ディリクレ指標の性質
はじめに
この記事ではDirichlet指標$\chi(n)$の諸性質について解説していきます。
まずディリクレ指標の定義を確認しておきます。
法$N$のディリクレ指標とは写像$\x:\Z\to\C^\times$であって、任意の$m,n\in\Z$に
- $\x(mn)=\x(m)\x(n)$
- $ m\equiv n\pmod{N}\Rightarrow \x(m)=\x(n)$
- $(n,N)\neq1\iff \x(n)=0$
が成り立つもののことを言う。
特に$N$と互いに素なすべての整数$n$に対して$\x(n)=1$となる指標を自明な指標といい、基本的に$\x_0$と表されます。
その定義から$N\geq2$において法$N$のディリクレ指標$\x$を考えることと指標(準同型)$\x':(\Z/N\Z)^\times\to\C^\times$を考えることは本質的に同じことになります。具体的には$\x(n)\leftrightarrow\x'(n+N\Z)$という関係で結びつけることができます。
指標の性質
先に述べたようにディリクレ指標は普通の指標と結び付けられるので、指標の性質を調べればそれがディリクレ指標にも適用できることになります。
以下でいう指標とは有限アーベル群$G$から複素数$\C^\times$への乗法に関する準同型のことを言います。また$G$の指標全体のなす集合を$\widehat{G}$と表し、これに乗法$\cdot$を入れたものは群となるので$\widehat{G}$を$G$の指標群と言います。
$\widehat{G_1{\times} G_2}\simeq \wh{G_1}\times\wh{G_2}\quad(\x(a,b)=\x(a,1)\x(1,b)\leftrightarrow (\x(a,1),\x(1,b))\,)$が成り立つ。
上に挙げた準同型が全単射であることは容易にわかるので割愛。
$G\simeq\wh{G}$が成り立つ。
有限アーベル群の基本定理などの一般論により$G$は有限個の巡回群の積として表され、また定理1よりそのそれぞれの巡回群が対応する指標群に同型であることを言えばよい。
位数$n$の巡回群$\langle a\rangle$の任意の元は$a^k$の形に表せれるので、この巡回群に指標$\x$を定めることと$\x(a)$の値を定めることは同じことになる。いま$\x(a)^n=\x(a^n)=\x(1)=1$なので$\x(a)$の取りうる値は$1,\z_n,\z_n^2,\ldots,\z_n^{n-1}$の$n$通りであり、したがって例えば指標$\x_a$を$\x_a(a)=\z_n$と定めると、$\wh{\langle a\rangle}=\langle \x_a\rangle\simeq\langle a\rangle$となることがわかる。
$G$の部分群$H$について、任意の$\x'\in\wh{H}$に対して$\x|_H=\x'\;$($\x|_H$は$\x$の$H$への制限)なる$\x\in\G$が丁度$|G/H|$個存在する。
$\G$から$\wh{H}$への準同型$\;\cdot\;|_H:\x\mapsto\x|_H$の核$\mathrm{Ker}(\;\cdot\;|_H)$が$\wh{G/H}$と同型であることを示せばよい。
そうすれば準同型定理より$\mathrm{Im}(\;\cdot\;|_H)\simeq \G/\mathrm{Ker}(\;\cdot\;|_H)\simeq\wh{H}$と全射性がわかり、
$|\mathrm{Ker}(\;\cdot\;|_H)|=|G/H|$より$\wh{H}$の各元の逆射は$|G/H|$個の指標からなることがわかる。
以下簡単のため$A=\mathrm{Ker}(\;\cdot\;|_H)$とおく。
いま$A$の任意の元$\x$は任意の$a\in H$に対して$\x(a)=1$であり、言い換えると$G$の元$x,x'$が$G/H$において同じ剰余類に属していれば(つまり$x(x')^{-1}\in H$より)$\x(x)=\x(x')$となるとも言える。
したがって$A$から$\wh{G/H}$への準同型$\x\to\ol{\x}:xH\mapsto\x(x)$を考えることができ、この核が自明な指標のみであることや逆射$\ol\x\mapsto\x:x\mapsto\ol\x(xH)$が定まることは容易にわかるので同型$A\simeq\wh{G/H}\quad(\x\leftrightarrow\ol\x)$を得る。
