円分体と実円分体のデデキントゼータ関数

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はじめに

　この記事では円分体と実円分体におけるDedekind $ζ$ 関数の $L$ 関数を用いた分解公式について解説していきます。
　まずデデキントゼータ関数とは次のように定義される関数のことを言うのでした。

デデキントゼータ関数

　代数体 $K$ に対してデデキントゼータ関数 $ζ_{K} (s)$ を
$ζ_{K} (s) = \sum_{a} \frac{1}{N (a)}$
と定める。ただし $a$ は $K$ の $0$ でないイデアル全体を渡る。
　これは $Re (s) > 1$ で絶対一様収束し、同じく $Re (s) > 1$ で
$ζ_{K} (s) = \prod_{p} \frac{1}{1 - N (p)^{- s}}$
という表示を持つ。ただし $p$ は $K$ の素イデアル全体を渡る。

　デデキントゼータ関数は $K$ が円分体 $Q (ζ)$ と実円分体 $Q (ζ + ζ^{- 1})$ のとき特に以下の表示を持ちます。ただし $ζ$ は $1$ の原始 $n$ 乗根とします。

　 $L (s, χ)$ をディリクレの $L$ 関数とする。このとき
$ζ_{Q (ζ)} (s) = \prod_{χ : prime} L (s, χ), ζ_{Q (ζ + ζ^{- 1})} (s) = \prod_{χ : even} L (s, χ)$
が成り立つ。ただし $χ : prime$ は法 $n$ に付随する原始的ディリクレ指標全体を渡り、 $χ : even$ はそのうちの偶指標全体を渡る。

　ここでいう法 $n$ に付随する原始ディリクレ指標とは導手が $n$ の約数であるような原始指標のことを指すものとします。

円分体の場合

　いま $Re (s) > 1$ で
$L (s, χ) = \prod_{p} \frac{1}{1 - χ (p) p^{- s}}$
とオイラー積表示できるので各素数 $p$ に対し
$\prod_{p | p} \frac{1}{1 - N (p)^{- s}} = \prod_{χ} \frac{1}{1 - χ (p) p^{- s}}$
となることを示せばよい。
　実際 $n = p^{e} n^{'} (p ∤ n^{'})$ と分解し、 $p$ の $(Z / n^{'} Z)^{\times}$ における位数を $f$ とおくとこの両辺は以下のように求められる。

$\prod_{p | p} \frac{1}{1 - N (p)^{- s}} = (1 - p^{- f s})^{- φ (n^{'}) / f}$
が成り立つ。

　この記事の結果から $p$ は $Q (ζ)$ において
$p = \prod_{i = 1}^{φ (n^{'}) / f} p_{i}^{φ (p^{e})} (N (p_{i}) = p^{f})$
と素イデアル分解されるので
$\prod_{p | p} \frac{1}{1 - N (p)^{- s}} = \prod_{i = 1}^{φ (n^{'}) / f} \frac{1}{1 - (p^{f})^{- s}} = (1 - p^{- f s})^{- φ (n^{'}) / f}$
を得る。

$\prod_{χ : prime} \frac{1}{1 - χ (p) p^{- s}} = (1 - p^{- f s})^{- φ (n^{'}) / f}$
が成り立つ。

　簡単のため $x = p^{- s}$ とおくと、この記事の定理3系から $p ∤ n$ において
$\prod_{χ mod n} (1 - χ (p) x) = (1 - x^{f})^{φ (n) / f}$
(ただし $χ$ は法 $n$ のディリクレ指標全体を渡る)
が成り立つのでこれを $χ : prime$ の場合に拡張すればよい。
　いま法 $n$ に付随する導手 $m$ の原始的ディリクレ指標 $χ$ に対し、 $p ∣ m$ つまり $χ (p) = 0$ であるか、 $p ∤ m$ つまりある法 $n^{'}$ ディリクレ指標 $χ^{'}$ が一対一に存在し $χ^{'} = χ_{0} χ$ ( $χ_{0}$ は法 $n^{'}$ の自明な指標)が成り立つので
$\prod_{χ : prime} (1 - χ (p) x) = \prod_{χ mod n^{'}} (1 - χ (p) x) = (1 - x^{f})^{φ (n^{'}) / f}$
を得る。

実円分体の場合

　上と同様に各素数 $p$ に対し
$\prod_{p | p} \frac{1}{1 - N (p)^{- s}} = \prod_{χ} \frac{1}{1 - χ (p) p^{- s}}$
が成り立つことを確かめればよい。

$\prod_{p | p} \frac{1}{1 - N (p)^{- s}} = {\begin{cases} (1 - p^{- s}) & (n^{'} = 1) \\ (1 - p^{- f s})^{φ (n^{'}) / 2 f} & (2 ∤ f または a^{f / 2} ≢ - 1 (\mod n^{'})) \\ (1 - p^{- \frac{f}{2} s})^{φ (n^{'}) / f} & (2 ∣ f かつ a^{f / 2} \equiv - 1 (\mod n^{'})) \end{cases}$
が成り立つ。

　この記事の結果からわかる。

$\prod_{χ : even} \frac{1}{1 - χ (p) p^{- s}} = {\begin{cases} (1 - p^{- s}) & (n^{'} = 1) \\ (1 - p^{- f s})^{φ (n^{'}) / 2 f} & (2 ∤ f または a^{f / 2} ≢ - 1 (\mod n^{'})) \\ (1 - p^{- \frac{f}{2} s})^{φ (n^{'}) / f} & (2 ∣ f かつ a^{f / 2} \equiv - 1 (\mod n^{'})) \end{cases}$
が成り立つ。

　上と同様に $χ (p) \neq 0$ なる $χ : prime$ と $χ^{'} mod n^{'}$ が一対一に対応することとこの記事の定理10系からわかる。

余談

　一般のアーベル拡大 $K / Q$ のデデキントゼータ関数については以下のように $L$ 関数の積に分解できるらしい。

　まずクロネッカー・ウェーバーの定理より $K \subseteq Q (ζ_{n})$ なる $n$ が存在し、そのような $n$ に対し $G_{n} = Gal (Q (ζ_{n}) / Q), G_{n}^{K} = Gal (Q (ζ_{n}) / K), G_{K} = Gal (K / Q)$
とおく。また
$G_{K} = G_{n} / G_{n}^{K}$
とみなしてこの記事の定理3により $G_{K}$ の指標を $G_{n} = (Z / n Z)^{\times}$ の指標に拡張し、またそれを付随する原始的ディリクレ指標に拡張したもの全体を $X$ とおく。このとき
$ζ_{K} (s) = \prod_{χ \in X} L (s, χ)$
が成り立つ。

　なお $G_{n}^{K}$ を $(Z / n Z)^{\times}$ の部分群とみなしたとき
$X = {χ : 法 n に付随する原始的ディリクレ指標 ∣ \forall x \in G_{n}^{K}, χ (x) = 1}$
と表せることに注意する。
　例えば今回の場合 $K = Q (ζ + ζ^{- 1})$ のとき
$G_{K} = {1 : 恒等写像, \overset{―}{\cdot} : 複素共役写像}$
と位数 $2$ の巡回群となるので、 $G_{K} = {1 + n Z, - 1 + n Z}$ とみなせ、したがって
$X = {χ : prime ∣ χ (- 1) = 1} = {χ : even}$
となり
$ζ_{Q (ζ + ζ^{- 1})} (s) = \prod_{χ : even} L (s, χ)$
が成り立つ。といった具合である。