ディリクレ指標の性質

　$\chi \in \widehat{G_1\times G_2}$に対して
$$\begin{array}{rl}\chi (a,b)& =\chi ((a,1)\cdot (1,b))\\ & =\chi (a,1)\chi (1,b)\end{array}$$
が成り立つことに注意すると同型
$$\begin{array}{rl}\widehat{G_1\times G_2}& \simeq {\hat{G}}_1\times {\hat{G}}_2\\ \chi (a,b)& \to (\chi (a,1),\chi (1,b))\\ {\chi }_1(a){\chi }_2(b)& \leftarrow ({\chi }_1(a),{\chi }_2(b))\end{array}$$
が得られる。

　有限アーベル群の基本定理などの一般論により$G$は有限個の巡回群の積として表せるので、定理1よりそのそれぞれの巡回群が対応する指標群に同型であることを言えばよい。
　いま位数$n$の巡回群$G=⟨a⟩$に対し
$${\chi }_a(a)={\zeta }_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$$
によって定まる指標${\chi }_a$を考えると
$$\hat{G}=⟨{\chi }_a⟩\simeq ⟨a⟩=G$$
が成り立つ。
　実際任意の$\chi \in \hat{G}$に対し
$$\chi (a{)}^n=\chi (a^n)=\chi (1)=1$$
となるのである$k$を用いて$\chi (a)={\zeta }_n^k$表せ、このとき$\chi ={\chi }_a^k\in ⟨{\chi }_a⟩$が成り立つので
$$\hat{G}=⟨{\chi }_a⟩$$
を得る。また${\chi }_a$の位数は$n$なので同型$\hat{G}\simeq G$が成り立つことがわかる。

　制限写像
$$\cdot {|}_H:\hat{G}\to \hat{H}\chi \mapsto \chi {|}_H$$
の核$\mathrm{Ker}(\cdot {|}_H)$が$\widehat{G/H}$と同型であることを示せばよい。
　いま任意の$\chi \in \mathrm{Ker}(\cdot {|}_H)$に対し$\mathrm{Ker}\chi \supset H$が成り立つので$\mathrm{Ker}(\cdot {|}_H)$から$\widehat{G/H}$への準同型
$$\chi \mapsto (\bar{\chi }:xH\mapsto \chi (x))$$
を考えることができ、これは逆射
$$\bar{\chi }\mapsto (\chi :x\mapsto \bar{\chi }(xH))$$
を持つので同型$\mathrm{Ker}(\cdot {|}_H)\simeq \widehat{G/H}$を得る。

　$a$の生成する巡回群$⟨a⟩$について$\widehat{⟨a⟩}$は
$${\chi }_k^{\prime }(a)={\zeta }_f^k(k=0,1,2,\dots ,f-1)$$
によって定まる$f$個の指標${\chi }_k^{\prime }$からなっており、定理3より各$k$に対し$\chi (a)={\chi }_k^{\prime }(a)$なる指標$\chi \in \hat{G}$はそれぞれ丁度$|G|/f$個ずつ存在するので
$$\prod _{\chi \in \hat{G}}(1-\chi (a)x)=\prod _{k=0}^{f-1}(1-{\zeta }_f^{k}x{)}^{|G|/f}=(1-x^f{)}^{|G|/f}$$
を得る。

　いま$\hat{a}=1$つまり任意の$\chi \in \hat{G}$に$\chi (a)=1$となるようなものは定理3系より$a=1$以外ではありえない。よって$a\mapsto \hat{a}$は単射である。
　また$G\simeq \hat{G}\simeq \hat{\hat{G}}$より$G$と$\hat{\hat{G}}$の位数は等しいので$a\mapsto \hat{a}$は同型写像となる。

　前者は$a=1$のときは自明であり、$a\ne 1$のとき定理3系より${\chi }^{\prime }(a)\ne 1$なる指標${\chi }^{\prime }\in \hat{G}$が取れて
$${\chi }^{\prime }(a)\sum _{\chi \in \hat{G}}\chi (a)=\sum _{\chi \in {\chi }^{\prime }\hat{G}}\chi (a)=\sum _{\chi \in \hat{G}}\chi (a)$$
つまり
$$({\chi }^{\prime }(a)-1)\sum _{\chi \in \hat{G}}\chi (a)=0$$
が成り立つので$({\chi }^{\prime }(a)-1)\ne 0$より主張を得る。
　後者については前者の結果から定理4の同型を考えることでわかる。

　$c$の素因数$p$に対し、$p\mid a$なら$p\nmid b$より$p\nmid (ak+b)$が成り立ち、$p\nmid a$のとき
$$ak+b(k=0,1,\dots ,p-1)$$
は$p$を法として異なる剰余を持つのである$k$において$p\nmid (ak+b)$が成り立つ。
　したがって中国剰余定理より任意の$p\mid c$に対して$p\nmid (ak+b)$となるような$k$が存在することがわかる。

