ディリクレのL関数の特殊値と関数等式

　$\chi (N+a)=\chi (a)$に注意すると
$$\begin{array}{rl}L(s,\chi )& =\sum _{a=1}^N\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (Nm+a)}{(Nm+a{)}^s}\\ & =\sum _{a=1}^N\chi (a)\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(Nm+a{)}^s}\\ & =\sum _{a=1}^N\chi (a)\frac{\zeta (s,\frac{a}{N})}{N^s}\end{array}$$
とわかる。

　$\mathrm{Re}(s)>1$において
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s,x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+x{)}^s}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}{e}^{-t}dt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(n+x)u}du& (t=(n+x)u)\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{u^{s-1}{e}^{-xu}}{1-e^{-u}}du\end{array}$$
と表せ、この積分は$\mathrm{Re}(s)<1$においても
$$\begin{array}{rl}\left|{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{u^{s-1}{e}^{-xu}}{1-e^{-u}}du\right|& ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{u^{\mathrm{Re}(s)-1}{e}^{-xu}}{1-e^{-u}}du\\ & \le {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{u^{2-1}{e}^{-xu}}{1-e^{-u}}du=\zeta (2,x)<+\mathrm{\infty }\end{array}$$
および
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\frac{u^{s-1}{e}^{-xu}}{1-e^{-u}}du& ={\int }_0^1(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n(x)}{n!}(-u{)}^n)u^{s-2}du\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n(x)}{n!}\cdot \frac{(-1{)}^n}{s+n-1}\end{array}$$
と収束するので、これによって$\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s,x)$は$\mathrm{Re}(s)<1$にも解析接続できる。
　特にその極$s=1-n$における留数は
$$\begin{array}{rl}\underset{s=1-n}{\mathrm{Res}}(\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s,x))& =\zeta (1-n,x)\underset{s\to 1-n}{lim}(s+n-1)\frac{\mathrm{\Gamma }(s+n)}{s(s+1)\cdots (s+n-1)}\\ & =\zeta (1-n,x)\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n-1)!}\\ & =(-1{)}^n\frac{B_n(x)}{n!}\end{array}$$
となることから主張を得る。

　いま
$$\begin{array}{rl}N{F}_{\chi }(t)& =\frac{Nt}{e^{Nt}-1}\sum _{a=1}^N\chi (a)e^{\frac{a}{N}\cdot Nt}\\ & =\sum _{a=1}^N\chi (a)F(Nt,\frac{a}{N})\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}\cdot N^n\sum _{a=1}^N\chi (a)B_n\left(\frac{a}{N}\right)\end{array}$$
つまり
$$B_{n,\chi }=N^{n-1}\sum _{a=1}^N\chi (a)B_n\left(\frac{a}{N}\right)$$
が成り立つことに注意すると補題2から
$$\begin{array}{rl}L(1-n,\chi )& =\sum _{a=1}^N\chi (a)N^{n-1}\zeta (1-n,\frac{a}{N})\\ & =-\frac{1}{n}{N}^{n-1}\sum _{a=1}^N\chi (a)B_n\left(\frac{a}{N}\right)=-\frac{B_{n,\chi }}{n}\end{array}$$
を得る。

$$\log (1-x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}$$
からわかる(cf. アーベルの連続性定理、ディリクレの収束判定法)。

　いま$\chi$は原始的であったので この記事 の定理5から
$$\chi (n)=\frac{\tau (\chi )}{\tau (\chi )\overline{\tau (\chi )}}\chi (-1)\tau (\bar{\chi })\chi (n)=\frac{\tau (\chi )}{N}\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(a){\zeta }_N^{-an}$$
と表せることに注意すると
$$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}(\frac{\tau (\chi )}{N}\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(a){\zeta }_N^{-an})=\frac{\tau (\chi )}{N}\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(a)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\zeta }_N^{-an}}{n^s}$$
が成り立つので
$$\begin{array}{rcl}L(1,\chi )& =& -\frac{\tau (\chi )}{N}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(a)\log (1-{\zeta }_N^{-a})\\ & =& -\frac{\tau (\chi )}{N}\cdot \frac{1}{2}(\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(a)\log (1-{\zeta }_N^{-a})+\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(-a)\log (1-{\zeta }_N^a))\\ & =& -\frac{\tau (\chi )}{N}\cdot \frac{1}{2}\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(a)\log (|1-{\zeta }_N^a{|}^2)\\ & =& -\frac{\tau (\chi )}{N}\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(a)\log |1-{\zeta }_N^a|\end{array}$$
を得る。

