Brownの表現定理からcompact generatorの同値条件を導く

compact性がshift，cone，直和因子を取る操作で保たれることを示せば良い．shiftを取る操作で保たれることは$\mathcal{T}(X[1],Y)\simeq \mathcal{T}(X,Y[-1])$から明らか．coneを取る操作で保たれることは可換図式
$$\begin{array}{r}\mathcal{T}(X_2[1],\oplus Y_{\lambda })\mathcal{T}(X_1[1],\oplus Y_{\lambda })\mathcal{T}(\mathsf{cone}f,\oplus Y_{\lambda })\mathcal{T}(X_2,\oplus Y_{\lambda })\mathcal{T}(X_1,\oplus Y_{\lambda })\oplus \mathcal{T}(X_2[1],Y_{\lambda })\oplus \mathcal{T}(X_1[1],Y_{\lambda })\oplus \mathcal{T}(\mathsf{cone}f,Y_{\lambda })\oplus \mathcal{T}(X_2,Y_{\lambda })\oplus \mathcal{T}(X_1,Y_{\lambda })\simeq \simeq \simeq \simeq \end{array}$$
に5-Lemmaを適用すればよい．直和因子を取る操作で保たれることは$\mathcal{T}(X_1\oplus X_2,Y)\simeq \mathcal{T}(X_1,Y)\oplus \mathcal{T}(X_2,Y)$から明らか，

$\mathsf{cone}f$の長さ（$T$の対象の直和から拡大をとり続けて$\mathsf{cone}f$が現れる最小の回数）による帰納法で示す．長さが1のとき，$\mathsf{cone}f$は$T$の対象の直和である．このとき，$X$が${\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T$のcompactであることから，射$X\to Y\to \mathsf{cone}f$を考えると$\mathsf{cone}f$の直和因子であって有限個の$T$の対象の直和で表される対象$Z$を経由する．このとき，$Z\in {\mathsf{thick}}_{\mathcal{T}}T$である．図式
$$\begin{array}{r}XZY\mathsf{cone}f\phi \end{array}$$
について，三角圏の公理から，$Z=\mathsf{cone}g$となるような$g:X^{\prime }\to X$が取れる．よって長さが1のときは示された．長さが$n$以下の場合に成立を仮定して，長さが$n+1$の場合を示す．$\mathsf{cone}f$は長さが$n+1$であるから，長さが$n$以下の対象$E_1,E_2$を用いて
$$\begin{array}{r}{E}_2\to \mathsf{cone}f\to E_1\to E_2[1]\end{array}$$
が完全三角形となるようにできる．このとき，まず八面体公理から，
$$\begin{array}{r}{Y}^{\prime }Y\mathsf{cone}f{Y}^{\prime }[1]Y^{\prime }{Y}^{″}{E}_2{Y}^{\prime }[1]E_1{E}_1{E}_1[-1]E_1[-1]\end{array}$$
の各行各列が全て完全三角形である．そこで，$X$がcompactであることと$E_1$の帰納法の仮定から可換図式
$$\begin{array}{r}AX\mathsf{cone}{g}_{1}A[1]Y^{″}Y{E}_1{Y}^{″}[1]g_1\end{array}$$
を満たし$\mathsf{cone}{g}_1\in {\mathsf{thick}}_{\mathcal{T}}T$であるような$A,g_1$をとる．ここで，特に補題4から$\mathsf{cone}{g}_1$はcompactであり，したがって$A$もcompactである．よって，$E_2$の帰納法の仮定から
$$\begin{array}{r}BA\mathsf{cone}{g}_{2}B[1]Y^{\prime }{Y}^{″}{E}_2{Y}^{″}[1]g_2\end{array}$$
を満たし$\mathsf{cone}{g}_2\in {\mathsf{thick}}_{\mathcal{T}}T$であるような$B,g_2$をとる．ここで，上の二つの図式の一番左側の図式を結合させた
$$\begin{array}{r}BX{Y}^{\prime }Y{g}_1\circ g_{2}f\phi \end{array}$$
の$B$と$g_1\circ g_2$が求めるべき対象と射であることを示す．これを完全三角形の間の射に拡張すると，
$$\begin{array}{r}BX\mathsf{cone}(g_1\circ g_2)B[1]Y^{\prime }Y\mathsf{cone}f{Y}^{\prime }[1].g_1\circ g_{2}f\end{array}$$
$\mathsf{cone}(g_1\circ g_2)\in {\mathsf{thick}}_{\mathcal{T}}T$を示せばよい．いま，八面体公理から次の図式が可換かつ全ての行と列が完全三角形である：
$$\begin{array}{r}BX\mathsf{cone}{g}_1\circ g_{2}B[1]BA\mathsf{cone}{g}_{2}B[1]\mathsf{cone}{g}_1\mathsf{cone}{g}_1\mathsf{cone}{g}_1[-1]\mathsf{cone}{g}_1[-1].g_2{g}_1\end{array}$$
よって特に左から2列目が完全三角形であり，$\mathsf{cone}{g}_1,\mathsf{cone}{g}_2\in {\mathsf{thick}}_{\mathcal{T}}T$であることから$\mathsf{cone}{g}_1\circ g_2\in {\mathsf{thick}}_{\mathcal{T}}T$である．以上から示された．

