dg圏の導来圏におけるcompact generatorと圏同値性
言葉の意味と記号について
まずいくつかの言葉の意味を定義します．
加法圏，三角圏，dg圏，導来圏などの定義については既知とします．
- 三角圏$\T$において，任意の直和をもつ$\T$の対象の族$\{Y_\lambda\mid\lambda\in\Lambda\}$に対して，自然な射
\begin{align} \oplus\T(X,Y_\lambda)\to \T(X,\oplus Y_\lambda) \end{align}
が同型であるとき，$X\in \T$はコンパクト(compact)であるという． - 三角圏$\T$とその対象の集合$I$について，$I$を含む$\T$最小のlocalizing部分圏（＝直和でとじる三角部分圏） が$\T$に一致するとき，$I$は$\T$のgeneratorであるという．
- 三角圏$\T$とその対象の集合$I$について，$I$が$\T$のgeneratorであり，$I$に属する任意の対象がコンパクトであるとき．$I$は$\T$のcompact generatorであるという．
この記事では，記号を以下の意味で使用します．
$k$: 可換環
$\mathcal C_{\mathrm{dg}}(k)$: $k$上の加群の複体からなるdg圏
$\mathcal C_{\mathrm{dg}}(\mathcal C)$: dg圏$\mathcal C$から$\mathcal C_{\mathrm{dg}}(k)$への（反変）dg関手からなるdg圏
$D(\mathcal C)$: dg圏$\mathcal C$の導来圏
$\mathsf{per\ }\mathcal C$: $\mathcal C$を含み直和因子で閉じる$D(\mathcal C)$の最小の三角部分圏（$\mathcal C$のperfect derived category）
$\thick_\T T$: $\T$の対象のsubset$T$を含む最小のthick部分圏（＝直和因子でとじる三角部分圏）
$\Loc_\T T$: $\T$の対象のsubset$T$を含む最小のlocalizing部分圏
$\T^c$: $\T$のコンパクトな対象全体からなる$\T$のfull部分圏．
記事の概要
この記事では次の定理を示します．
$\mathcal C,\mathcal E$をdg圏とし，$F\colon D(\mathcal C)\to D(\mathcal E)$を直和と可換な三角関手であるとする．また，$A^{\wedge}:=\mathcal C(-,A)$とする．以下の条件を考える．
(a) 任意の$A,B\in\mathcal C$と$n\in \mathbb Z$に対して
\begin{align}
F\colon D(\mathcal C)(A^{\wedge},B^{\wedge}[n])\simeq D(\mathcal E)(FA^{\wedge},FB^{\wedge}[n]),
\end{align}
(b) 任意の$A\in \mathcal C$に対して，$FA^{\wedge}\in\mathsf{per\ }\mathcal E$である,
(c) $\{FA^{\wedge}\in D(\mathcal E)\mid\forall A\in \mathcal C\}$は$D(\mathcal E)$のgeneratorである．
これらの条件について，以下が成立する：
(1) (a)$\Leftrightarrow\ F|_{\mathsf{per}\mathcal C}$がfully faithful,
(2) (a)+(b) $\Rightarrow\ F$がfully faithful,
(3) (a)+(b)+(c) $\Leftrightarrow\ F$が圏同値関手.
この定理は，dg圏の導来圏の間に関手が与えられたときに，$D(\mathcal C)$の中の表現可能な対象を$F$で移した先でcompact generatorになっていれば，$F$の$\mathcal C$におけるfully faithful性から$F$の圏同値性が導かれることを意味しています．最後に示しますが，表現可能な対象全体も$D(\mathcal C)$のcompact generatorです．つまり，かなり乱暴にいうと，この定理は「ベクトル空間の間の線形写像$f\colon V\to W$が$V$の基底を$W$の基底に移すとき，$f$は線形同型である」といった類の定理だといえると思います（知識が乏しくてしょぼいことしか言えなくて悲しい．もうちょっといい感じの意味合いを知っている方がいらっしゃったらコメント欄にコメントしていただけると助かります）．
準備
2つの定理を事実として認めます．
$\mathcal A$をdg圏とする．$A^{\wedge}:=\mathcal A(-,A)$と定める．dg関手$F\colon \mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathcal C_{\mathrm{dg}}(k)$に対して，次の$k$加群の複体としての同型が存在する：
\begin{align}
\mathcal C_{\mathrm{dg}}(\mathcal A)(A^{\wedge},F)\to FA,\quad \mu \mapsto \mu_X(\mathrm{id_X}).
