ここでは円分体
における有理素数
以下
このとき以下が成り立つことを示していく。
なる正整数
このとき
(
(
なおこの記事では デデキント・クンマーの定理 を主軸に考察していきますが、 ヒルベルトの分岐理論 を用いてもこの結果を得ることができます。詳しくは同記事にて解説しています。
円分体の整数環
は
(
が成り立つ。
が成り立っていたので、整数係数多項式
が成り立つことに注意すると
を得る。
(
また
が成り立つ。特に
(
と判別できることを示せばよい。
が成り立つ。
この記事 の補題4系と補題6からわかる。
上の補題および
したがって
と既約分解できるので、
と求まるので
デデキントの判別定理
より
が成り立つことに注意する。
が成り立つことに注意する。
また
と変形できること、および上の補題から
が成り立つことに注意すると主張を得る。