$G$の位数$f$の元$a$に対して$\prod_{\x\in\G}(1-\x(a)x)=(1-x^f)^{|G|/f}$が成り立つ。特にある$\x\in\G$があって$\x(a)$は$1$の原始$f$乗根となる。
$a$の生成する巡回群$\langle a\rangle$について$\wh{\langle a\rangle}$は$\x'_k(a)=\z_f^k\;(k=0,1,2,\ldots,f-1)$によって定まる$f$個の指標$\x'_k$からなっており、定理2より各$k$に対し$\x(a)=\x'_k(a)$なる指標$\x\in\G$はそれぞれ丁度$|G|/f$個ずつ存在するので
$\dis\prod_{\x\in\G}(1-\x(a)x)=\prod^{f-1}_{k=0}(1-\z_f^kx)^{|G|/f}=(1-x^f)^{|G|/f}$を得る。
$G\simeq \wh{\wh{G}}\quad(a\leftrightarrow \hat{a}:\x\in\wh{G}\mapsto\x(a))$が成り立つ。
$G\simeq\G\simeq\wh{\G}$より$G$と$\wh{\G}$の位数は等しいので準同型$a\mapsto\hat{a}$が単射であることが言えればよい。
$\hat{a}=1$つまり任意の$\x\in\G$に$\x(a)=1$が成り立つのであれば、定理2系より$a=1$以外ではありえない。よって$a\mapsto\hat{a}$は単射である。
$a\in G$について$\dis\sum_{\x\in\G}\x(a)=\left\{\begin{array}{cl}|G|&a=1のとき\\0&a\neq1のとき\end{array}\right.$
$\x\in\G$について$\dis\sum_{a\in G}\x(a)=\left\{\begin{array}{cl}|G|&\x=\x_0のとき\\0&\x\neq\x_0のとき\end{array}\right.$
が成り立つ。ただし$\G$の自明な指標を$\x_0$とおいた。
後者は前者の結果から定理3の同型を考えることでわかる。
前者について$a=1$のときは自明で$a\neq1$のとき定理2系より$x'(a)\neq1$なる指標$\x'\in\G$がとれて
$\dis\x'(a)\sum_{\x\in\G}\x(a)=\sum_{\x\in\x'\G}\x(a)=\sum_{\x\in\G}\x(a)$
(群についての一般論から$\x'\G=\G$となることを用いた。)
つまり$\dis(\x'(a)-1)\sum_{\x\in\G}\x(a)=0$となるが$\x'$の取り方から$(\x'(a)-1)\neq0$より主張を得る。
ディリクレ指標の性質
さて前節において示した式はディリクレ指標についても(法$N$に対して$G=(\Z/N\Z)^\times$とおけば)同じことがいえるのでここではディリクレ指標特有の概念についての性質を1つ示そう。
ディリクレ指標$\x$であって$\x(-1)=1$なるものを偶指標、$\x(-1)=-1$なるものを奇指標という。
法$N$の偶なるディリクレ指標全体からなる集合は群をなし、その位数は$\varphi(N)/2$である。
明らかに$\x,\x'$が偶指標ならば$\x\x',\x^{-1}$も偶指標であり、自明な指標も偶指標なので主張の前半はわかる。また定理3系から$\dis\sum_{\x}\x(-1)=0$であったので偶指標と奇指標の個数は一致する。つまりその位数は$|(\Z/N\Z)^\times|=\varphi(N)$の半分となるわけである。
$G=(\Z/N\Z)^\times$の部分群$H$について$-1\in H$のとき$e=1/2$、$-1\not\in H$のとき$e=1$とおくと、任意の$\x'(-1)=-1$でない指標$\x'\in\wh{H}$に対して$\x|_H=\x'$なる偶指標$\x\in\G$が丁度$|G|/2e|H|$個存在する。
$G_{even}$を$G$の偶指標全体、$\wh{H}_{even}$を$-1\in H$のとき$\wh{H}_{even}=\{\x'\in\wh{H}|\x'(-1)=1\}$、$-1\not\in H$のとき$\wh{H}_{even}=\wh{H}$とおく。
