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大学数学基礎解説
文献あり

円分体と実円分体における素数の分解

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{K}[0]{{K^+}} \newcommand{k}[0]{{K^+}} \newcommand{mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{N}[0]{\mathrm{N}_{k/\mathbb{Q}}} \newcommand{ndiv}[0]{\!\!\not|} \newcommand{O}[0]{\mathcal{O}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Tr}[0]{\mathrm{Tr}_{k/\mathbb{Q}}} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vare}[0]{\varepsilon} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

はじめに

ここでは円分体$K=\Q(\z)$とその最大実部分体こと実円分体$K^+=K\cap\R=\Q(\z+\z^{-1})$における単項イデアル$(p)$の分解法則について解説する。
ここで$\z$とは$1$の原始$n$乗根$\z_n$のことを表すこととする。

円分体、実円分体における素数$p$の分解法則は$p\nmid n$の場合と$p|n$の場合に分けられる。
$p\nmid n$のとき$p^f\equiv1\pmod{n}$なる自然数$f$のうち最小のもの(つまり$p$$(\Z/n\Z)^\times$における位数)を$f_p$とおき、$f_p$が偶数のとき$f_p/2$を、$f_p$が奇数のとき$f_p$$f'_p$とおく。このとき以下の分解法則が成り立つ。

$p\nmid n$の分解法則

$p$$\O_K$において$\dis(p)=\prod^{\varphi(n)/f_p}_{i=1}\mf{p}_i\quad(N(\p_i)=p^{f_p})$
$\O_\k$において$\dis(p)=\prod^{\varphi(n)/2f'_p}_{i=1}\mf{p}_i\quad(N(\p_i)=p^{f'_p})$
異なる素イデアルの積に分解される。

$p|n$のとき$n=p^{e_p}n'\;(p\nmid n')$とおき、$p^f\equiv1\pmod{n'}$なる自然数$f$のうち最小のものを$f_p$とおき、$f_p$が偶数のとき$f_p/2$を、$f_p$が奇数のとき$f_p$$f'_p$とおく。このとき以下の分解法則が成り立つ。

$p|n$の分解法則

$p$$\O_K$において$\dis(p)=\prod^{\varphi(n')/f_p}_{i=1}\mf{p}_i^{\varphi(p^{e_p})}\quad(N(\p_i)=p^{f_p})$
$\O_\k$において$\dis(p)=\prod^{\varphi(n')/2f'_p}_{i=1}\mf{p}_i^{\varphi(p^{e_p})}\quad(N(\p_i)=p^{f'_p})$
異なる素イデアルの積に分解される。

補題

Plime Avoidance Lemma

$R$のイデアル$I$と素イデアル$I_i\;(i=1,2,\ldots,m)$($I_1,I_2$は素イデアルでなくてもよい)について
どの$i$に対しても$I\not\subseteq I_i$であれば$\dis I\not\subseteq\bigcup^m_{i=1}I_i$が成り立つ。

数学的帰納法により示す。$m=1$のときは自明。
$m\geq2$において仮定より各$j$について$I\cap I_j\subseteq\bigcup_{i\neq j}I_i$とすると$m-1$個のイデアルの和集合$\bigcup_{i\neq j}I_i$$I$は含まれないので$I\cap(\bigcup^m_{i=1}I_i)=I\cap(\bigcup_{i\neq j}I_i)\neq I$がわかるので$I\cap I_j\not\subseteq\bigcup_{i\neq j}I_i$としてよい。

いま任意に$x_j\in (I\cap I_j)-\bigcup_{i\neq j}I_i$をとり$x=(\prod^{m-1}_{i=1}x_i)+x_m$とおくと$x\in I-\bigcup^m_{i=1}I_i$となることを示す。

  • $I$はイデアルであったので$x_j\in I$より$x\in I$
  • ある$j\neq m$$x\in I_j$とすると$\prod^{m-1}_{i=1}x_i=(\prod_{i\neq j}x_i)x_j\in I_j$より$x_m\in I_j$となるがこれは$x_m$の取り方に矛盾。
  • $x\in I_m$とすると$\prod^{m-1}_{i=1}x_i\in I_m$となるが、$m=2$のとき$x_1\in I_2$となり矛盾。$m\geq3$のとき$I_m$は素イデアルであったのである$j$$x_j\in I_m$となり矛盾。

