つい最近,アルバイトにて高校生に数学の指導をしていたとき,相手の生徒が逆関数と導関数の記号を混同している事案がありました。その時にふと思ったのが,逆関数と導関数が同じになる関数って存在する?という疑問です。この記事ではとりあえず,そうなる関数を1つ求めます。すべて求めたわけではないのでご注意ください。
関数
が成り立つと仮定します。
(例えば
まず導関数
先に結果だけ言っておきます。
この命題が正しいことは計算すればすぐに分かります。以下,この関数を見つけた経緯を述べます。
また,
上記の議論では,
さて,導関数と逆関数が一致するものは,先に求めたものだけですべてなのだろうか?という疑問が自然に発生します。しかしその疑問に対する答えはまだ与えられていません。なにかご存じの方,及び解けた!という方がいればコメントにて教えていただけると嬉しいです。
(
(複素数の範囲で考察するべきかなあ。)
急に閲覧数が増えていたので何事⁈と思いTwitterを見てみたところ,
https://twitter.com/apu_yokai/status/1337730384214151172
にて拡散されていたようです。ありがとうございます!
また,その引用リツイートを漁っていると,少なくとも以下の動画で紹介されていることに言及している
ツイート
がありました。
https://youtu.be/rNUfiQgj6ZI
https://youtu.be/0IlWyIaMXqI
なんなら「みんな考えること一緒だなぁw」と言われましたので,オリジナリティを持たせるために,少し問題を一般化してみました。
[
逆関数がn階導関数になるとき
]
黄金数だけでなく,白銀数や青銅数が登場しますので,そちらも併せてご覧ください。
2020年12月16日に開催された〈オンライン数学デー〉において話題に出していただいたようです。
https://twitter.com/sugaku_day/status/1339198592964161536
また,MathOverlfowにて同様の議論がありました。
https://mathoverflow.net/questions/34052/function-satisfying-f-1-f
ここでの議論について,もしかしたら記事を書くかもしれません。