ディリクレのL関数の特殊値と関数等式
はじめに
この記事ではDirichletの$L$関数の特殊値と関数等式の導出について解説していきます。なお級数や積分の収束性や可換性については詳しくは触れませんので悪しからず。
まずディリクレの$L$関数の定義を確認しておきます。
複素数$s$とディリクレ指標$\x$に対してディリクレの$L$関数$L(s,\x)$を
$\dis L(s,\x)=\sum^\infty_{n=1}\frac{\x(n)}{n^s}$と定義する。
これは$\Re(s)>1$で絶対一様収束し、$\x$が非自明な指標のときは$\Re(s)>0$で収束する。
また$\Re(s)>1$においては
$\dis L(s,\x)=\prod_{p:\mr{prime}}\farc{1}{1-\x(p)p^{-s}}$というオイラー積表示を持つ。
$\x$が法$1$のディリクレ指標であるときは$L(s,\x)=\z(s)$となるので$L$関数は$\z$関数の一般化の一つと考えられます。
そして$L$関数は複素数平面全域に解析接続され以下の関数等式を満たします。
法$N$の原始的ディリクレ指標$\x$に対して$\dis\e_\x=\frac{1-\x(-1)}{2}=\left\{\begin{array}{cl}0&\xが偶指標のとき\\1&\xが奇指標のとき\end{array}\right.\quad\quad$とし$\hat{L}(s,\x)=(N\pi^{-1})^{\frac{s+\ex}{2}}\Gamma(\frac{s+\e_\x}{2})L(s,\x)$とおくと
$\dis\hat{L}(s,\x)=\frac{\t(\x)}{i^{\e_\x}\sqrt{N}}\hat{L}(1-s,\ol\x)$が成り立つ。ただし$\t(\x)$は$\x$のガウス和である。
また$L$関数は整数点における特殊値として以下の公式が成り立ちます。
法$N$のディリクレ指標$\x$に対して一般化ベルヌーイ数$B_{n,\x}$を母関数$\dis F_{\x}(t)=\sum^N_{a=1}\farc{\x(a)te^{at}}{e^{Nt}-1}=\sum^\infty_{n=0}\frac{B_{n,\x}}{n!}t^n$で定める。
このとき正整数$n$に対して$\dis L(1-n,\x)=-\frac{1}{n}B_{n,\x}$が成り立つ。
原始的ディリクレ指標の正整数点$s=n$における特殊値$L(n,\x)$については前述の関数等式から以下のようになることがわかります。
$2m+\ex>0$なる整数$m$に対し$\dis L(2m+\e_\x,\x)=(-1)^{m+1}\frac{\t(\x)}{2i^\ex}\left(\frac{2\pi}{N}\right)^{2m+\ex}\frac{B_{2m+\ex,\x}}{(2m+\ex)!}$が成り立つ。
さらに偶指標については別途$s=1$において以下の特殊値を持つことが示されます。
$\x$が導手$N$の偶なる原始的ディリクレ指標であるとき、
$\dis L(1,\x)=-\frac{\t(\x)}{N}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\log|1-\z_N^{a}|$
が成り立つ。ただし$\z_N=e^{\frac{2\pi i}{N}}$とした。
特殊値
公式1の導出
$L$関数の特殊値の公式の示すのにまずHurwitz$\z$関数を定義する。
複素数$s$と正の実数$x$に対してフルヴィッツ$\zeta$関数$\z(s,x)$を
$\dis\zeta(s,x)=\sum^\infty_{n=0}\frac{1}{(n+x)^s}$と定める。
このとき$L$関数はフルヴィッツ$\z$関数を用いて次のように表せれる。
$\dis L(s,\x)=\sum^N_{a=1}\x(a)\frac{\z(s,\frac{a}{N})}{N^s}$
ディリクレ指標の定義から$m\equiv n\pmod{N}$ならば$\x(m)=\x(n)$なので
$\dis L(s,\x)=\sum^N_{a=1}\x(a)\sum^\infty_{m=1}\frac{1}{(Nm+a)^s}$となることに注意するとわかる。
よって$L$関数の特殊値を求めるにはフルヴィッツ$\z$関数の特殊値を考えればよいことがわかる。
いまフルヴィッツ$\z$関数の特殊値は以下のようになる。
ベルヌーイ多項式$B_n(x)$を母関数$\dis F(t,x)=\frac{te^{tx}}{e^t-1}=\sum^\infty_{n=0}\frac{B_n(x)}{n!}t^n$で定める。
このとき$\dis \z(1-n,x)=-\frac{1}{n}B_n(x)$が成り立つ。
変数変換$t=(n+x)u$によって
\begin{eqnarray}
\Gamma(s)\z(s,x)
&=&\sum^\infty_{n=0}\frac{1}{(n+x)^s}\int^\infty_0t^{s-1}e^{-t}dt
\\&=&\int^\infty_0u^{s-1}\sum^\infty_{n=0}e^{-(n+x)u}du
