円分体と実円分体のデデキントゼータ関数

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はじめに

　この記事では円分体と実円分体におけるDedekind$\zeta$関数の$L$関数を用いた分解公式について解説していきます。
　まずデデキントゼータ関数とは次のように定義される関数のことを言うのでした。

デデキントゼータ関数

　代数体$K$に対してデデキントゼータ関数$\z_K(s)$を
$$\z_K(s)=\sum_{\mf{a}}\frac1{N(\mf{a})}$$
と定める。ただし$\mf{a}$は$K$の$0$でないイデアル全体を渡る。
　これは$\Re(s)>1$で絶対一様収束し、同じく$\Re(s)>1$で
$$\z_K(s)=\prod_{\p}\frac1{1-N(\p)^{-s}}$$
という表示を持つ。ただし$\p$は$K$の素イデアル全体を渡る。

　デデキントゼータ関数は$K$が円分体$\Q(\z)$と実円分体$\Q(\z+\z^{-1})$のとき特に以下の表示を持ちます。ただし$\z$は$1$の原始$n$乗根とします。

　$L(s,\x)$をディリクレの$L$関数とする。このとき
$$\z_{\Q(\z)}(s)=\prod_{\x:\prime}L(s,\x),\quad\z_{\Q(\z+\z^{-1})}(s)=\prod_{\x:\even}L(s,\x)$$
が成り立つ。ただし$\x:\prime$は法$n$に付随する原始的ディリクレ指標全体を渡り、$\x:\even$はそのうちの偶指標全体を渡る。

　ここでいう法$n$に付随する原始ディリクレ指標とは導手が$n$の約数であるような原始指標のことを指すものとします。

円分体の場合

　いま$\Re(s)>1$で
$$L(s,\x)=\prod_{p}\frac1{1-\x(p)p^{-s}}$$
とオイラー積表示できるので各素数$p$に対し
$$\prod_{\p|p}\frac1{1-N(\p)^{-s}}=\prod_{\x}\frac1{1-\x(p)p^{-s}}$$
となることを示せばよい。
　実際$n=p^en'\ (p\nmid n')$と分解し、$p$の$\ZZt{n'}$における位数を$f$とおくとこの両辺は以下のように求められる。

$$\prod_{\p|p}\frac1{1-N(\p)^{-s}}=(1-p^{-fs})^{-\varphi(n')/f}$$
が成り立つ。

　この記事の結果から$p$は$\Q(\z)$において
$$p=\prod^{\vp(n')/f}_{i=1}\p_i^{\vp(p^e)}\qquad(N(\p_i)=p^f)$$
と素イデアル分解されるので
$$\prod_{\p|p}\frac1{1-N(\p)^{-s}} =\prod^{\varphi(n')/f}_{i=1}\frac1{1-(p^f)^{-s}} =(1-p^{-fs})^{-\varphi(n')/f}$$
を得る。

$$\prod_{\x:\prime}\frac1{1-\x(p)p^{-s}}=(1-p^{-fs})^{-\varphi(n')/f}$$
が成り立つ。

　簡単のため$x=p^{-s}$とおくと、この記事の定理3系から$p\nmid n$において
$$\prod_{\x\ \bmod\ n}(1-\x(p)x)=(1-x^{f})^{\varphi(n)/f}$$
(ただし$\x$は法$n$のディリクレ指標全体を渡る)
が成り立つのでこれを$\x:\prime$の場合に拡張すればよい。
　いま法$n$に付随する導手$m$の原始的ディリクレ指標$\x$に対し、$p\mid m$つまり$\x(p)=0$であるか、$p\nmid m$つまりある法$n'$ディリクレ指標$\x'$が一対一に存在し$\x'=\x_0\x$($\x_0$は法$n'$の自明な指標)が成り立つので
$$\prod_{\x:\prime}(1-\x(p)x) =\prod_{\x\ \bmod\ n'}(1-\x(p)x) =(1-x^{f})^{\varphi(n')/f}$$
を得る。

実円分体の場合

　上と同様に各素数$p$に対し
$$\prod_{\p|p}\frac1{1-N(\p)^{-s}}=\prod_{\x}\frac1{1-\x(p)p^{-s}}$$
が成り立つことを確かめればよい。

$$\prod_{\p|p}\frac1{1-N(\p)^{-s}}=\l\{\begin{array}{ll} (1-p^{-s})&(n'=1)\\ (1-p^{-fs})^{\varphi(n')/2f} &(2\nmid f\quad\mbox{または}\quad a^{f/2}\not\equiv-1\pmod{n'})\\ (1-p^{-\frac f2s})^{\varphi(n')/f} &(2\mid f\quad\mbox{かつ}\phantom{は}\quad a^{f/2}\equiv-1\pmod{n'}) \end{array}\r.$$
が成り立つ。

　この記事の結果からわかる。

$$\prod_{\x:\even}\frac1{1-\x(p)p^{-s}}=\l\{\begin{array}{ll} (1-p^{-s})&(n'=1)\\ (1-p^{-fs})^{\varphi(n')/2f} &(2\nmid f\quad\mbox{または}\quad a^{f/2}\not\equiv-1\pmod{n'})\\ (1-p^{-\frac f2s})^{\varphi(n')/f} &(2\mid f\quad\mbox{かつ}\phantom{は}\quad a^{f/2}\equiv-1\pmod{n'}) \end{array}\r.$$
が成り立つ。

　上と同様に$\x(p)\neq0$なる$\x:\prime$と$\x'\bmod{n'}$が一対一に対応することとこの記事の定理10系からわかる。

余談

　一般のアーベル拡大$K/\Q$のデデキントゼータ関数については以下のように$L$関数の積に分解できるらしい。

　まずクロネッカー・ウェーバーの定理より$K\subseteq\Q(\z_n)$なる$n$が存在し、そのような$n$に対し$$G_n=\Gal(\Q(\z_n)/\Q),\quad G^K_n=\Gal(\Q(\z_n)/K),\quad G_K=\Gal(K/\Q)$$
とおく。また
$$G_K=G_n/G_n^K$$
とみなしてこの記事の定理3により$G_K$の指標を$G_n=(\Z/n\Z)^\times$の指標に拡張し、またそれを付随する原始的ディリクレ指標に拡張したもの全体を$X$とおく。このとき
$$\z_K(s)=\prod_{\x\in X}L(s,\x)$$
が成り立つ。

　なお$G^K_n$を$\ZZt{n}$の部分群とみなしたとき
$$X=\{\x:\mbox{法}\ n\ \mbox{に付随する原始的ディリクレ指標}\mid\forall x\in G^K_n,\x(x)=1\}$$
と表せることに注意する。
　例えば今回の場合$K=\Q(\z+\z^{-1})$のとき
$$G_K=\{1:\mbox{恒等写像},\ \ol\cdot:\mbox{複素共役写像}\}$$
と位数$2$の巡回群となるので、$G_K=\{1+n\Z,-1+n\Z\}$とみなせ、したがって
$$X=\{\x:\prime\mid\x(-1)=1\}=\{\x:\even\}$$
となり
$$\z_{\Q(\z+\z^{-1})}(s)=\prod_{\x:\even}L(s,\x)$$
が成り立つ。といった具合である。