以上より$x\in I-\bigcup^m_{i=1}I_i$、特に$\dis I\not\subseteq\bigcup^m_{i=1}I_i$を得る。

代数体$k,k'$について$k'/k$がガロア拡大であるとき、$\O_k$の素イデアル$\p$(を$\O_{k'}$に移したイデアル$\p\O_{k'}$)を割り切る任意の$\O_{k'}$の素イデアル$\mf{q},\mf{q}'$について、ある$\sigma\in\mathrm{Gal}(k'/k)$があって$\sigma(\mf{q})=\mf{q}'$が成り立つ。

簡単のため$G=\mathrm{Gal}(k'/k)$とおく。
もし任意の$\sigma\in G$$\q'\not\subseteq\sigma(\q)$とすると補題3から$x\in \q'-\bigcup_{\sigma\in G}\sigma(\q)$なる$x$が取れる。
そのような$x$にノルム$N(x)=\prod_{\sigma\in G}\sigma(x)$を考えると、ある$\sigma_0\in G$$\sigma_0(x)=x\in\q'$かつ任意の$\sigma\in G$$\sigma(x)\in\O_{k'}$であるから$N(x)\in\q'$となる。しかし$N(x)$は任意の$\sigma\in G$に不変な代数的整数、つまり$k\cap\ol\Z=\O_k$の元でもあるので$N(x)\in\q'\cap\O_k=\p=\q\cap\O_k$。したがって$N(x)\in\q$がわかる。いま$\q$は素イデアルであったので$N(x)$のある因数$\sigma^{-1}(x)$$\q$にふくまれ、つまり$x\in\sigma(\q)$を得る。これは$x$の取り方に矛盾するのである$\sigma\in g$$\q'\subset\sigma(\q)$でなければいけない。

いま$\q',\sigma(\q)$は代数体の素イデアル、つまり極大イデアルであるので結局$\q'=\sigma(\q)$となる。

$\p\O_{k'}=\prod^g_{i=1}\q_i^{e_i}$と異なる素イデアルの積に分解したとき、
$\q_i$のノルム$N(\q_i)$および分岐指数$e_i$はそれぞれ$i$によらず等しい。

ノルムについては任意の$\sigma\in G$について$\O_{k'}/\q_1\simeq\sigma(\O_{k'})/\sigma(\q_1)=\O_{k'}/\sigma(\q_1)$からわかる。

分岐指数については各$j$に対して$\sigma(\q_1)=\q_j$なる$\sigma_j\in G$をとると$\sigma_j(\p\O_{k'})=\p\O_{k'}=\prod^g_{i=1}\sigma_j(\q_i)^{e_i}=\prod^g_{i=1}\q_i^{e_i}$なので素イデアル分解の一意性から$\sigma_j(\q_i)=\q_j$なる素イデアル$\q_i$$q_1$のみであり、すなわち$e_j=e_1$を得る。

ここにおいて$K/\Q,\;\K/\Q,\;K/\K$はそれぞれガロア拡大なのでそれぞれにこの系を適用できることに注意する。

$p\nmid n$の分解

$p\nmid n$のとき$(p)$を割り切る素イデアルを任意に一つ取り$\mf{p}$とおき、そのノルムを$N(\p)=p^s$とおく。また簡単のため$f=f_p,\;f'=f'_p$とする。

不分岐性について

一般に素数$p$が円分体や実円分体の判別式$D_K,D_\k$を割り切るとき、$p$$n$も割り切らなくてはならない(円分体の判別式については この記事 、実円分体の判別式については この記事 参照)。
またDedekindの判別定理より判別式を割り切らない素数$p$は不分岐であるので、$n$を割り切らない$p$についても然りである。
よって$(p)$のノルムに注意すると$\O_K$において$\dis(p)=\prod^{\varphi(n)/s}_{i=1}\p_i$$\O_\k$において$\dis(p)=\prod^{\varphi(n)/2s}_{i=1}\p_i$と異なる素イデアルの積に分解されることになる。