\\&=&\int^\infty_0\frac{u^{s-1}e^{-xu}}{1-e^{-t}}dt
\end{eqnarray}
と表せれ、$\Re(s)<1$において
$\dis\left|\int^\infty_1\frac{u^{s-1}e^{-xu}}{1-e^{-t}}dt\right|
=\int^\infty_1\frac{u^{\Re(s)-1}e^{-xu}}{1-e^{-t}}dt
\leq\int^\infty_0\frac{u^{(1+\e)-1}e^{-xu}}{1-e^{-u}}dt=\z(1+\e,x)<+\infty$
および
$\dis\int^1_0\frac{u^{s-1}e^{-xu}}{1-e^{-t}}dt=\int^1_0\sum^\infty_{n=0}\frac{B_n(x)}{n!}(-1)^nu^{n+s-2}du=\sum^\infty_{n=0}\frac{B_n(x)}{n!}\cdot\frac{(-1)^n}{n+s-1}$
は$s=1-n\;(n=0,1,2,\ldots)$に留数$\dis(-1)^n\frac{B_n(x)}{n!}$の一位の極を持つのを除いて収束することから$\Gamma(s)\z(s,x)$は$\Re(s)<1$にも解析接続でき、 また$\Gamma(s)$も$s=1-n\;(n=1,2,\ldots)$に留数$\dis(-1)^{n-1}\farc{1}{n!}$の一位の極を持つことから主張を得る。
いま
$\dis\sum^N_{a=1}\x(a)F(Nt,\frac{a}{N})=\sum^\infty_{n=0}\frac{t^n}{n!}\cdot N^n\sum^N_{a=1}\x(a)B_n(\frac{a}{N})=\sum^N_{a=1}\frac{\x(a)Nte^{at}}{e^{Nt}-1}=NF_\x(t)$
より
$\dis L(1-n,\x)=\sum^N_{a=1}\x(a)N^{n-1}\z(1-n,\frac{a}{N})=-\frac1nN^{n-1}\sum^N_{a=1}\x(a)B_n(\frac{a}{N})=-\frac{1}{n}B_{n,\x}$
を得る。
公式3の導出
$N\nmid a$なる任意の整数$a$について
$\dis\sum^\infty_{n=1}\frac{\z_N^{-an}}{n}=-\log(1-\z_N^{-a})$
が成り立つ。
$\dis\log(1-x)=-\sum^\infty_{n=1}\frac{x^n}{n}$
よりアーベルの連続性定理から上の級数が収束することを示せばよい。
級数の収束性については仮定より$\sum^N_{k=1}\z_N^{-ak}=0$、特に$n=Nq+r$とすると$|\sum^n_{k=1}\z_N^{-ak}|=|\sum^r_{k=1}\z_N^{-ak}|\leq\sum^r_{k=1}|\z_N^{-ak}|=r< N$なのでディリクレの判定法よりわかる。
いま$\x$は原始指標であったので
この記事
の補題5から
$\dis\x(n)=\frac{\t(\x)}{\t(\x)\ol{\t(\x)}}\x(-1)\t(\ol\x)\x(n)=\frac{\t(\x)}{N}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\z_N^{-an}$
に注意すると
$\dis L(s,\x)=\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n^s}(\frac{\t(\x)}{N}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\z_N^{-an})=\frac{\t(\x)}{N}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\sum^\infty_{n=1}\frac{\z_N^{-an}}{n^s}$
なので仮定より$\ol\x(-1)=1$に注意してこれに$s=1$を代入すると
\begin{eqnarray}
L(1,\x)&=&-\frac{\t(\x)}{N}\cdot\frac12\cdot2\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\log(1-\z_N^{-a})
\\&=&-\frac{\t(\x)}{N}\cdot\frac12\left(\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\log(1-\z_N^{-a})+\sum^N_{a=1}\ol\x(-a)\log(1-\z_N^{a})\right)
\\&=&-\frac{\t(\x)}{N}\cdot\frac12\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\log(|1-\z_N^{a}|^2)
