右辺が0でない三項間漸化式の問題(別解編)

漸化式を変形すると、
\begin{align*} a_{n+2}-3a_{n+1}&=2(a_{n+1}-3a_{n})+12\\ a_{n+2}-2a_{n+1}&=3(a_{n+1}-2a_{n})+12 \end{align*}
となるので、$b_{n},c_{n}$を用いると
\begin{align*} b_{n+1}&=2b_{n}+12,b_1=1\\ c_{n+1}&=3c_{n}+12,c_1=1 \end{align*}
とかけます。これはもはやただの二項間漸化式なのでサクサク解いてしまいましょう。これらを解くと、
\begin{align*} b_{n}&=13\cdot2^{n-1}-12\\ c_{n}&=7\cdot3^{n-1}-6 \end{align*}
より
$$ a_{n}=c_{n}-b_{n}=7\cdot3^{n-1}-13\cdot2^{n-1}+6$$
が答えとなります。

同様に変形すると,
\begin{align*} b_{n+1}&=2b_{n}+2n,b_1=1\\ c_{n+1}&=3c_{n}+2n,c_1=1 \end{align*}
となります。これらの漸化式は
\begin{align*} b_{n+1}+2(n+1)+2&=2(b_{n}+2n+2)\\ c_{n+1}+(n+1)+\frac{1}{2}&=3\left(c_{n}+n+\frac{1}{2}\right) \end{align*}
となるので、
\begin{align*} b_{n}&=5\cdot2^{n-1}-2n-2\\ c_{n}&=\frac{5}{2}\cdot3^{n-1}-n-\frac{1}{2} \end{align*}
が分かります。よって、
$$ a_{n}=c_{n}-b_{n}=\frac{5}{2}\cdot3^{n-1}-5\cdot2^{n-1}+n+\frac{3}{2}$$
が答えとなります。

同様に変形すると、
\begin{align*} b_{n+1}&=2b_{n}+5^n,b_1=1\\ c_{n+1}&=3c_{n}+5^n,c_1=1 \end{align*}
となって、これらは
\begin{align*} b_{n+1}-\frac{1}{3}\cdot5^{n+1}&=2\left(b_{n}-\frac{1}{3}\cdot5^n\right)\\ c_{n+1}-\frac{1}{2}\cdot5^{n+1}&=3\left(c_{n}-\frac{1}{2}\cdot5^n\right) \end{align*}
となるので、
\begin{align*} b_{n}&=-\frac{2}{3}\cdot2^{n-1}+\frac{1}{3}\cdot5^n=-\frac{1}{3}\cdot2^n+\frac{1}{3}\cdot5^n\\ c_{n}&=-\frac{3}{2}\cdot3^{n-1}+\frac{1}{2}\cdot5^n=-\frac{1}{2}\cdot3^n+\frac{1}{2}\cdot5^n \end{align*}
が分かります。よって、
$$ a_{n}=c_{n}-b_{n}=\frac{1}{3}\cdot2^n-\frac{1}{2}\cdot3^n+\frac{1}{6}\cdot5^n$$
が答えとなります。

…(無言で式変形をしている)
\begin{align*} b_{n+1}&=2b_{n}+2^n,b_1=1\qquad\cdots(\text{i})\\ c_{n+1}&=3c_{n}+2^n,c_1=1\qquad\cdots(\text{ii}) \end{align*}
$(\text{i})$について、両辺$2^{n+1}$で割ることにより
$$ \frac{b_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{b_{n}}{2^n}+\frac{1}{2}$$
となるので
$$ \frac{b_{n}}{2^n}=\frac{1}{2}n$$
となって
$$ b_{n}=n\cdot2^{n-1}$$
が分かります。
$(\text{ii})$について、
$$ c_{n+1}+2^{n+1}=3(c_{n}+2^{n})$$
から
$$ c_{n}=3^n-2^n$$
が分かります。
よって
$$ a_{n}=c_{n}-b_{n}=3^n-n\cdot2^{n-1}-2^n$$
が答えとなります。