$\O_K$における分解

$N(\mf{p})=p^s\equiv 1\pmod{n}$が成り立つ。特に$f$の取り方から$f|s$が成り立つ。

仮定より$\p\nmid n$であるので$(x^n-1)'=nx^{n-1}\equiv 0\pmod{\p}$なら$x\equiv0\pmod{p}$
つまり$x^n-1$の根$\z^k\;(k=1,2,\ldots,n)$$\O_K/\p$において互いに異なる。
よって$\z^k\equiv1\pmod{\p}$なる自然数$k$のうち最小のもの(位数)は$n$となり、
ラグランジュの定理より$n|\#(\O_K/\p)^\times=N(\p)-1$となり主張を得る。

任意の$\a\in\O_K$について$\a^{p^f}\equiv1\pmod\p$が成り立つ。特に$N(\p)\leq p^f$が成り立つ。

$f$の取り方から$\z^{p^f}=\z$であって、また$\O_K/\p$は標数$p$の体であることに注意すると任意の$\b,\g\in\O_K$について$(\b+\g)^{p^f}\equiv\b^{p^f}+\g^{p^f}\pmod{\p}$が成り立つ(いわゆるフロベニウス写像)。特に任意の自然数$a$について$a^{p^f}=(\sum^a_{k=1}1)^{p^f}\equiv\sum^a_{k=1}1^{p^f}=a\pmod\p$が成り立つ(整数$a$についても然り)。

いま任意の$\a\in\O_\K=\Z[\z]$について$\a=\sum^{\varphi(n)-1}_{k=0}a_k\z^k$なる整数$a_k$が取れて、
$\a^{p^f}\equiv\sum^{\varphi(n)-1}_{k=0}a_k^{p^f}(\z^{p^f})^k\equiv\sum^{\varphi(n)-1}_{k=0}a_k\z^k=\a\pmod{\p}$を得る。

ここで$\O_K/\p$は体であったので多項式$F(x)=x^{p^f}-x$$\O_K/\p$において高々$p^f$個の根しか持たない。しかし先の議論により$F(x)$$\O_K/\p$のすべての元を根に持つので$N(p)\leq p^f$でなければならない。

補題5から$f\leq s$、補題6から$s\leq f$を得るので$\O_K$においては$s=f$となる。

$\O_\k$における分解

任意の$\a\in\O_\K$について$\a^{p^{f'}}\equiv1\pmod\p$が成り立つ。特に$N(\p)\leq p^{f'}$が成り立つ。

$f$が偶数のとき、$f$の取り方から$p^{\frac{f}{2}}=p^{f'}\equiv-1\pmod{n}$に注意すると
$f$が偶数でも奇数でも$\z^{p^{f'}}+\z^{-p^{f'}}=\z+\z^{-1}$が成り立つので
あとは補題6と同様にしてわかる。

いま$[K:\K]=2$より$\p$$\O_K$において1つか2つの素イデアルの積に分解される(定理4より$p$によって1つであるか2つであるかは固定される)。特に$(p)$$\O_K$において$\varphi(n)/f$個の素イデアルの積に分解されることから$\varphi(n)/2s=\varphi(n)/f$または$2(\varphi(n)/2s)=\varphi(n)/f$、つまり$s=f,f/2$でなければならない。
補題5より$f$が偶数のとき$s\leq f/2$なので$s=f/2$
$f$が奇数のとき$f/2$は自然数足りえないので$s=f$となる。

以上より定理1を得る。

$p|n$の分解

$p|n$の分解法則については以下の定理を用いる。

代数体$k$について$k=\Q(\theta)$なる$\theta\in\O_k$をとり、$\theta$の最小多項式を$f(X)$とおく。
このとき$|\O_k/\Z[\theta]|$を割り切らない素数$p$について、$f(X)\equiv\prod^g_{i=1}f_i(X)^{e_i}\pmod{p}$とモニックに既約分解すると$\p_i=(p,f_i(\theta))$は素イデアルであり、$(p)=\prod^g_{i=1}\p_i^{e_i}$と素イデアル分解され、$N(\p_i)=\deg f_i$が成り立つ。

