dg圏の導来圏におけるcompact generatorと圏同値性

まず，写像
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}{\theta }_x& 0\\ 0& {\theta }_Y\end{array}\right]:FX\oplus FY\to GX\oplus GY\end{array}$$
が同型であることを示す．$X,Y$とその直和の間に存在する自然な射を以下のように定めておく：
$$\begin{array}{r}XX\oplus YY{\iota }_X{\iota }_Y{\pi }_X{\pi }_Y\end{array}$$
このとき，次の図式が可換となる：
$$\begin{array}{r}FX\oplus FYGX\oplus GYF(X\oplus Y)G(X\oplus Y)\left[\begin{array}{cc}{\theta }_x& 0\\ 0& {\theta }_Y\end{array}\right]{\theta }_{X\oplus Y}\left[\begin{array}{cc}F({\iota }_X)& F({\iota }_Y)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}G({\pi }_X)\\ G({\pi }_Y)\end{array}\right]\end{array}$$
実際，図式
$$\begin{array}{r}GXG(X\oplus Y)GYFXF(X\oplus Y)FYG({\iota }_X)G({\iota }_X)G({\pi }_x)G({\pi }_Y)F({\iota }_X)F({\iota }_X)F({\pi }_x)F({\pi }_Y){\theta }_X{\theta }_{X\oplus Y}{\theta }_Y\end{array}$$
が自然変換の自然性から可換であるから，
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}G({\pi }_X)\\ G({\pi }_Y)\end{array}\right]{\theta }_{X\oplus Y}\left[\begin{array}{cc}F({\iota }_X)& F({\iota }_Y)\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cc}G({\pi }_X){\theta }_{X\oplus Y}F({\iota }_X)& G({\pi }_X){\theta }_{X\oplus Y}F({\iota }_Y)\\ G({\pi }_Y){\theta }_{X\oplus Y}F({\iota }_X)& G({\pi }_Y){\theta }_{X\oplus Y}F({\iota }_Y)\end{array}\right]\\ =& \left[\begin{array}{cc}{\theta }_x& 0\\ 0& {\theta }_Y\end{array}\right]\end{array}$$
となる．このとき，左辺の3つの写像は全て同型であるから$\left[\begin{array}{cc}{\theta }_X& 0\\ 0& {\theta }_Y\end{array}\right]$は同型である．この逆写像を考えることで${\theta }_X$の逆写像を与えることができる．以上から示された．

(1)を示す．$(\Leftarrow )$は明らか．$(\Rightarrow )$を示す．まず圏${\mathcal{C}}_1$を
$$\begin{array}{r}\text{Ob }{\mathcal{C}}_1=\{Y\in \mathcal{T}\mid \mathrm{\forall }A\in I,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z},\mathcal{T}(A,Y[n])\simeq {\mathcal{T}}^{\prime }(FA,FY[n])\}\end{array}$$
であるような$\mathcal{T}$のfull部分圏とする．これが$\mathcal{T}$のthick部分圏であることを示す．${\mathcal{C}}_1$がシフトで閉じることは定義から明らか．Coneで閉じることは次のようにして示される：
$Y_1,Y_2\in {\mathcal{C}}_1$とその間の射$f:Y_1\to Y_2$に対して
$$\begin{array}{r}{Y}_1{Y}_2\mathsf{cone}f{Y}_1[1]Y_2[1]f\end{array}$$
を考える．このとき，任意の$A\in I$について図式
$$\begin{array}{r}\mathcal{T}(A,Y_1)\mathcal{T}(A,Y_2)\mathcal{T}(A,\mathsf{cone}f)\mathcal{T}(A,Y_1[1])\mathcal{T}(A,Y_2[1]){\mathcal{T}}^{\prime }(FA,F{Y}_1){\mathcal{T}}^{\prime }(FA,F{Y}_2){\mathcal{T}}^{\prime }(FA,F\mathsf{cone}f){\mathcal{T}}^{\prime }(FA,F{Y}_1[1]){\mathcal{T}}^{\prime }(FA,F{Y}_2[1])\simeq \simeq \simeq \simeq \end{array}$$
が$F$の関手性から可換であり，さらに$F$が三角関手，$\mathcal{T}(A,-)$と${\mathcal{T}}^{\prime }(FA,-)$がホモロジー関手であることから上下の2つの列は完全列である．よって5-Lemmaから$\mathcal{T}(A,\mathsf{cone}f)\simeq {\mathcal{T}}^{\prime }(FA,F\mathsf{cone}f)$となって$\mathsf{cone}f\in {\mathcal{C}}_1$が示される．以上から${\mathcal{C}}_1$は$\mathcal{T}$の三角部分圏である．直和因子で閉じていることは補題4の$F$を$\mathcal{T}(A,-)$,$G$を${\mathcal{T}}^{\prime }(FA,-)$とおきかえることで示される．よって${\mathcal{C}}_1$は$\mathcal{T}$のthick部分圏である．さらに，(a)の仮定から$I\subset {\mathcal{C}}_1$であるから，定理3の1.と3.の同値性から${\mathcal{T}}^c={\mathsf{thick}}_{\mathcal{T}}I\subset {\mathcal{C}}_1$.