1.$\Rightarrow$2.を示す．まず，$Y\in \mathcal{T}$に対して，
$$\begin{array}{r}\mathrm{ob}\mathcal{C}=\{A\in T\mid \mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z},\mathcal{T}(A[n],Y)=0\}\end{array}$$
であるような$\mathcal{T}$のfull部分圏$\mathcal{C}$を考えると，これは$\mathcal{T}$のlocalizing部分圏となる．まずこれを示そう．シフトで閉じることは定義から明らかである．coneで閉じることを示す．$A\stackrel{f}{\to }B\in \mathcal{C}$に対して$\mathcal{T}(-,Y)$がホモロジー関手であることから
$$\begin{array}{r}0=\mathcal{T}(A[1]),Y)\to \mathcal{T}(\mathsf{cone}f,Y)\to \mathcal{T}(B,Y)=0\end{array}$$
が完全列であり，ここから$\mathsf{cone}f\in \mathcal{C}$が従う．直和で閉じることを示す．集合$\mathrm{\Lambda }$で添字づけられた$X_{\lambda }\in \mathcal{C}$に対して，
$$\begin{array}{r}\mathcal{T}(\oplus X_{\lambda },Y)\simeq \prod \mathcal{T}(X_{\lambda },Y)=0\end{array}$$
となることから，$\oplus X_{\lambda }\in \mathcal{C}$が従う．よって，1.の仮定から，$\mathcal{C}=\mathcal{T}$である．$Y$は任意の$\mathcal{T}$対象からの射が0射しかないことになるので$Y=0$である．

2.$\Rightarrow$1.を示す.任意の$Y\in \mathcal{T}$に対して，$\mathcal{T}(-,Y)$を${\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T$に制限した$\mathcal{T}(-,Y){\mid }_{{\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T}$を考える．このとき，この関手はホモロジー関手であり，集合$\mathrm{\Lambda }$で添字づけられた$X_{\lambda }\in \mathcal{C}$に対して$\mathcal{T}(\oplus X_{\lambda },Y){\mid }_{{\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T}\simeq \prod \mathcal{T}(X_{\lambda },Y){\mid }_{{\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T}$であるからBrownの表現定理の仮定を満たしている．よって，ある$Z\in {\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T$が存在して自然同型
$$\begin{array}{r}\theta :{\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T(-,Z)\simeq \mathcal{T}(-,Y){\mid }_{{\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T}.\end{array}$$
が取れる．よって，米田の補題（ 前回の記事 参照．補題中の$\mathcal{A}(-,A)$を$\mathcal{T}(-,Y){|}_{{\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T}$,$F$を${\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T(-,Z)$とする）から$\alpha :Z\to Y$で任意の$X\in {\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T$に対して${\theta }_X={\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T(X,\alpha )$であるものが存在する．ここで，完全三角形
$$\begin{array}{r}Z\stackrel{\alpha }{\to }Y\to \mathsf{cone}\alpha \to Z[1]\end{array}$$
を考えてこれに$\mathcal{T}(A,-)$（ただし$A\in T$）を作用させると，$\mathcal{T}(A,-)$がホモロジー関手であることと$\mathcal{T}(A,Z)\simeq \mathcal{T}(A,Y)$である（${\mathsf{Loc}}_{T}T$はfull部分圏なので${\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T(-,Z)=\mathcal{T}(-,Z)$に注意）ことから，$\mathcal{T}(A,\mathsf{cone}\alpha )=0$.仮定から$\mathsf{cone}\alpha =0$であり，これは$Y\simeq Z$を意味する．よって，$Y\in {\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T$となり${\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T=\mathcal{T}$が示された．