\end{align}
次の定理はBrownの表現定理から従います．時間のあるときにまた記事にしようと思います．→ 記事にしました
$\T$を任意の添字集合に対する直和を持つ三角圏とし，$T$を$\T$の対象のcompact subsetとする．このとき次は同値：
- $T$が$\T$のgenerator,
- 任意の$A\in T$と$n\in\mathbb{Z}$について，$\T(A[n],Y)=0$ならば$Y=0$,
- $\thick T=\T^c$.
次の補題は，私の学習不足のせいで証明が必要になった補題です．「そんなの知っとるわい」という人はスキップしてください．
加法圏$\mathcal A,\mathcal B$とその間の加法関手$F,G\colon\mathcal A\to \mathcal B$と自然変換$\theta\colon F\to G$について，
\begin{align}
\theta_{X\oplus Y}\colon F(X\oplus Y)\to G(X\oplus Y)
\end{align}
が同型であれば
\begin{align}
\theta_{X}\colon FX\to GX
\end{align}
も同型となる．
まず，写像
\begin{align}
\begin{bmatrix}\theta_x&0\\0& \theta_Y\end{bmatrix}\colon FX\oplus FY\to GX\oplus GY
\end{align}
が同型であることを示す．$X,Y$とその直和の間に存在する自然な射を以下のように定めておく：
\begin{align}
\begin{xy}(0,0)*+{X}="1",(30,0)*+{X\oplus Y}="2",(60,0)*+{Y}="3",\ar@<0.5ex>^{\iota_X}"1";"2" \ar@<0.5ex>^{\iota_Y}"3";"2" \ar@<0.5ex>^{\pi_X}"2";"1" \ar@<0.5ex>^{\pi_Y}"2";"3"
\end{xy}
\end{align}
このとき，次の図式が可換となる：
\begin{align}
\begin{xy}(0,0)*+{FX\oplus FY}="1",(60,0)*+{GX\oplus GY}="2",(0,-20)*+{F(X\oplus Y)}="6",(60,-20)*+{G(X\oplus Y)}="7",\ar@{->}^{\begin{bmatrix}\theta_x&0\\0& \theta_Y\end{bmatrix}}"1";"2"\ar@{->}_{\theta_{X\oplus Y}}"6";"7"\ar@{->}_{\begin{bmatrix}F(\iota_X)&F(\iota_Y)\end{bmatrix}}"1";"6"\ar@{<-}^{\begin{bmatrix}G(\pi_X)\\G(\pi_Y)\end{bmatrix}}"2";"7"
\end{xy}
\end{align}
実際，図式
\begin{align}
\begin{xy}(0,0)*+{GX}="1",(30,0)*+{G(X\oplus Y)}="2",(60,0)*+{GY}="3",(0,30)*+{FX}="4",(30,30)*+{F(X\oplus Y)}="5",(60,30)*+{FY}="6",\ar@<0.5ex>^{G(\iota_X)}"1";"2" \ar@<0.5ex>^{G(\iota_X)}"3";"2" \ar@<0.5ex>^{G(\pi_x)}"2";"1" \ar@<0.5ex>^{G(\pi_Y)}"2";"3"\ar@<0.5ex>^{F(\iota_X)}"4";"5" \ar@<0.5ex>^{F(\iota_X)}"6";"5" \ar@<0.5ex>^{F(\pi_x)}"5";"4" \ar@<0.5ex>^{F(\pi_Y)}"5";"6" \ar@{->}_{\theta_X}"4";"1" \ar@{->}_{\theta_{X\oplus Y}}"5";"2"\ar@{->}^{\theta_{Y}}"6";"3"\end{xy}
\end{align}
が自然変換の自然性から可換であるから，
\begin{align}
\begin{bmatrix}G(\pi_X)\\G(\pi_Y)\end{bmatrix}\theta_{X\oplus Y}\begin{bmatrix}F(\iota_X)&F(\iota_Y)\end{bmatrix}=&\begin{bmatrix}G(\pi_X)\theta_{X\oplus Y}F(\iota_X)&G(\pi_X)\theta_{X\oplus Y}F(\iota_Y)\\G(\pi_Y)\theta_{X\oplus Y}F(\iota_X)&G(\pi_Y)\theta_{X\oplus Y}F(\iota_Y)\end{bmatrix}\\
=&\begin{bmatrix}\theta_x&0\\0& \theta_Y\end{bmatrix}
\end{align}
