行列の対角化の計算方法

$A$の固有ベクトル$x_1,x_2,・・・x_n$が線形独立なとき,$P$は正則であり,$P^{-1}$が存在する。このとき,$P^{-1}AP$を計算する。
まず,固有値,固有ベクトルの定義より,
$AP=A(x_1,x_2,・・・x_n)=({\lambda }_1{x}_1,{\lambda }_2{x}_2,・・・{\lambda }_n{x}_n)$
また,$P^{-1}$の第$i$行目を$y_i$(横ベクトル)とおくと,
$P^{-1}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ...\\ y_n\end{array}\right)$であり,逆行列の定義より内積$y_i{x}_i$は$i$と$j$が等しいとき$1$,そうでないとき$0$になる。
よって,$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ...\\ y_n\end{array}\right)({\lambda }_1{x}_1,{\lambda }_2{x}_2,・・・{\lambda }_n{x}_n)=D$

(ただし,$D$は第$ii$成分が${\lambda }_i$である対角行列)となる。