次に，${\mathcal{C}}_2$を
$$\begin{array}{r}\text{Ob }{\mathcal{C}}_2=\{X\in \mathcal{T}\mid \mathrm{\forall }Y\in {\mathcal{T}}^c,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z},\mathcal{T}(X,Y[n])\simeq {\mathcal{T}}^{\prime }(FX,FY[n])\}\end{array}$$
であるような$\mathcal{T}$のfull部分圏とする．これがthick部分圏であることは${\mathcal{C}}_1$がthick部分圏であることと同様にして示される（シフトで閉じることはシフトが圏同型関手であることからすぐにわかる．coneで閉じることはHom関手の共変/反変の違いがあるものの${\mathcal{C}}_1$のときと同じようにして示される．直和因子で閉じることは補題4から直ちに従う）．${\mathcal{T}}^c\subset {\mathcal{C}}_1$であることに注意すると，$I\subset {\mathcal{C}}_2$であることがわかるので，再び定理3の1.と3.の同値性から${\mathcal{T}}^c={\mathsf{thick}}_{\mathcal{T}}I\subset {\mathcal{C}}_2$．よって$F{|}_{{\mathcal{T}}^c}$はfully faithfulとなる．
(2)を示す．まず，(1)の証明中の${\mathcal{C}}_1$について，これが$\mathcal{T}$のlocalizing部分圏であることを示す．
三角部分圏であることは(1)の証明からわかっているので，あとは直和で閉じていることを示せばよい．(b)の仮定と$F$の直和との可換性から，任意の$A\in I$と集合$\mathrm{\Lambda }$の元で添字づけられた$Y_{\lambda }\in {\mathcal{C}}_1$について，次の図式が可換となる．
$$\begin{array}{r}\mathcal{T}(A,\oplus Y_{\lambda })\mathcal{T}(FA,F(\oplus Y_{\lambda }))\oplus \mathcal{T}(A,Y_{\lambda })\oplus {\mathcal{T}}^{\prime }(FA,F{Y}_{\lambda })F\simeq \simeq \simeq \end{array}$$
よって，$\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{\oplus }{Y}_{\lambda }\in {\mathcal{C}}_1$となり，${\mathcal{C}}_1$は$\mathcal{T}$のlocalizing部分圏である．さらに(a)の仮定から$I\subset {\mathcal{C}}_1$であるから，$\mathcal{T}={\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}I={\mathcal{C}}_1$.
次に，${\mathcal{C}}_2^{\prime }$を
$$\begin{array}{r}\text{Ob }{\mathcal{C}}_2^{\prime }=\{X\in \mathcal{T}\mid \mathrm{\forall }Y\in \mathcal{T},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z},\mathcal{T}(A,Y[n])\simeq {\mathcal{T}}^{\prime }(FA,FY[n])\}\end{array}$$
で定まる$\mathcal{T}$のfull部分圏として，これがlocalizing部分圏であることを示す．三角部分圏であることは(1)における${\mathcal{C}}_2$が三角部分圏であることの証明と同様．直和で閉じていることを示す．$F$と直和の可換性から，任意の$Y\in \mathcal{T}$と集合$\mathrm{\Lambda }$の元で添字づけられた$X_{\lambda }\in {\mathcal{C}}_2^{\prime }$について，次の図式が可換となる．
$$\begin{array}{r}\mathcal{T}(\oplus X_{\lambda },Y)\mathcal{T}(F(\oplus X_{\lambda }),FY)\prod \mathcal{T}(X_{\lambda },Y)\prod {\mathcal{T}}^{\prime }(F{X}_{\lambda },FY)F\simeq \simeq \simeq \end{array}$$
よって，$\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{\oplus }{X}_{\lambda }\in {\mathcal{C}}_2^{\prime }$となり，${\mathcal{C}}_2^{\prime }$は$\mathcal{T}$のlocalizing部分圏である．さらに$\mathcal{T}=C_1$であることに注意すると，$I\subset {\mathcal{C}}_2^{\prime }$であるから，$\mathcal{T}={\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}I={\mathcal{C}}_2^{\prime }$.よって$F$はfully faithfulとなる．

