・ こちら の記事で紹介された級数の値を$z$変換をもちいて求める。
a(n)は自然数$n$を$10$進数表記したときの
数字和
。また、単位階段関数$u(n)$を使って$n$を整数に拡張した$a'(n)$を
$$
a'(n):= a(n)u(n-1)=
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
0 & (n \le 0, n \in \Z) \\
a(n) & (n > 0, n \in \Z)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$と定義する。このとき
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n(n+1)}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a'(n)}{n(n+1)}=\frac{10}{9}\log(10)
$$
$n$が$12345$のとき$a'(n)$は
$$
\BEQ
a'(12345)&=&a(12345)u(12345-1)\\
&=&a(12345)u(12344)\\
&=&a(12345)\\
&=&1+2+3+4+5=15
\EEQ
$$
$$ \BEQ \lim_{n\to 0} \frac{a'(n)}{n} &=& \lim_{n\to 0} \frac{a(n)u(n-1)}{n} \\ &=& \lim_{n\to 0} a(n)*\lim_{n\to 0} \frac{u(n-1)}{n}\\ &=& 0*0\\ &=& 0 \EEQ $$
2.$a'(n)$は$0$以上の整数$n$に対して$n$以下。等号がなりたつのは$n$が$1$桁のとき。
$$
\quad a'(n) \le n \quad (n \ge 0, n \in \Z)
$$
$a'(n)$は床関数を使うと$n$の桁数$m$に応じて以下のようにあらわせる。
$$
\BEQ
a'(n)&=& 0 & (nが0桁の時)\\
a'(n)&=& n & (nが1桁の時)\\
a'(n)&=& n-9 \floor{\frac{n}{10}} & (nが2桁の時)\\
a'(n)&=& n-9 \floor{\frac{n}{10}}-9 \floor{\frac{n}{100}}& (nが3桁の時)\\
a'(n)&=& n-9 \floor{\frac{n}{10}}-9 \floor{\frac{n}{100}}-9 \floor{\frac{n}{1000}}& (nが4桁の時)\\
&\vdots&\\
a'(n)&=& n-9 \sum_{l=1}^{m-1}\floor{\frac{n}{10^l}}& (nがm桁の時)\\
\EEQ
$$
$$ \BEQ a'(123)&=&123-9\sum_{l=1}^{3-1}\floor{\frac{n}{10^l}}\\ &=&123-9\left(\floor{\frac{123}{10}}+\floor{\frac{123}{100}}\right)\\ &=&123-9(12+1)\\ &=&123-117\\ &=& 6 \EEQ $$
$l > m-1$のとき$\floor{\dfrac{n}{10^l}}$が$0$なので、$l$の範囲を$\infty$までとっても総和の値は変わらない。よって$a'(n)$は
$$
\BEQ
a'(n)&=& n-9 \sum_{l=1}^{\infty}\floor{\frac{n}{10^l}} \\
\EEQ
$$と表せる。また単位階段関数を使って床関数をあらわすと
$$
\floor{\frac{n}{10^l}}=\sum_{k=1}^{\infty} u(n-10^l k)
$$なので、$a'(n)$は
$$
\BEQ
a'(n)&=& n-9 \sum_{l=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} u(n-10^l k)
\EEQ
$$とあらわせる。
$$ \BEQ a'(123)&=& 123-9 \sum_{l=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} u(n-10^l k)\\ &=& 123\\ &-&9 \{\underbrace{u(n-10*1)+u(n-10*2)+...+u(n-10*12)}_{l=1のとき12個が1}+u(n-10*13)+...\\ &+& \underbrace{u(n-100*1)}_{l=2のとき1個が1} +u(n-100*2)+u(n-100*3)+...\\ &+& \underbrace{...}_{l \gt 2 のとき全て0}\}\\ &=& 123-9\{12+1 \} \\ &=&123-117\\ &=&6 \EEQ $$
$0$以上の整数に対して$a'(n)\le n$が成り立っている。また$n$の$z$変換の収束領域は$|z| \gt 1$なので、$a'(n)$の収束領域を$|z| > \rho'$とすると$\rho' < 1$。よって$a'(n)$の$z$変換は$|z|>1$において一様収束する。ゆえに$a'(n)$の収束領域は$|z|>1$。
$a'(n)$を$z$変換する。$z$変換の定義から