\\&=&-\frac{\t(\x)}{N}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\log|1-\z_N^{a}|
\end{eqnarray}
を得る。
関数等式
変数変換$t=\pi n^2u/N$によって
$\dis\L(s,\x)=\int^\infty_0u^{\frac{s+\ex}{2}-1}\sum^\infty_{n=1}\x(n)n^{\ex}e^{-\pi n^2u/N}du$
が成り立つので$\dis\psi_\x(t)=\sum^\infty_{n=1}\x(n)n^{\ex}t^{\frac{\ex}{2}}e^{-\pi n^2t/N}$について考える。
ここで$\dis\vartheta_\x(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}\x(n)n^{\ex}t^{\frac{\ex}{2}}e^{-\pi n^2t/N}$とおくと
$N=1$で$\dis\tx(t)=2\px(t)-1$
$N\geq2$で$\x(0)=0$および$\x(-1)(-1)^{\ex}=1$に注意すると$\tx(t)=2\px(t)$
が成り立ち、$\tx(t)$は以下の関数等式を満たす。
$\dis \tx(t)=\frac{i^{\ex}\sqrt{N}}{\t(\ol\x)\sqrt{t}}\vartheta_{\ol\x}(\frac{1}{t})$
これにはまず以下の公式を示す。
関数$f(x)$のフーリエ変換$\dis\hat{f}(s)=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-2\pi ixs}dx$について
$\dis\sum^\infty_{n=-\infty}f(n)=\sum^\infty_{n=-\infty}\hat{f}(n)$が成り立つ。
$\dis F(x)=\sum^\infty_{n=-\infty}f(x+n)$とおくとこれは周期$1$の関数となるので
$\dis F(x)=\sum^\infty_{n=-\infty}c_ne^{2\pi inx}\quad(c_n=\int^1_0F(x)e^{-2\pi inx}dx)$とフーリエ級数展開でき、
この時$\dis c_n=\sum^{\infty}_{k=-\infty}\int^1_0f(x+k)e^{-2\pi inx}dx=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-2\pi inx}dx=\hat{f}(n)$なので
$\dis F(0)=\sum^\infty_{n=-\infty}f(n)=\sum^\infty_{n=-\infty}\hat{f}(n)$を得る。
さて$\tx(t)$はそのままではポアソン和公式を適用する適当な関数が見つからないが、
$\dis\tx(t)=\sum^N_{a=1}\x(a)\sum^\infty_{m=-\infty}(Nm+a)^{\ex}t^{\frac{\ex}{2}}e^{-\pi (Nm+a)^2t/N}$
と変形することで$g(x)=(Nx+a)^{\ex}t^{\frac{\ex}{2}}e^{-\pi (Nx+a)^2t/N}$ひいては
$f_\ex(x)=x^{\ex}e^{-\pi x^2}$を考えればよいことがわかる。
$\dis\hat{f_\ex}(s)=(-is)^\ex e^{-\pi s^2}$
$f'_0(x)=-2\pi xf_1(x)$より
\begin{eqnarray}
\frac{d}{ds}\hat{f}_0(s)
&=&\int^\infty_{-\infty}(-2\pi ix)f_0(x)e^{-2\pi ixs}dx
=i\int^\infty_{-\infty}f'_0(x)e^{-2\pi ixs}dx
\\&=&-i(-2\pi is)\int^\infty_{-\infty}f_0(x)e^{-2\pi ixs}dx
=-2\pi s\hat{f_0}(s)
\end{eqnarray}
であってまたガウス積分$\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$から
$\dis\hat{f_0}(0)=\int^\infty_{-\infty}e^{-\pi x^2}dx=1$に注意すると
$\dis\hat{f_0}(s)=e^{-\pi s^2}$を得る。
また$f_1(x)=-\frac{1}{2\pi}f'_0(x)$より
$\dis\hat{f_1}(s)=-(-\frac{1}{2\pi})(-2\pi is)\int^\infty_{-\infty}f_0(x)e^{-2\pi ixs}dx=-is\hat{f_0}(s)=-ise^{-\pi s^2}$
公式6の証明
いま$g(x)=N^{\frac{\ex}{2}}f_{\ex}((Nx+a)\sqrt{t}/\sqrt{N})$より
変数変換$(Nx+a)\sqrt{t}/\sqrt{N}=y$で
\begin{eqnarray}
\hat{g}(s)
