円分体と実円分体のデデキントゼータ関数
はじめに
この記事では円分体と実円分体におけるDedekind$\zeta$関数の$L$関数を用いた公式について解説します。
まずデデキントゼータ関数の定義を確認しておきます.
代数体$K$に対してデデキントゼータ関数$\z_K(s)$を
$\dis\z_K(s)=\sum_{\mf{a}}\frac{1}{N(\mf{a})}$
と定める。ただし$\mf{a}$は$K$の全てのイデアルを渡る。
これは$\Re(s)>1$で絶対一様収束し、同じく
$\dis\z_K(s)=\prod_{\p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}$
という表示を持つ。ただし$\p$は$K$の全ての素イデアルを渡る。
デデキントゼータ関数は$K$が円分体$\Q(\z)$と$\Q(\z+\z^{-1})$のとき特に以下の表示を持ちます。ただし$\z$は$1$の原始$n$乗根とします。
$\dis\z_{\Q(\z)}(s)=\prod_{\x:\mathrm{prime}}L(s,\x),\quad\z_{\Q(\z+\z^{-1})}(s)=\prod_{\x:\rm{even}}L(s,\x)$
が成り立つ。ただし$\x:\rm{prime}$は法$n$に付随する原始的ディリクレ指標全体を渡り、$\x:\rm{even}$はそのようなもののうち偶指標であるもの全体を渡る。
ここでいう法$n$に付随する原始ディリクレ指標とは導手が$n$の約数であるような原始指標のことを指すものとします。
証明
いま$\Re(s)>1$で
$\dis\z_K(s)=\prod_{\p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}},\; L(s,\x)=\prod_{p}\frac{1}{1-\x(p)p^{-s}}$
であったので
$\dis\prod_{\p|p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}=\prod_{\x}\frac{1}{1-\x(p)p^{-s}}$
を示せばよい。
以下簡単のため$K=\Q(\z),\;\K=\Q(\z+\z^{-1})$とおく。
具体的には以下のの値になることを示す。
素数$p$に対して$n=p^en'\;(e\geq0,p\nmid n')$とおき、$p$の$\ZZt{n'}$における位数を$f$とする。このとき$f'$を$f$が偶数のとき$f'=f/2$、$f$が奇数のとき$f'=f$と定めると
$K$において$\dis\prod_{\p|p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}=\prod_{\x:\prime}\frac{1}{1-\x(p)p^{-s}}=(1-p^{-fs})^{-\varphi(n')/f}$
$\K$において$\dis\prod_{\p|p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}=\prod_{\x:\even}\frac{1}{1-\x(p)p^{-s}}=(1-p^{-f's})^{-\varphi(n')/2f'}$
が成り立つ。
$\prod_{\p|p}(1-N(\p)^{-s})^{-1}$の計算
この記事 より
$(p)$は$K,\K$においてそれぞれ
$\dis(p)=\prod^{\varphi(n')/f}_{i=1}\p_i^{\varphi(p^e)}\quad(N(\p_i)=p^{f}),\quad(p)=\prod^{\varphi(n')/2f'}_{i=1}\p_i^{\varphi(p^e)}\quad(N(\p_i)=p^{f'})$
と分解される。
が成り立っていたことからわかる。
$\prod_{\x}(1-\x(p)p^{-s})^{-1}$の計算
この記事 の定理2系,5系から
$p\nmid n$ならば
$\prod_{\x}(1-\x(p)x)=(1-x^{f})^{\varphi(n)/f},\quad\prod_{\x:\even}(1-\x(p)x)=(1-x^{f'})^{\varphi(n)/2f'}$
が成り立つ。ただし$\x\;(\resp.\x:\even)$は法$n$のディリクレ指標($\resp.$偶指標)全体を渡る。
であったのでこれが原始指標について落とし込めばよい。
いまディリクレ指標$\x$の導手が$p$で割り切れれば$\x(p)=0$であり、逆に$p$で割り切れなければそれに付随する原始指標$\x'$について$\x'(m)=\x''(m)\;(\forall m\;(m,n')=1)$なる法$n'$のディリクレ指標$\x''$が一対一に存在することに注意すると
$\prod_{\x:\prime}(1-\x(p)x)=\prod_{\x\!\!\!\!\mod{\!\!n'}\,}(1-\x(p)x)=(1-x^{f})^{\varphi(n')/f}$
$\prod_{\x:\even}(1-\x(p)x)=\prod_{\substack{\x\!\!\!\!\mod{\!\!n'}\\\x:\even}\,}(1-\x(p)x)=(1-x^{f'})^{\varphi(n')/2f'}$
を得る。
以上より公式1および定理1を得る。
余談
一般のアーベル拡大$K/\Q$のデデキントゼータ関数については以下のように$L$関数の積に分解できるらしい。
まずクロネッカー・ウェーバーの定理から$K\subset\Q(\z_n)$なる$n$があってそのような$n$に$G=\Gal(\Q(\z_n)/\Q),\;G_K=\{\s\in G_n|\forall x\in K,\s(x)=x\}$とおく。いま$G_n\simeq\ZZt{n}$であるので$G_K$を$\ZZt{n}$の部分群とみなしたうえで$X=\{\x:法nに付随する原始的ディリクレ指標|\forall x\in G_K,\x(x)=1\}$とする。このとき
$\dis\z_K(s)=\prod_{\x\in X}L(s,\x)$
が成り立つ。
例えば今回の場合$K=\Q(\z+\z^{-1})$のとき$G_K=\{1:恒等写像,\ol\cdot:複素共役写像\}$と位数$2$の巡回群となるので、$G_K=\{1+n\Z,-1+n\Z\}$とみなせ、したがって$X=\{\x:\prime|\x(-1)=1\}=\{\x:\even\}$となり
$\dis\z_{\Q(\z+\z^{-1})}(s)=\prod_{\x:\even}L(s,\x)$
が成り立つ。といった具合である。
若干翻訳が怪しいので詳しくは以下を見られよ。
出典:
CYCLOTOMIC FIELDS - CARL ERICKSON
(Proposition 23)