　$gcd(n,M)=1$なる整数$n$に対し補題6から$gcd(n+kM,N)=1$なる整数$k$を取り、写像$\psi :(\mathbb{Z}/M\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$を
$$\psi (n)=\chi (n+kM)$$
によって定める(仮定よりこれは$k$の取り方に依らない)。このとき$\psi$は法$M$のディリクレ指標となり、また$gcd(n,N)$なる整数$n$に対し
$$\psi (n)=\chi (n)$$
が成り立つので$\chi ={\chi }_0\psi$を得る。
　またある${\psi }^{\prime }$が$\chi ={\chi }_0\psi$を満たすとき
$${\psi }^{\prime }(n)=\chi (n+kM)=\psi (n)$$
が成り立つことがわかるので$\psi$の一意性がわかる。

$1\Rightarrow 2$

　$\chi$が原始指標であれば補題7より$N$と互いに素なある$m,n$に対し$m\equiv n(\mathrm{mod}M)$かつ$\chi (m)\ne \chi (n)$が成り立つ。このとき$c\equiv n{m}^{-1}(\mathrm{mod}N)$なる$c$を取れば主張を得る。

$2\Rightarrow 3$

　主張のような$c$について$c\equiv 1(\mathrm{mod}M)$より、$n$が$n\equiv a(\mathrm{mod}M)$なる$N$の剰余全体を渡るとき$cn$もそれら全体を渡るので
$$\chi (c)\sum _{\begin{array}{c}n=1,n\equiv a\end{array}}^N\chi (n)=\sum _{\begin{array}{c}n=1,n\equiv a\end{array}}^N\chi (cn)=\sum _{\begin{array}{c}n=1,n\equiv a\end{array}}^N\chi (n)$$
となり$\chi (c)\ne 1$より$3$を得る。

$3\Rightarrow 1$

　$a=1$とすると$\chi (1)=1$を打ち消すようにある$c\equiv 1(\mathrm{mod}M)$に対して$\chi (c)\ne 0,1$が成り立つので$\chi$の導手は$M$ではないことがわかる。

　明らかに$\chi ,{\chi }^{\prime }$が偶指標ならば$\chi {\chi }^{\prime },{\chi }^{-1}$も偶指標であり、自明な指標も偶指標なので主張の前半はわかる。また定理5から
$$\sum _{\chi }\chi (-1)=0$$
であったので偶指標と奇指標の個数は一致する。つまりその位数は$|(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }|=\phi (N)$の半分となるわけである。

　$G=(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }$の部分群$H=\{\pm 1\}$を考えると$\chi$が偶指標であることは
$$\chi {|}_H={\chi }_0$$
が成り立つことと言い換えられるので偶指標のなす群は制限写像
$$\cdot {|}_H:\hat{G}\to \hat{H}\chi \mapsto \chi {|}_H$$
の核$\mathrm{Ker}(\cdot {|}_H)\simeq \widehat{G/H}$に等しいことがわかる(cf 定理3)。

　$-1\notin H$のときは$a\in H$に対して${\chi }^{\prime }(-a)={\chi }^{\prime }(a)$と定めることで${\chi }^{\prime }$は$H^{\prime }=H\cup (-H)$についての偶指標であるとしてよい。
　このとき定理3より$\chi {|}_{H^{\prime }}={\chi }^{\prime }$なる$\chi \in \hat{G}$は丁度$|G/H^{\prime }|=\phi (N)/|H^{\prime }|$個存在することがわかる。

　$N=1$のときは明らかなので以下$N\ne 1$とする。
　このとき$H=⟨amodN⟩$および
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }& =\{\begin{array}{ll}f& (-1\notin H)\\ f/2& (-1\in H)\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}f& (2\nmid f\text{または}{a}^{f/2}\not\equiv -1(\mathrm{mod}N))\\ f/2& (2\mid f\text{かつ}\phantom{は}{a}^{f/2}\equiv -1(\mathrm{mod}N))\end{array}\end{array}$$
とおくと${\chi }^{\prime }(-1)=-1$でない$H$の指標は
$${\chi }_k^{\prime }(a)={\zeta }_{f^{\prime }}^k(k=0,1,2,\dots ,f^{\prime }-1)$$
によって定まる$f^{\prime }$個の指標${\chi }_k^{\prime }$によって尽くされることがわかるので定理10より
$$\prod _{\chi :\mathrm{even}}(1-\chi (a)x)=\prod _{k=0}^{f^{\prime }-1}(1-{\zeta }_{f^{\prime }}^{k}x{)}^{\phi (N)/2f^{\prime }}=(1-x^{f^{\prime }}{)}^{\phi (N)/2f^{\prime }}$$
を得る。