&=&N^{\frac{\ex}{2}}\int^\infty_{-\infty}f_{\ex}(y)e^{-2\pi i(\frac{1}{\sqrt{Nt}}y-\frac{a}{N})s}\frac{dy}{\sqrt{Nt}}
=\frac{N^{\frac\ex2}}{\sqrt{Nt}}\hat{f_{\ex}}(\frac{s}{\sqrt{Nt}})e^{\frac{2\pi ia}{N}s}
\\&=&\frac{N^{\frac\ex2}}{\sqrt{Nt}}\cdot\frac{(-i)^\ex s^{\ex}}{(Nt)^{\frac\ex2}}e^{-\pi s^2/Nt}e^{\frac{2\pi ia}{N}s}
=\frac{(-i)^\ex s^{\ex}}{t^{\frac{\ex}2}\sqrt{Nt}}e^{-\pi s^2/Nt}e^{\frac{2\pi ia}{N}s}
\end{eqnarray}
となるので$\z_N=e^{\frac{2\pi i}{N}}$とおくとポアソン和公式から
\begin{eqnarray}
\tx(t)&=&\sum^N_{a=1}\x(a)\sum^\infty_{m=-\infty}(Nm+a)^{\ex}t^{\frac{\ex}{2}}e^{-\pi (Nm+a)^2t/N}
\\&=&\sum^N_{a=1}\x(a)\sum^\infty_{m=-\infty}\frac{(-i)^{\ex}}{\sqrt{Nt}}m^{\ex}t^{-\frac{\ex}{2}}e^{-\pi m^2/Nt}\z_N^{am}
\\&=&\frac{(-i)^{\ex}}{\sqrt{Nt}}\sum^\infty_{n=-\infty}m^{\ex}t^{-\frac{\ex}{2}}e^{-\pi m^2/Nt}\sum^N_{a=1}\x(a)\z_N^{am}
\end{eqnarray}
ここで$\x$は原始指標としていたので
この記事
の補題5,補題4系,定理2から
$\dis\sum^N_{a=1}\x(a)\z_N^{am}=\ol\x(m)\t(\x)=\ol\x(m)\frac{|\t(\x)|^2}{\x(-1)\t(\ol\x)}=\ol\x(m)\frac{N}{(-1)^{\ex}\t(\ol\x)}$
となり
$\dis\tx(t)=\frac{(-i)^{\ex}}{\sqrt{Nt}}\cdot\frac{N}{(-1)^{\ex}\t(\ol\x)}\sum^\infty_{n=-\infty}\ol\x(m)m^{\ex}t^{-\frac{\ex}{2}}e^{-\pi m^2/Nt}=\frac{i^{\ex}\sqrt{N}}{\t(\ol\x)\sqrt{t}}\vartheta_{\ol\x}(\frac{1}{t})$
を得る。
定理1の証明
簡単のため以下$N\geq2$とする。
($N=1$、つまり$L(s,\x)=\z(s)$のときは$\tx(t)=2\px(t)-1$なので少し事情が変わってくるが大筋は同じである。)
冒頭の説明より$\dis\L(s,\x)=\int^\infty_0t^{\frac{s}2-1}\px(t)dt$なので
\begin{eqnarray}
\L(s,\x)&=&\int^\infty_1t^{\frac{s}2-1}\px(t)dt+\int^1_0t^{\frac{s}2-1}\px(t)dt
\\&=&\int^\infty_1t^{\frac{s}2-1}\px(t)dt+\int^1_\infty t^{-(\frac{s}2-1)}\px(\frac1t)\frac{dt}{-t^2}
\\&=&\int^\infty_1t^{\frac{s}2-1}\px(t)dt+\frac{i^{\ex}\sqrt{N}}{\t(\ol\x)}\int^\infty_1t^{\frac{1-s}2-1}\psi_{\ol\x}(t)dt
\end{eqnarray}
となり、
$\dis\frac{\t(\x)}{i^{\ex}\sqrt{N}}=\frac{|\t(\x)|^2}{i^\ex\x(-1)\t(\ol\x)\sqrt{N}}=\frac{i^{\ex}\sqrt{N}}{\t(\ol\x)}$
に注意すると
\begin{eqnarray}
\frac{\t(\x)}{i^{\ex}\sqrt{N}}\L(1-s,\ol\x)&=&\frac{\t(\x)}{i^{\ex}\sqrt{N}}(\int^\infty_1t^{\frac{1-s}2-1}\psi_{\ol\x}(t)dt+\frac{i^{\ex}\sqrt{N}}{\t(\x)}\int^\infty_1t^{\frac{s}2-1}\px(t)dt)
\\&=&\int^\infty_1t^{\frac{s}2-1}\px(t)dt+\frac{i^{\ex}\sqrt{N}}{\t(\ol\x)}\int^\infty_1t^{\frac{1-s}2-1}\psi_{\ol\x}(t)dt
\\&=&\L(s,\x)
\end{eqnarray}
を得る。