また$\cdot\;|_H$を$G$の指標の$H$への制限、$\cdot\;|_H^{(even)}$を$\cdot\;|_H$の定義域を$\G_{even}$としたものとする。
定理2より$\mathrm{Ker}(\;\cdot\;|_H)\simeq\wh{G/H}\quad(\x\leftrightarrow\ol\x)$であって、この核の偶なる元、つまり$\wh{G/H}$の偶なる元を考えると、$-1\in H$のとき$-H=H$より$\wh{G/H}$のすべての元は偶となり、$-1\not\in H$のとき$-H\neq H$より定理3系から命題4と同様にして$\wh{G/H}$の半分の元が偶となる。
$|\mathrm{Ker}(\;\cdot\;|_H^{(even)})|=|\mathrm{Ker}(\;\cdot\;|_H)\cap\G_{even}|=|G/H|/2e$がわかる。
また$-1\in H$のとき定理3系より$\wh{H}$の元の丁度半分は奇となることに注意すると、
準同型定理より$\mathrm{Im}(\;\cdot\;|_H^{(even)})\simeq\G_{even}/\mathrm{Ker}(\;\cdot\;|_H^{(even)})\simeq\wh{H}_{even}$がわかり主張を得る。
$N$と互いに素な整数$a$の$a^f\equiv1\pmod{N}$なる最小の自然数$f$について、$f$が偶数のとき$f/2$を、$f$が奇数のとき$f$を$f'$とおくと
$\dis\prod_{\x:\mathrm{even}}(1-\x(a)x)=(1-x^{f'})^{\varphi(N)/2f'}$が成り立つ。
ただし$\x:\mathrm{even}$は法$N$の偶指標全体を渡るものとする。
いま$f$が偶数のときのみ$a^{\frac{f}{2}}\equiv-1\pmod{N}$と$-1\in\langle a\rangle$となるので$H=\langle a\rangle$とおくと$f'=ef=e|H|$であって、$H_{even}$は$\x'_k(a)=\z_{f'}^k\;(k=0,1,2,\ldots,f'-1)$によって定まる$f'$個の指標$\x'_k$からなっているのであとは定理5より定理2系と同様にしてわかる。
最後に原始指標の定義にだけ触れておく。
法$N$のディリクレ指標$\x$について、$N$の約数$M$を法とするディリクレ指標$\psi$であって$\x=\x_0\psi$を満たすもののうち$M$が最小となる$\psi$を$\x$に付随する原始指標、その法$M$を$\x$の導手(conductor)と言い、法$N$と導手が一致するような$\x$を原始指標という。
"$\x$に付随する原始指標"とは あるテキスト からとった言葉で、正式な言い回しであるかは不明であるが便利な言い回しなので今後も使用していく。
法$N$のディリクレ指標$\x$について以下のことはそれぞれ同値である。
- $\x$は原始指標である。
- 任意の$N$の真の約数$M$に対して$c\equiv1\pmod{M}$で$\x(c)\neq0,1$となる$c$が存在する。
- 任意の$N$の真の約数$M$と任意の整数$a$に対して$\dis\sum^N_{\substack{n=1\\n\equiv a\pmod{M}}}\x(n)=0$が成り立つ。
$1\Rightarrow2$
$\x$が原始指標であれば$m\equiv n\pmod{M}$で$\x(m)\neq\x(n)\neq0$なるものが存在し(そうでないとすると原始指標の定義に矛盾する)、このとき$c\equiv nm^{-1}\pmod{N}$と$c$を取ればよい。$2\Rightarrow3$
主張のような$c$について$c\equiv1\pmod{M}$より、$n$が$n\equiv a\pmod{M}$なる$N$の剰余全体を渡るとき$cn$もそれら全体を渡るので
$\dis\x(c)\sum^N_{\substack{n=1,\,n\equiv a}}\x(n)=\sum^N_{\substack{n=1,\,n\equiv a}}\x(cn)=\sum^N_{\substack{n=1,\,n\equiv a}}\x(n)$となり$\x(c)\neq1$より$3$を得る。$3\Rightarrow1$
$a=1$とすると$\x(1)=1$を打ち消すようにある$c\equiv1\pmod{M}$に$\x(c)\neq0,1$となるので$\x$の導手は$M$ではないことがわかる。