$$F(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x+n)$$
とおくとこれは周期$1$の関数となるので
$$F(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{2\pi inx}(c_n={\int }_0^{1}F(x)e^{-2\pi inx}dx)$$
とフーリエ級数展開でき、このとき
$$c_n=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{1}f(x+k)e^{-2\pi inx}dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-2\pi inx}dx=\hat{f}(n)$$
と求まることから主張を得る。

　$f_0^{\prime }(x)=-2\pi x{f}_0(x)$より
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{ds}{\hat{f}}_0(s)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-2\pi ix)f_0(x)e^{-2\pi ixs}dx\\ & =i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_0^{\prime }(x)e^{-2\pi ixs}dx\\ & =-i(-2\pi is){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_0(x)e^{-2\pi ixs}dx\\ & =-2\pi s\widehat{f_0}(s)\end{array}$$
つまり$\hat{f}(s)=A{e}^{-\pi s^2}$が成り立ち
$$\widehat{f_0}(0)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\pi x^2}dx=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=1$$
より$\widehat{f_0}(s)=e^{-\pi s^2}$を得る。
　また$f_1(x)=-\frac{1}{2\pi }{f}_0^{\prime }(x)$より
$$\widehat{f_1}(s)=-(-\frac{1}{2\pi })(-2\pi is){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_0(x)e^{-2\pi ixs}dx=-is\widehat{f_0}(s)=-is{e}^{-\pi s^2}$$
を得る。

$$g(x)=N^{\frac{{\epsilon }_{\chi }}{2}}{f}_{{\epsilon }_{\chi }}(\sqrt{Nt}x)$$
より変数変換$\sqrt{Nt}x=y$によって
$$\begin{array}{rl}\hat{g}(s)& =N^{\frac{{\epsilon }_{\chi }}{2}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_{{\epsilon }_{\chi }}(y)e^{-2\pi iys/\sqrt{Nt}}\frac{dy}{\sqrt{Nt}}\\ & =\frac{N^{\frac{{\epsilon }_{\chi }}{2}}}{\sqrt{Nt}}\widehat{f_{{\epsilon }_{\chi }}}\left(\frac{s}{\sqrt{Nt}}\right)\\ & =\frac{N^{\frac{{\epsilon }_{\chi }}{2}}}{\sqrt{Nt}}\cdot {\left(\frac{-is}{\sqrt{Nt}}\right)}^{{\epsilon }_{\chi }}{e}^{-\pi s^2/Nt}\\ & =\frac{(-is{)}^{{\epsilon }_{\chi }}}{t^{\frac{{\epsilon }_{\chi }}{2}}\sqrt{Nt}}{e}^{-\pi s^2/Nt}\end{array}$$
とわかる。