(3)について，まず$(\Leftarrow )$を示す．(a)は明らかである．(b)について示す．$A\in \mathcal{T}$がコンパクトであるとき，任意の集合$\mathrm{\Lambda }$とその元で添字づけられた$Y_{\lambda }^{\prime }\in {\mathcal{T}}^{\prime }$に対して，$F$の稠密性から$F{Y}_{\lambda }\simeq Y_{\lambda }^{\prime }$となる$Y_{\lambda }$が取れることと，$F$の直和との可換性を用いることで
$$\begin{array}{rl}{\mathcal{T}}^{\prime }(FA,\oplus Y_{\lambda }^{\prime })& \simeq {\mathcal{T}}^{\prime }(FA,\oplus F{Y}_{\lambda })\simeq {\mathcal{T}}^{\prime }(FA,F(\oplus Y_{\lambda }))\\ & \simeq \mathcal{T}(A,\oplus Y_{\lambda })\simeq \oplus \mathcal{T}(A,Y_{\lambda })\simeq \oplus T^{\prime }(FA,F{Y}_{\lambda })\\ & \simeq \oplus T^{\prime }(FA,Y_{\lambda }^{\prime })\end{array}$$
となり成立が示される．(c)は((b)が既に示されていることから)定理1の系の1.と2.の同値性により「任意の$A\in I$と$n\in \mathbb{Z}$について，${\mathcal{T}}^{\prime }(FA[n],Y^{\prime })=0$ならば$Y^{\prime }=0$」を示せば十分．実際，$F$の稠密性から$Y^{\prime }\simeq F(Y)$なる$Y\in \mathcal{T}$をとることで
$$\begin{array}{rl}0={\mathcal{T}}^{\prime }(FA[n],Y^{\prime })& \simeq {\mathcal{T}}^{\prime }(FA[n],FY)\simeq \mathcal{T}(A[n],Y)\end{array}$$
であり，$I$がcompact generatorであることから$Y=0$.したがって$Y^{\prime }=F(Y)=0$となり示される．
$(\Rightarrow )$を示す．$F$がfully faithfulであることは(2)から従う．稠密性を示す．
$$\begin{array}{r}\mathrm{Im}F=\{X^{\prime }\in {\mathcal{T}}^{\prime }\mid \mathrm{\exists }X\in \mathcal{T}\text{ s.t. }{X}^{\prime }\simeq F(X)\}\end{array}$$
とする．このとき，$F$は直和と可換であることから$\mathrm{Im}F$は直和で閉じる．よって，(c)から$FI\subset \mathrm{Im}F$を示せば十分であるがこれは明らか．以上から示された．

まずcompactであることを示す．任意の$A\in \mathcal{C}$と集合$\mathrm{\Lambda }$の元で添字づけられた$Y_{\lambda }$に対して，米田の補題から，
$$\begin{array}{r}{C}_{\mathrm{dg}}(\mathcal{C})(A^{\wedge },\oplus Y_{\lambda })\simeq \oplus Y_{\lambda }(A)\end{array}$$
が成立する．両辺0次のホモロジーをとって
$$\begin{array}{r}K(\mathcal{C})(A^{\wedge },\oplus Y_{\lambda })\simeq H^0(\oplus Y_{\lambda }A)\simeq \oplus H^0(Y_{\lambda }A)=\oplus K(\mathcal{C})(A^{\wedge },Y_{\lambda }).\end{array}$$
ここで$A^{\wedge }$は$K(\mathcal{C})$においてacyclicな対象への射が0しかないことが上の最初の同型について$\oplus Y_{\lambda }$をacyclicな対象に置き換えることでわかるので，導来圏の定義から$K(\mathcal{C})(A^{\wedge },\oplus Y_{\lambda })\simeq D(\mathcal{C})(A^{\wedge },\oplus Y_{\lambda })$, $K(\mathcal{C})(A^{\wedge },Y_{\lambda })\simeq D(\mathcal{C})(A^{\wedge },Y_{\lambda })$．よって示された．
次に${\mathsf{Loc}}_{D(\mathcal{C})}I=D(\mathcal{C})$であることを示す．定理3の1.と2.の同値性から，「任意の$A\in \mathcal{C}$と$n\in \mathbb{Z}$について，$D(\mathcal{C})(A^{\wedge }[n],Y)=0$ならば$Y=0$」を示せば良い．上の議論と同様に
$$\begin{array}{r}0=D(\mathcal{C})(A^{\wedge }[n],Y)\simeq H^{-n}(YA).\end{array}$$
となる.導来圏においてこれは$Y=0$を意味するので示された．