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円分体と実円分体のデデキントゼータ関数

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{ep}[0]{\epsilon} \newcommand{eq}[0]{\equiv} \newcommand{even}[0]{\mathrm{even}} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\widehat{G}} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\mathrm{Gal}} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{Im}[0]{\mathrm{Im}} \newcommand{K}[0]{{K^+}} \newcommand{Ker}[0]{\mathrm{Ker}} \newcommand{lra}[0]{\leftrightarrow} \newcommand{ls}[2]{\Big(\frac{#1}{#2}\Big)} \newcommand{m}[1]{\pmod{#1}} \newcommand{mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{mr}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{N}[0]{\mathrm{N}_{k/\mathbb{Q}}} \newcommand{ndiv}[0]{\nmid} \newcommand{O}[0]{\mathcal{O}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{prime}[0]{\mathrm{prime}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\rho} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\mathrm{Re}} \newcommand{resp}[0]{\mathrm{resp}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{t}[0]{\tau} \newcommand{th}[0]{\theta} \newcommand{ti}[0]{{}^\times} \newcommand{Tr}[0]{\mathrm{Tr}_{k/\mathbb{Q}}} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{wh}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{x}[0]{\chi} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

この記事では円分体と実円分体におけるDedekind$\zeta$関数の$L$関数を用いた公式について解説します。

まずデデキントゼータ関数の定義を確認しておきます.

デデキントゼータ関数

代数体$K$に対してデデキントゼータ関数$\z_K(s)$
$\dis\z_K(s)=\sum_{\mf{a}}\frac{1}{N(\mf{a})}$
と定める。ただし$\mf{a}$$K$の全てのイデアルを渡る。
これは$\Re(s)>1$で絶対一様収束し、同じく
$\dis\z_K(s)=\prod_{\p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}$
という表示を持つ。ただし$\p$$K$の全ての素イデアルを渡る。

デデキントゼータ関数は$K$が円分体$\Q(\z)$$\Q(\z+\z^{-1})$のとき特に以下の表示を持ちます。ただし$\z$$1$の原始$n$乗根とします。

$\dis\z_{\Q(\z)}(s)=\prod_{\x:\mathrm{prime}}L(s,\x),\quad\z_{\Q(\z+\z^{-1})}(s)=\prod_{\x:\rm{even}}L(s,\x)$
が成り立つ。ただし$\x:\rm{prime}$は法$n$に付随する原始的ディリクレ指標全体を渡り、$\x:\rm{even}$はそのようなもののうち偶指標であるもの全体を渡る。

ここでいう法$n$に付随する原始ディリクレ指標とは導手が$n$の約数であるような原始指標のことを指すものとします。

証明

いま$\Re(s)>1$
$\dis\z_K(s)=\prod_{\p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}},\; L(s,\x)=\prod_{p}\frac{1}{1-\x(p)p^{-s}}$
であったので
$\dis\prod_{\p|p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}=\prod_{\x}\frac{1}{1-\x(p)p^{-s}}$
を示せばよい。

以下簡単のため$K=\Q(\z),\;\K=\Q(\z+\z^{-1})$とおく。
具体的には以下のの値になることを示す。

素数$p$に対して$n=p^en'\;(e\geq0,p\nmid n')$とおき、$p$$\ZZt{n'}$における位数を$f$とする。このとき$f'$$f$が偶数のとき$f'=f/2$$f$が奇数のとき$f'=f$と定めると

$K$において$\dis\prod_{\p|p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}=\prod_{\x:\prime}\frac{1}{1-\x(p)p^{-s}}=(1-p^{-fs})^{-\varphi(n')/f}$

$\K$において$\dis\prod_{\p|p}\frac{1}{1-N(\p)^{-s}}=\prod_{\x:\even}\frac{1}{1-\x(p)p^{-s}}=(1-p^{-f's})^{-\varphi(n')/2f'}$
が成り立つ。

$\prod_{\p|p}(1-N(\p)^{-s})^{-1}$の計算

この記事 より

$(p)$$K,\K$においてそれぞれ
$\dis(p)=\prod^{\varphi(n')/f}_{i=1}\p_i^{\varphi(p^e)}\quad(N(\p_i)=p^{f}),\quad(p)=\prod^{\varphi(n')/2f'}_{i=1}\p_i^{\varphi(p^e)}\quad(N(\p_i)=p^{f'})$
と分解される。

が成り立っていたことからわかる。

$\prod_{\x}(1-\x(p)p^{-s})^{-1}$の計算

この記事 の定理2系,5系から

$p\nmid n$ならば
$\prod_{\x}(1-\x(p)x)=(1-x^{f})^{\varphi(n)/f},\quad\prod_{\x:\even}(1-\x(p)x)=(1-x^{f'})^{\varphi(n)/2f'}$
が成り立つ。ただし$\x\;(\resp.\x:\even)$は法$n$のディリクレ指標($\resp.$偶指標)全体を渡る。

であったのでこれが原始指標について落とし込めばよい。
いまディリクレ指標$\x$の導手が$p$で割り切れれば$\x(p)=0$であり、逆に$p$で割り切れなければそれに付随する原始指標$\x'$について$\x'(m)=\x''(m)\;(\forall m\;(m,n')=1)$なる法$n'$のディリクレ指標$\x''$が一対一に存在することに注意すると
$\prod_{\x:\prime}(1-\x(p)x)=\prod_{\x\!\!\!\!\mod{\!\!n'}\,}(1-\x(p)x)=(1-x^{f})^{\varphi(n')/f}$
$\prod_{\x:\even}(1-\x(p)x)=\prod_{\substack{\x\!\!\!\!\mod{\!\!n'}\\\x:\even}\,}(1-\x(p)x)=(1-x^{f'})^{\varphi(n')/2f'}$
を得る。

以上より公式1および定理1を得る。

余談

一般のアーベル拡大$K/\Q$のデデキントゼータ関数については以下のように$L$関数の積に分解できるらしい。
まずクロネッカー・ウェーバーの定理から$K\subset\Q(\z_n)$なる$n$があってそのような$n$$G=\Gal(\Q(\z_n)/\Q),\;G_K=\{\s\in G_n|\forall x\in K,\s(x)=x\}$とおく。いま$G_n\simeq\ZZt{n}$であるので$G_K$$\ZZt{n}$の部分群とみなしたうえで$X=\{\x:法nに付随する原始的ディリクレ指標|\forall x\in G_K,\x(x)=1\}$とする。このとき
$\dis\z_K(s)=\prod_{\x\in X}L(s,\x)$
が成り立つ。

例えば今回の場合$K=\Q(\z+\z^{-1})$のとき$G_K=\{1:恒等写像,\ol\cdot:複素共役写像\}$と位数$2$の巡回群となるので、$G_K=\{1+n\Z,-1+n\Z\}$とみなせ、したがって$X=\{\x:\prime|\x(-1)=1\}=\{\x:\even\}$となり
$\dis\z_{\Q(\z+\z^{-1})}(s)=\prod_{\x:\even}L(s,\x)$
が成り立つ。といった具合である。

若干翻訳が怪しいので詳しくは以下を見られよ。
出典: CYCLOTOMIC FIELDS - CARL ERICKSON (Proposition 23)

投稿日:20201215

投稿者

主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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