となる．このとき，左辺の3つの写像は全て同型であるから$\begin{bmatrix}\theta_X&0\\0& \theta_Y\end{bmatrix}$は同型である．この逆写像を考えることで$\theta_X$の逆写像を与えることができる．以上から示された．
さて，今回の定理より一般の状況で成立する補題を準備しておきます．実質これが定理の証明と言っても差し支えありません．
$\T,\T'$を任意の添字集合に対する直和を持つ三角圏，$F:\T\to\T'$を直和と可換な三角関手であるとする．さらに，$I$を$\T$のcompact generatorであるとする．また，
\begin{align}
FI=\{FA\in\T'\mid A\in \T\}
\end{align}
と定める．次の条件を考える：
(a) 任意の$A,B\in I$と$n\in\mathbb Z$に対して
\begin{align}
F\colon \T(A,B[n])\simeq\T'(FA,FB[n]),
\end{align}
(b) 任意の$A\in I$に対して，$FA$は$\T$のcompactな対象である,
(c) $FI$は$\T'$のgenerator,すなわち$\Loc_\T FI=\T'$である．
これらの条件に関して，以下が成立する：
(1) (a)$\Leftrightarrow\ F|_{\T^c}$がfully faithful,
(2) (a)+(b) $\Rightarrow\ F$がfully faithful,
(3) (a)+(b)+(c) $\Leftrightarrow\ F$が圏同値関手.
(1)を示す．$(\Leftarrow)$は明らか．$(\Rightarrow)$を示す．まず圏$\mathcal C_1$を
\begin{align}
\text{Ob }\mathcal C_1=\{Y\in \T\mid \forall A\in I, \forall n\in\mathbb Z, \T(A,Y[n])\simeq\T'(FA,FY[n])\}
\end{align}
であるような$\T$のfull部分圏とする．これが$\T$のthick部分圏であることを示す．$\mathcal C_1$がシフトで閉じることは定義から明らか．Coneで閉じることは次のようにして示される：
$Y_1,Y_2\in \mathcal C_1$とその間の射$f\colon Y_1\to Y_2$に対して
\begin{align}
\begin{xy}(0,0)*+{Y_1}="1",(30,0)*+{Y_2}="2",(60,0)*+{\cone f}="3", (90,0)*+{Y_1[1]}="4",(120,0)*+{Y_2[1]}="5", \ar@{->}^f"1";"2"\ar@{->}"2";"3"\ar@{->}"3";"4"\ar@{->}"4";"5"
\end{xy}
\end{align}
を考える．このとき，任意の$A\in I$について図式
\begin{align}
\begin{xy}(0,0)*+{\T(A,Y_1)}="1",(45,0)*+{\T(A,Y_2)}="2",(90,0)*+{\T(A,\cone f)}="3", (135,0)*+{\T(A,Y_1[1])}="4",(180,0)*+{\T(A,Y_2[1])}="5",(0,-20)*+{\T'(FA,FY_1)}="6",(45,-20)*+{\T'(FA,FY_2)}="7",(90,-20)*+{\T'(FA,F\cone f)}="8", (135,-20)*+{\T'(FA,FY_1[1])}="9",(180,-20)*+{\T'(FA,FY_2[1])}="10",\ar@{->}"1";"2"\ar@{->}"2";"3"\ar@{->}"3";"4"\ar@{->}"4";"5"\ar@{->}"6";"7"\ar@{->}"7";"8"\ar@{->}"8";"9"\ar@{->}"9";"10"\ar@{->}^\simeq"1";"6"\ar@{->}^\simeq"2";"7"\ar@{->}"3";"8"\ar@{->}^\simeq"4";"9"\ar@{->}^\simeq"5";"10"
\end{xy}
\end{align}
が$F$の関手性から可換であり，さらに$F$が三角関手，$\T(A,-)$と$\T'(FA,-)$がホモロジー関手であることから上下の2つの列は完全列である．よって5-Lemmaから$\T(A,\cone f)\simeq\T'(FA,F\cone f)$となって$\cone f\in \mathcal C_1$が示される．以上から$\mathcal C_1$は$\T$の三角部分圏である．直和因子で閉じていることは補題4の$F$を$\T(A,-)$,$G$を$\T'(FA,-)$とおきかえることで示される．よって$\mathcal C_1$は$\T$のthick部分圏である．さらに，(a)の仮定から$I\subset \mathcal C_1$であるから，定理3の1.と3.の同値性から$\T^c=\thick_\T I\subset\mathcal C_1$.