代数的整数論 - 中川仁 のp.55, 定理 9.10を見られよ。

円分体、実円分体においては$\O_k=\Z[\theta]$なので任意の素数$p$についてこの定理が適用できることに注意する。

簡単のため$e=e_p,\;f=f_p,\;f'=f'_p$とおく。

$\O_K$における分解

いま この記事 の補題$3$から$\z$の最小多項式$\Phi_n(x)$について、$\dis\Phi_n(x)=\frac{\Phi_{n'}(x^{p^e})}{\Phi_{n'}(x^{p^{e-1}})}$が成り立ち、また任意の$f(x)\in\Z[x]$について$f(x)^p\equiv f(x^p)\pmod{p}$に注意すると$\Phi_n(x)\equiv\Phi_{n'}(x)^{p^{e-1}(p-1)}=\Phi_{n'}(x)^{\varphi(p^e)}\pmod{p}$を得る。

いま素数$p\nmid n'$の分解法則と素イデアル分解の一意性から定理8を逆に使うと
$\dis\Phi_{n'}(x)\equiv\prod^{\varphi(n')/f}_{i=1}\phi_i(x)\pmod{p}\quad(\deg\phi_i=f)$の形に既約分解されるはずである。

よって$\dis (p)=\prod^{\varphi(n')/f}_{i=1}\p_i^{\varphi(p^e)}$を得る。

$\O_\K$における分解

$\eta=-\z_{p^e}^{\frac{p+1}{2}}=e^{\frac{\pi i}{p^e}}$とおくと$\O_\k$において$(p)=((\eta-\eta^{-1})^2)^{\frac{\varphi(p^e)}{2}}$が成り立つ。
特に任意の素イデアル$\p|(p)$について$\p|(\eta-\eta^{-1})^2$が成り立つ。

$\eta^2=\z_{p^e}$より$\O_K$において$(p)=(\z_{p^e}-1)^{\varphi(p^e)}=(\eta-\eta^{-1})^{\varphi(p^e)}=((\eta-\eta^{-1})^2)^{\frac{\varphi(p^e)}{2}}$であって、$(\eta_{p^e}-\eta_{p^e}^{-1})^2$は実数なので$p=(\mbox{実単数})\times((\eta_{p^e}-\eta_{p^e}^{-1})^2)^{\frac{\varphi(p^e)}{2}}$となる。つまり$\O_\k$でも同じイデアル分解が言える。

$f$が偶数のとき任意の$\a\in\O_\K$について$\a^{p^{f'}}\equiv1\pmod\p$が成り立つ。特に$N(\p)\leq p^{f'}$が成り立つ。

$p^{f'}\equiv -1\pmod{n'}$より$p^{f'}=kn'-1$とおくと$\z^{p^{f'}}+\z^{-p^{f'}}=\z_{p^e}^k\z^{-1}+\z_{p^e}^{-k}\z$となり、
$\a=(\z^{p^{f'}}+\z^{-p^{f'}})-(\z+\z^{-1})=(\eta^k-\eta^{-k})(\eta^k\z^{-1}-\eta^{-k}\z)$とおくと
補題9から$\p|(\eta-\eta^{-1})^2$なので$\a^2\equiv0\pmod{\p}$$\O_\k/\p$は体なので結局$\a\equiv0\pmod{\p}$
つまり$\z^{p^{f'}}+\z^{-p^{f'}}\equiv\z+\z^{-1}\pmod{\p}$が成り立つ。

あとは補題6と同様にしてわかる。

$\O_K$についての結果から$p\nmid n$のときと同様にして
$\dis N(\p)=p^{f'},\;(p)=\prod^{\varphi(n')/2f'}_{i=1}\p_i^{\varphi(p^e)}$と分解されることがわかる。

参考文献

投稿日:20201210
更新日:111

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投稿者

子葉
子葉
875
161993
主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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