$$ \BEQ \ZT{a'(n)}&=& \sum_{n=0}^{\infty} a'(n)z^{-n} \\ &=& \sum_{n=0}^{\infty} \{n-9 \sum_{l=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} u(n-10^l k)\} z^{-n}\\ &=& \sum_{n=0}^{\infty} n z^{-n}-9\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{l=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty}u(n-10^l k) z^{-n}\\ &=& \ZT{n}-9\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{l=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty}u(n-10^l k) z^{-n}\\ &=& \frac{z}{(z-1)^2}-9 \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}u(n-10^l k) z^{-n} &\because \text{$n$の$z$変換} \\ &=& \frac{z}{(z-1)^2}-9\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}u(n-10^l k) z^{-n}\\ &=& \frac{z}{(z-1)^2}-9\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\ZT{u(n-10^l k)}\\ &=& \frac{z}{(z-1)^2}-9\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}z^{-10^l k} \ZT{u(n)} & \because \text{$z$変換のシフト則}\\ &=& \frac{z}{(z-1)^2}-9\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} z^{-10^l k} \frac{z}{z-1} & \because \text{単位階段関数の$z$変換} \\ &=& \frac{z}{(z-1)^2}-\dfrac{9z}{z-1}\sum_{l=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} z^{-10^l k} \\ &=& \frac{z}{(z-1)^2}-\dfrac{9z}{z-1}\sum_{l=1}^{\infty} \dfrac{z^{-10^l}}{1-z^{-10^l}} & \because \text{初項および公比が $z^{-10^l}$の幾何級数} \\ &=& \frac{z}{(z-1)^2}-\dfrac{9z}{z-1}\sum_{l=1}^{\infty} \dfrac{1}{z^{10^l}-1} \\ \EEQ $$
両辺に$\frac{1-z}{z^2 }$をかけて
$$
\BEQ
\frac{1-z}{z^2 } \ZT{a'(n)} &=& \frac{-1}{z(z-1)}+ \frac{9}{z} \sum_{l=1}^{\infty} \dfrac{1}{z^{10^l}-1} \\
z^{-2}\ZT{a'(n)}-z^{-1}\ZT{a'(n)} &=& \frac{-1}{z(z-1)}+\frac{9}{z} \sum_{l=1}^{\infty} \dfrac{1}{z^{10^l}-1} \\
\EEQ
$$
$z$を$w$におきかえて両辺を$z$から$\infty$まで$w$で積分して
$$
\BEQ
\int_{z}^{\infty} w^{-2}\ZT{a'(n)}-w^{-1 }\ZT{a'(n)} dw &=& \int_{z}^{\infty} \frac{-1}{w(w-1)}+ \frac{9}{w} \sum_{l=1}^{\infty} \dfrac{1}{w^{10^l}-1} dw \\
\int_{z}^{\infty} w^{-2}\ZT{a'(n)}dw-\int_{z}^{\infty}w^{-1}\ZT{a'(n)} dw &=& \int_{z}^{\infty} \frac{-1}{w(w-1)}+\frac{9}{w} \sum_{l=1}^{\infty} \dfrac{1}{w^{10^l}-1} dw \\
\EEQ
$$
ここで$a'(0)=0$だから$z$変換の積分則を適用できて
$$
\BEQ
\ZT{\frac{a'(n)}{n+1}}-\left(\ZT{\frac{a'(n)}{n} }- \lim_{n \to 0}\frac{a'(n)}{n}\right) &=& \int_{z}^{\infty} (\frac{1}{w}-\frac{1}{w-1}) dw + 9 \sum_{l=1}^{\infty}\int_{z}^{\infty} \dfrac{1}{w(w^{10^l}-1)} dw \\
\EEQ
$$
$\lim_{n \to 0^{+}}\frac{a'(n)}{n}=0$なので
$$
\BEQ
\ZT{\frac{a'(n)}{n+1}}-\ZT{\frac{a'(n)}{n} }
&=& \left[\log(w)-\log(w-1)\right]_{z}^{\infty} + 9 \sum_{l=1}^{\infty} \int_{z}^{\infty}\dfrac{1}{w(w^{10^l}-1)} dw \\
&=& -\left[\log(\frac{w-1}{w})\right]_{z}^{\infty} + 9 \sum_{l=1}^{\infty} \int_{z}^{\infty}\dfrac{1}{w(w^{10^l}-1)} dw \\
