この記事では円分体と実円分体におけるDedekind$\zeta$関数の$L$関数を用いた分解公式について解説していきます。
まずデデキントゼータ関数の定義を確認しておきます。
代数体$K$に対してデデキントゼータ関数$\z_K(s)$を
$$\z_K(s)=\sum_{\mf{a}}\frac{1}{N(\mf{a})}$$
と定める。ただし$\mf{a}$は$K$の全てのイデアルを渡る。
これは$\Re(s)>1$で絶対一様収束し、同じく$\Re(s)>1$で
$$\z_K(s)=\prod_{\p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}$$
という表示を持つ。ただし$\p$は$K$の全ての素イデアルを渡る。
デデキントゼータ関数は$K$が円分体$\Q(\z)$と実円分体$\Q(\z+\z^{-1})$のとき特に以下の表示を持ちます。ただし$\z$は$1$の原始$n$乗根とします。
$L(s,\x)$をディリクレの$L$関数とする。このとき
$$\z_{\Q(\z)}(s)=\prod_{\x:\mathrm{prime}}L(s,\x),\quad\z_{\Q(\z+\z^{-1})}(s)=\prod_{\x:\rm{even}}L(s,\x)$$
が成り立つ。ただし$\x:\rm{prime}$は法$n$に付随する原始的ディリクレ指標全体を渡り、$\x:\rm{even}$はそのようなもののうち偶指標であるもの全体を渡る。
ここでいう法$n$に付随する原始ディリクレ指標とは導手が$n$の約数であるような原始指標のことを指すものとします。
いま$\Re(s)>1$で
$$L(s,\x)=\prod_{p}\frac{1}{1-\x(p)p^{-s}}$$
とオイラー積表示できるので各素数$p$に対し
$$\prod_{\p|p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}=\prod_{\x}\frac{1}{1-\x(p)p^{-s}}$$
となることを示せばよい。
以下簡単のため$K=\Q(\z),\;\K=\Q(\z+\z^{-1})$とおく。
具体的には以下のの値になることを示す。
素数$p$に対して$n=p^en'\;(e\geq0,p\nmid n')$とおき、$p$の$\ZZt{n'}$における位数を$f$とする。
$$f'=\left\{\begin{array}{ll}
f/2&f\ \mbox{が偶数のとき}\\
f&f\ \mbox{が奇数のとき}
\end{array}\right.$$
とおくと、$K$において
$$\prod_{\p|p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}=\prod_{\x:\prime}\frac{1}{1-\x(p)p^{-s}}=(1-p^{-fs})^{-\varphi(n')/f}$$
が、また$\K$において
$$\prod_{\p|p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}=\prod_{\x:\even}\frac{1}{1-\x(p)p^{-s}}=(1-p^{-f's})^{-\varphi(n')/2f'}$$
が成り立つ。
この記事 より
$(p)$は$K,\K$においてそれぞれ
\begin{align}
(p)&=\prod^{\varphi(n')/f}_{i=1}\p_i^{\varphi(p^e)}&&(N(\p_i)=p^{f})\\
(p)&=\prod^{\varphi(n')/2f'}_{i=1}\p_i^{\varphi(p^e)}&&(N(\p_i)=p^{f'})
\end{align}
と分解される。
が成り立っていたことから$K,\K$においてそれぞれ
\begin{align}
\prod_{\p|p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}
&=\prod^{\varphi(n')/f}_{i=1}\frac1{1-p^{-fs}}
=(1-p^{-fs})^{-\varphi(n')/f}\\
\prod_{\p|p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}
&=\prod^{\varphi(n')/2f'}_{i=1}\frac1{1-p^{-f's}}
=(1-p^{-f's})^{-\varphi(n')/2f'}
\end{align}
と計算できる。
この記事 の定理3 系,10 系から
$p\nmid n$ならば
\begin{align}
\prod_{\x\!\!\!\mod{\!\!n}}(1-\x(p)x)&=(1-x^{f})^{\varphi(n)/f}\\
\prod_{\substack{\x\!\!\!\mod{\!\!n}\\\x:\even}\,}(1-\x(p)x)&=(1-x^{f'})^{\varphi(n)/2f'}
\end{align}
が成り立つ。ただし$\x\;(\resp.\x:\even)$は法$n$のディリクレ指標($\resp.$偶指標)全体を渡る。
であったのでこれを$\x:\prime$の場合に拡張すればよい。
いま法$n$に付随する導手$m$の原始的ディリクレ指標$\x$に対し、$p\mid m$であれば$\x(p)=0$であり、また$p\nmid m$なる$\x$と法$n'$のディリクレ指標$\x'$との対応$\x'=\x_0\x$($\x_0$は法$n'$の自明な指標)は一対一であるので
\begin{align}
\prod_{\x:\prime}(1-\x(p)x)
&=\prod_{\x\!\!\!\mod{\!\!n'}}(1-\x(p)x)
=(1-x^{f})^{\varphi(n')/f}\\
\prod_{\x:\even}(1-\x(p)x)
&=\prod_{\substack{\x\!\!\!\mod{\!\!n'}\\\x:\even}\,}(1-\x(p)x)
=(1-x^{f})^{\varphi(n')/2f'}
\end{align}
を得る。
以上より公式1および定理1を得る。
一般のアーベル拡大$K/\Q$のデデキントゼータ関数については以下のように$L$関数の積に分解できるらしい。
まずクロネッカー・ウェーバーの定理から$K\subset\Q(\z_n)$なる$n$があってそのような$n$に$$G_n=\Gal(\Q(\z_n)/\Q),\quad G^K_n=\Gal(\Q(\z_n)/K),\quad G_K=\Gal(K/\Q)$$
とおく。また
$$G_K=G_n/G_n^K$$
とみなして
この記事
の定理3により$G_K$の指標を$G_n=(\Z/n\Z)^\times$の指標に拡張し、またそれを付随する原始的ディリクレ指標に拡張したもの全体を$X$とおく。このとき
$$\z_K(s)=\prod_{\x\in X}L(s,\x)$$
が成り立つ。
なお$G^K_n$を$\ZZt{n}$の部分群とみなしたとき
$$X=\{\x:\mbox{法}\ n\ \mbox{に付随する原始的ディリクレ指標}\mid\forall x\in G^K_n,\x(x)=1\}$$
と表せることに注意する。
例えば今回の場合$K=\Q(\z+\z^{-1})$のとき
$$G_K=\{1:\mbox{恒等写像},\ \ol\cdot:\mbox{複素共役写像}\}$$
と位数$2$の巡回群となるので、$G_K=\{1+n\Z,-1+n\Z\}$とみなせ、したがって
$$X=\{\x:\prime\mid\x(-1)=1\}=\{\x:\even\}$$
となり
$$\z_{\Q(\z+\z^{-1})}(s)=\prod_{\x:\even}L(s,\x)$$
が成り立つ。といった具合である。
詳しくは以下を参照されたい。
・出典:
CYCLOTOMIC FIELDS - CARL ERICKSON
(Proposition 23)