次に，$\mathcal C_2$を
\begin{align}
\text{Ob }\mathcal C_2=\{X\in \T\mid \forall Y\in \T^c, \forall n\in\mathbb Z, \T(X,Y[n])\simeq\T'(FX,FY[n])\}
\end{align}
であるような$\T$のfull部分圏とする．これがthick部分圏であることは$\mathcal C_1$がthick部分圏であることと同様にして示される（シフトで閉じることはシフトが圏同型関手であることからすぐにわかる．coneで閉じることはHom関手の共変/反変の違いがあるものの$\mathcal C_1$のときと同じようにして示される．直和因子で閉じることは補題4から直ちに従う）．$\T^c\subset\mathcal C_1$であることに注意すると，$I\subset\mathcal C_2$であることがわかるので，再び定理3の1.と3.の同値性から$\T^c=\thick_\T I\subset\mathcal C_2$．よって$F|_{\T^c}$はfully faithfulとなる．
(2)を示す．まず，(1)の証明中の$\mathcal C_1$について，これが$\T$のlocalizing部分圏であることを示す．
三角部分圏であることは(1)の証明からわかっているので，あとは直和で閉じていることを示せばよい．(b)の仮定と$F$の直和との可換性から，任意の$A\in I$と集合$\Lambda$の元で添字づけられた$Y_{\lambda}\in \mathcal C_1$について，次の図式が可換となる．
\begin{align}
\begin{xy}(0,0)*+{\T(A,\oplus Y_\lambda)}="1",(60,0)*+{\T(FA,F(\oplus Y_\lambda))}="2",(0,-20)*+{\oplus\T(A,Y_{\lambda})}="6",(60,-20)*+{\oplus\T'(FA,FY_\lambda)}="7",\ar@{->}^F"1";"2"\ar@{->}^\simeq"6";"7"\ar@{->}^\simeq"1";"6"\ar@{->}^\simeq"2";"7"
\end{xy}
\end{align}
よって，$\underset{\lambda\in\Lambda}{\oplus}Y_\lambda\in\mathcal C_1$となり，$\mathcal C_1$は$\T$のlocalizing部分圏である．さらに(a)の仮定から$I\subset \mathcal C_1$であるから，$\T=\Loc_\T I=\mathcal C_1$.
次に，$\mathcal C'_2$を
\begin{align}
\text{Ob }\mathcal C'_2=\{X\in \T\mid \forall Y\in \T, \forall n\in\mathbb Z, \T(A,Y[n])\simeq\T'(FA,FY[n])\}
\end{align}
で定まる$\T$のfull部分圏として，これがlocalizing部分圏であることを示す．三角部分圏であることは(1)における$\mathcal C_2$が三角部分圏であることの証明と同様．直和で閉じていることを示す．$F$と直和の可換性から，任意の$Y\in \T$と集合$\Lambda$の元で添字づけられた$X_{\lambda}\in \mathcal C'_2$について，次の図式が可換となる．
\begin{align}
\begin{xy}(0,0)*+{\T(\oplus X_\lambda,Y)}="1",(60,0)*+{\T(F(\oplus X_\lambda),FY)}="2",(0,-20)*+{\prod\T(X_{\lambda},Y)}="6",(60,-20)*+{\prod\T'(FX_\lambda,FY)}="7",\ar@{->}^F"1";"2"\ar@{->}^\simeq"6";"7"\ar@{->}^\simeq"1";"6"\ar@{->}^\simeq"2";"7"
\end{xy}
\end{align}
よって，$\underset{\lambda\in\Lambda}{\oplus}X_\lambda\in\mathcal C'_2$となり，$\mathcal C'_2$は$\T$のlocalizing部分圏である．さらに$\T=C_1$であることに注意すると，$I\subset \mathcal C'_2$であるから，$\T=\Loc_\T I=\mathcal C'_2$.よって$F$はfully faithfulとなる．
(3)について，まず$(\Leftarrow)$を示す．(a)は明らかである．(b)について示す．$A\in\T$がコンパクトであるとき，任意の集合$\Lambda$とその元で添字づけられた$Y'_\lambda\in \T'$に対して，$F$の稠密性から$FY_\lambda\simeq Y'_{\lambda}$となる$Y_\lambda$が取れることと，$F$の直和との可換性を用いることで
\begin{align}
\T'(FA,\oplus Y'_\lambda)&\simeq\T'(FA,\oplus FY_\lambda)\simeq\T'(FA,F(\oplus Y_\lambda))\\