&=& \log(1-z^{-1}) + 9 \sum_{l=1}^{\infty} \int_{z}^{\infty}\dfrac{1}{w(w^{10^l}-1)} dw \\
\EEQ
$$
ここで定積分は$w^{10^l}-1=u$とおくと、$(10^l)w^{10^l-1 }dw=du$なので
$$
\BEQ
\int_{z^{10^l}-1}^{\infty}\dfrac{1}{w u}\frac{1}{10^l w^{10^l-1}} du
&=& \int_{z^{10^l}-1 }^{\infty}\dfrac{1}{ u}\frac{1}{10^l w^{10^l}} du \\
&=& \int_{z^{10^l}-1}^{\infty }\dfrac{1}{10^l}\frac{1}{ u(u+1)} du \\
&=& \dfrac{1}{10^l} \int_{z^{10^l}-1}^{\infty} \frac{1}{u}-\frac{1}{u+1} du \\
&=& \dfrac{1}{10^l} \left[ \log(u)-\log(u+1) \right]_{z^{10^l}-1}^{\infty } du \\
&=& \dfrac{1}{10^l} \left[ \log(\frac{u}{u+1}) \right]_{z^{10^l}-1}^{\infty } \\
&=& -\dfrac{1}{10^l} \log\left(\frac{z^{10^l}-1}{z^{10^l}}\right) \\
&=& -\dfrac{1}{10^l} \log(1-z^{-10^l}) \\
\EEQ
$$よって
$$
\BEQ
\ZT{\frac{a'(n)}{n+1}}-\ZT{\frac{a'(n)}{n} }
&=& \log(1-z^{-1}) + 9 \sum_{l=1}^{\infty} \int_{z}^{\infty}\dfrac{1}{w(w^{10^l}-1)} dw \\
\ZT{\frac{a'(n)}{n+1}-\frac{a'(n)}{n} } &=& \log(1-z^{-1}) - 9 \sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^l} \log(1-z^{-10^l}) \\
-\ZT{\frac{a'(n)}{n(n+1)}} &=& \log(1-z^{-1}) - 9 \sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^l} \log(1-z^{-10^l}) \\
\ZT{\frac{a'(n)}{n(n+1)}} &= & - \log(1-z^{-1}) + 9 \sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^l} \log(1-z^{-10^l}) \\
\EEQ
$$
ここで総和内の$\log$の箇所は$\log$の和に分解される。
$$
\BEQ
\log(1-z^{-10^l})
&=& \log\left(1-z^{-10^{l-1}}\right) \\
&+& \log\left(1+z^{-1*10^{l-1}}+z^{-2*10^{l-1}}+...+z^{-9*10^{l-1}}\right)
& \cdots \text{$($分解$1$回目$)$ } \\
&=& \log\left(1-z^{-10^{l-2}}\right)\\
&+&\log\left(1+z^{-1*10^{l-2}}+z^{-2*10^{l-2}}+...+z^{-9*10^{l-2}}\right) \\
&+&\log\left(1+z^{-1*10^{l-1}}+z^{-2*10^{l-1}}+...+z^{-9*10^{l-1}}\right)
& \cdots \text{$($分解$2$回目$)$ }\\
&=&\\
&\vdots& \\
&=& \log\left(1-z^{-10^{l-l}}\right)\\
&+&\log\left(1+z^{-1*10^{l-l}}+z^{-2*10^{l-l}}+...+z^{-9*10^{l-l} }\right) \\
&+&\log\left(1+z^{-1*10^{l-(l-1)}}+z^{-2*10^{l-(l-1)}}+...+z^{-9*10^{l-(l-1)}}\right) \\
&\vdots& \\
&+&\log\left(1+z^{-1*10^{l-2}}+z^{-2*10^{l-2}}+...+z^{-9*10^{l-2}}\right) \\
&+&\log\left(1+z^{-10^{l-1}}+z^{-2*10^{l-1}}+...+z^{-9*10^{l-1}}\right)
& \cdots\text{$($分解$l$回目$)$ } \\
&=& \log\left(1-z^{-1}\right)\\
&+&\log\left(1+z^{-1}+z^{-2}+...+z^{-9}\right) \\
&+&\log\left(1+z^{-10}+z^{-2*10}+...+z^{-9*10}\right) \\
&\vdots& \\
&+&\log\left(1+z^{-1*10^{l-2}}+z^{-2*10^{l-2}}+...+z^{-9*10^{l-2}}\right) \\
&+&\log\left(1+z^{-1*10^{l-1}}+z^{-2*10^{l-1}}+...+z^{-9*10^{l-1}}\right)
\\
&=& \log\left(1-z^{-1}\right)\\