1.$\Rightarrow$ 3.を示す．任意のcompactな対象$Y\in {\mathcal{T}}^c$に対して，$\mathcal{T}(-,Y)$にBrownの表現定理を適用する．すなわち，$\mathcal{T}$の列
$$\begin{array}{r}{Y}_0^{\prime }\stackrel{{\epsilon }_0}{\to }{Y}_1^{\prime }\stackrel{{\epsilon }_1}{\to }\cdots \end{array}$$
で，そのホモトピー余極限$Y^{\prime }$が，$\mathcal{T}(-,Y)\simeq \mathcal{T}(-,Y^{\prime })$となるようなものをとる．このとき，米田の補題から$Y\simeq Y^{\prime }$であるから$Y^{\prime }$もcompactである．このとき，完全三角形
$$\begin{array}{r}\oplus Y_i^{\prime }\stackrel{\mathrm{id}-\text{1-shift}}{\to }\oplus Y_i^{\prime }\to Y^{\prime }\stackrel{\psi }{\to }\oplus Y_i^{\prime }[1]\end{array}$$
において$Y^{\prime }$がcompactであることから$\psi$は$Y_i^{\prime }[1]$の有限直和を経由する（ここで，この有限直和は$Y_1^{\prime }[1]\oplus \cdots \oplus Y_n^{\prime }[1]$として一般性を失わない）．このとき，完全三角系は複体であるから$(\mathrm{id}-\text{1-shift})[1]\circ \psi =0$であり，$\psi$を有限直和への射${\psi }^{\prime }$と埋め込み$\iota$に分解して$\psi =\iota \circ {\psi }^{\prime }$とすると，$(\mathrm{id}-\text{1-shift})[1]\circ \iota$は次の行列で表される射である：
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ -{\epsilon }_0& 1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& -{\epsilon }_1& 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& & & \ddots & & ⋮\\ ⋮& & & -{\epsilon }_{n-1}& 1& 0\\ 0& \cdots & & 0& -{\epsilon }_n& 1\end{array}\right]\end{array}$$
（正確にはこれは像を$Y_i^{\prime }[1]$の有限直和に制限した表示であり，これを$\oplus Y_i^{\prime }[1]$へ埋め込んだものが$(\mathrm{id}-\text{1-shift})[1]\circ \iota$である）．このとき，これは左逆射
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ {\epsilon }_0& 1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ {\epsilon }_1\circ {\epsilon }_0& {\epsilon }_1& 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& & & \ddots & & ⋮\\ ⋮& & & {\epsilon }_{n-1}& 1& 0\\ {\epsilon }_n\circ \cdots \circ {\epsilon }_0& \cdots & & {\epsilon }_n\circ {\epsilon }_{n-1}& {\epsilon }_n& 1\end{array}\right]\end{array}$$
をもつ．よって，${\psi }^{\prime }=0$，特に$\psi =0$である．よって，$\oplus Y_i^{\prime }\to Y^{\prime }$はretractionとなる．対応するsection$Y^{\prime }\to \oplus Y_i^{\prime }$を考えると，$Y^{\prime }$のcompact性から$Y^{\prime }$は$Y_i^{\prime }$の有限直和の直和因子である．各$Y_i$は$T$に属する対象の直和の有限回の拡大で記述されることから特にその有限直和も同様である．ここで，補題5を以下の図式に適用する：
$$\begin{array}{r}{Y}^{\prime }0\underset{\mathrm{finite}}{\oplus }{Y}_i^{\prime }\underset{\mathrm{finite}}{\oplus }{Y}_i^{\prime }0.\end{array}$$
このとき，ある$A\in \mathcal{T}$と$f:A\to Y^{\prime }$でsection $Y^{\prime }\to \oplus Y_i^{\prime }$との合成が$0$を経由するものが存在して$\mathsf{cone}f\in {\mathsf{thick}}_{\mathcal{T}}T$であるというのが補題5の主張であった．sectionは特に単射なので，$f$は$0$射なので$Y^{\prime }$は$\mathsf{cone}f$の直和因子であるから$Y^{\prime }\in {\mathsf{thick}}_{\mathcal{T}}T$である．よって，${\mathcal{T}}^c\subset {\mathsf{thick}}_{\mathcal{T}}T$である．逆は補題4から明らか．
3.$\Rightarrow$1.を示す．${\mathcal{T}}^c\subset {\mathsf{thick}}_{\mathcal{T}}T\subset {\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T$なので，$T^c$はcompact generatorを含むことから${\mathsf{Loc}}_{\mathcal{T}}T=\mathcal{T}$．