　${\zeta }_N=e^{\frac{2\pi i}{N}}$とおくとポアソン和公式から
$$\begin{array}{rl}{\theta }_{\chi }(t)& =\sum _{a=1}^N\chi (a)\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(Nm+a{)}^{{\epsilon }_{\chi }}{t}^{\frac{{\epsilon }_{\chi }}{2}}{e}^{-\pi (Nm+a{)}^{2}t/N}\\ & =\sum _{a=1}^N\chi (a)\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(m+\frac{a}{N})\\ & =\sum _{a=1}^N\chi (a)\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{g}(m){\zeta }_N^{am}\\ & =\sum _{a=1}^N\chi (a)\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-i{)}^{{\epsilon }_{\chi }}}{\sqrt{Nt}}{m}^{{\epsilon }_{\chi }}{t}^{-\frac{{\epsilon }_{\chi }}{2}}{e}^{-\pi m^2/Nt}{\zeta }_N^{am}\\ & =\frac{(-i{)}^{{\epsilon }_{\chi }}}{\sqrt{Nt}}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{m}^{{\epsilon }_{\chi }}{t}^{-\frac{{\epsilon }_{\chi }}{2}}{e}^{-\pi m^2/Nt}\sum _{a=1}^N\chi (a){\zeta }_N^{am}\end{array}$$
ここで$\chi$は原始指標としていたので この記事 の定理5などから
$$\sum _{a=1}^N\chi (a){\zeta }_N^{am}=\bar{\chi }(m)\tau (\chi )=\bar{\chi }(m)\frac{|\tau (\chi ){|}^2}{\chi (-1)\tau (\bar{\chi })}=\bar{\chi }(m)\frac{N}{(-1{)}^{{\epsilon }_{\chi }}\tau (\bar{\chi })}$$
となり
$${\theta }_{\chi }(t)=\frac{(-i{)}^{{\epsilon }_{\chi }}}{\sqrt{Nt}}\cdot \frac{N}{(-1{)}^{{\epsilon }_{\chi }}\tau (\bar{\chi })}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\bar{\chi }(m)m^{{\epsilon }_{\chi }}{t}^{-\frac{{\epsilon }_{\chi }}{2}}{e}^{-\pi m^2/Nt}=\frac{i^{{\epsilon }_{\chi }}\sqrt{N}}{\tau (\bar{\chi })\sqrt{t}}{\vartheta }_{\bar{\chi }}\left(\frac{1}{t}\right)$$
を得る。

　${\psi }_{\chi }$の関数等式から
$$\begin{array}{rl}\hat{L}(s,\chi )& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{\frac{s}{2}-1}{\psi }_{\chi }(t)dt\\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^{\frac{s}{2}-1}{\psi }_{\chi }(t)dt+{\int }_0^1{t}^{\frac{s}{2}-1}{\psi }_{\chi }(t)dt\\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^{\frac{s}{2}-1}{\psi }_{\chi }(t)dt+{\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^{-(\frac{s}{2}-1)}{\psi }_{\chi }\left(\frac{1}{t}\right)\frac{dt}{t^2}\\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^{\frac{s}{2}-1}{\psi }_{\chi }(t)dt+\frac{i^{{\epsilon }_{\chi }}\sqrt{N}}{\tau (\bar{\chi })}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^{\frac{1-s}{2}-1}{\psi }_{\bar{\chi }}(t)dt\end{array}$$
が成り立つので
$$\frac{\tau (\chi )}{i^{{\epsilon }_{\chi }}\sqrt{N}}=\frac{|\tau (\chi ){|}^2}{i^{{\epsilon }_{\chi }}\chi (-1)\tau (\bar{\chi })\sqrt{N}}=\frac{i^{{\epsilon }_{\chi }}\sqrt{N}}{\tau (\bar{\chi })}$$
に注意すると
$$\begin{array}{rl}\frac{\tau (\chi )}{i^{{\epsilon }_{\chi }}\sqrt{N}}\hat{L}(1-s,\bar{\chi })& =\frac{\tau (\chi )}{i^{{\epsilon }_{\chi }}\sqrt{N}}({\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^{\frac{1-s}{2}-1}{\psi }_{\bar{\chi }}(t)dt+\frac{i^{{\epsilon }_{\chi }}\sqrt{N}}{\tau (\chi )}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^{\frac{s}{2}-1}{\psi }_{\chi }(t)dt)\\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^{\frac{s}{2}-1}{\psi }_{\chi }(t)dt+\frac{i^{{\epsilon }_{\chi }}\sqrt{N}}{\tau (\bar{\chi })}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^{\frac{1-s}{2}-1}{\psi }_{\bar{\chi }}(t)dt\\ & =\hat{L}(s,\chi )\end{array}$$
を得る。