&+& \sum_{h=1}^{l} \log\left(1+z^{-1*10^{l-h}}+z^{-2*10^{l-h}}+...+z^{-9*10^{l-h}}\right)
\\
&=& \log\left(1-z^{-1}\right)+\sum_{h=1}^{l} \log\sum_{j=0}^{9}z^{-j*10^{l-h}}
\\
\EEQ
$$
よって
$$
\BEQ
\ZT{\frac{a'(n)}{n(n+1)}} &=& - \log(1-z^{-1}) \\
&+& 9 \sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^l} \left(\log\left(1-z^{-1}\right)+\sum_{h=1}^{l} \log\sum_{j=0}^{9}z^{-j*10^{l-h}} \right)\\
&=& - \log(1-z^{-1}) + 9 \log\left(1-z^{-1}\right) \sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^l}
+ 9 \sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^l} \sum_{h=1}^{l} \log\sum_{j=0}^{9}z^{-j*10^{l-h}} \\
&=& - \log(1-z^{-1})+9\log\left(1-z^{-1}\right) \left(\dfrac{\frac{1}{10}}{1-\frac{1}{10}}\right) +9\sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^l} \sum_{h=1}^{l} \log\sum_{j=0}^{9}z^{-j*10^{l-h}} \\
&=& - \log(1-z^{-1})+9\log\left(1-z^{-1}\right) \left(\frac{1}{9}\right)
+ 9 \sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^l} \sum_{h=1}^{l} \log\sum_{j=0}^{9}z^{-j*10^{l-h}} \\
&=& 9 \sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^l} \sum_{h=1}^{l} \log\sum_{j=0}^{9}z^{-j*10^{l-h}} \\
\EEQ
$$
となり$z$変換が得られた。収束領域は$|z|>1$。
$\ZT{\frac{a'(n)}{n(n+1)}}$ の$z \to 1 $の極限をとった値が求める級数の値。しかし、$\ZT{\frac{a'(n)}{n(n+1)}}$の収束半径が$|z|>1$であるため$|z| \to 1$の極限をとった際に級数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a'(n)}{n(n+1)}$ が収束するか否かはわからない。よってまず級数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a'(n)}{n(n+1)}$の収束性を判定する。収束すればアーベルの連続性定理から級数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a'(n)}{n(n+1)}$の値は、$z$を複素平面上の単位の外側、つまり収束領域から$1$に近づけた $\lim_{z \to 1^{+}}\ZT{\frac{a'(n)}{n(n+1)}}$に等しい。
ゆえに
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a'(n)}{n(n+1)}=\lim_{z \to 1^{+}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a'(n)}{n(n+1)}z^{-n} =\lim_{z \to 1^{+}} \ZT{\frac{a'(n)}{n(n+1)}}
$$
を示したことになる。
$$
\BEQ
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n(n+1)}
&=&\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a'(n)}{n(n+1)}\\
&=&\lim_{z \to 1^{+}}\ZT{\frac{a'(n)}{n(n+1)}} \\
&=&\lim_{z \to 1^{+}}9\sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^l} \sum_{h=1}^{l} \log\sum_{j=0}^{9}z^{-j*10^{l-h}} \\
&=&9\sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^l} \sum_{h=1}^{l} \log(10*1) \\
&=&9\sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{l \log(10)}{10^l} \\
&=&9 \log(10) \sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{l}{10^l} \\
&=&9 \log(10) \dfrac{10}{81} \\
&=& \dfrac{10}{9} \log(10) \\
\EEQ
$$となり示された。