&\simeq\T(A,\oplus Y_\lambda)\simeq\oplus\T(A,Y_\lambda)\simeq\oplus T'(FA,FY_\lambda)\\
&\simeq\oplus T'(FA,Y'_\lambda)
\end{align}
となり成立が示される．(c)は((b)が既に示されていることから)定理1の系の1.と2.の同値性により「任意の$A\in I$と$n\in\mathbb{Z}$について，$\T'(FA[n],Y')=0$ならば$Y'=0$」を示せば十分．実際，$F$の稠密性から$Y'\simeq F(Y)$なる$Y\in\T$をとることで
\begin{align}
0=\T'(FA[n],Y')&\simeq\T'(FA[n],FY)\simeq\T(A[n],Y)
\end{align}
であり，$I$がcompact generatorであることから$Y=0$.したがって$Y'=F(Y)=0$となり示される．
$(\Rightarrow)$を示す．$F$がfully faithfulであることは(2)から従う．稠密性を示す．
\begin{align}
\mathrm{Im\ }F=\{X'\in\T'\mid \exists X\in\T \text{ s.t. } X'\simeq F(X) \}
\end{align}
とする．このとき，$F$は直和と可換であることから$\mathrm{Im\ }F$は直和で閉じる．よって，(c)から$FI\subset \mathrm{Im\ } F$を示せば十分であるがこれは明らか．以上から示された．
定理1の証明
さて，本題である定理1を示しましょう．補題5から，以下の定理を示せば十分です．
$I:=\{A^{\wedge}\mid A\in \mathcal C\}$は$D(\mathcal C)$のcompact generatorである．
まずcompactであることを示す．任意の$A\in\mathcal C$と集合$\Lambda$の元で添字づけられた$Y_{\lambda}$に対して，米田の補題から，
\begin{align}
C_{\mathrm{dg}}(\mathcal C)(A^{\wedge},\oplus Y_\lambda)\simeq\oplus Y_\lambda(A)
\end{align}
が成立する．両辺0次のホモロジーをとって
\begin{align}
K(\mathcal C)(A^{\wedge},\oplus Y_\lambda)\simeq H^0(\oplus Y_\lambda A)\simeq\oplus H^0(Y_\lambda A)=\oplus K(\mathcal C)(A^{\wedge},Y_\lambda).
\end{align}
ここで$A^{\wedge}$は$K(\mathcal C)$においてacyclicな対象への射が0しかないことが上の最初の同型について$\oplus Y_\lambda$をacyclicな対象に置き換えることでわかるので，導来圏の定義から$K(\mathcal C)(A^{\wedge},\oplus Y_\lambda)\simeq D(\mathcal C)(A^{\wedge},\oplus Y_\lambda)$, $K(\mathcal C)(A^{\wedge},Y_\lambda)\simeq D(\mathcal C)(A^{\wedge},Y_\lambda)$．よって示された．
次に$\Loc_{D(\mathcal C)}I=D(\mathcal C)$であることを示す．定理3の1.と2.の同値性から，「任意の$A\in\mathcal C$と$n\in\mathbb{Z}$について，$D(\mathcal C)(A^{\wedge}[n],Y)=0$ならば$Y=0$」を示せば良い．上の議論と同様に
\begin{align}
0=D(\mathcal C)(A^{\wedge}[n],Y)\simeq H^{-n}(YA).
\end{align}
となる.導来圏においてこれは$Y=0$を意味するので示された．
以上で示されました．間違っているところなどありましたら，コメントに書き込んでいただけますとありがたいです．
謝辞
定理1の証明方針は著者の参加するDG圏の自主ゼミで与えられたものです．特に本質的な部分である補題5についてはS氏のゼミノートを参考にいたしました．また，細かい部分のフォローをA氏にしていただきました．S氏，A氏はじめ自主ゼミに参加しているメンバーに感謝申し上げます．
参考文献
- [Kel94] B. Keller, Deriving DG categories, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 27 (1994), no. 1, 63--102.
- [Kra07] H.Krause, Derived categories, resolutions, and Brown representability, Interactions between homotopy theory and algebra, 101--139, Contemp. Math., 436, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007.
