
となる.
逆に,
\begin{align}
\frac{\varphi(h,0)-\varphi(0,0)}{h}
&= \frac{\varphi(h,0)}{h} \nonumber \
&\leq \frac{u(h,0)}{h} \qquad (h<0 なので) \nonumber \
&= \frac{|h|^{\alpha}}{h} \leq \frac{|h|}{h} =-1 \nonumber
\end{align}
となるので,
以上より,
\begin{align*}
p_{1}\geq 1 \quad かつ \quad p_{1} \leq -1
\end{align*}
となり矛盾する. 従って,
この
他にも, 片方が