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円分体と実円分体における素数の分解

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はじめに

　ここでは円分体 $K = Q (ζ)$ とその最大実部分体こと実円分体
$K^{+} = K \cap R = Q (ζ + ζ^{- 1})$
における有理素数 $p$ の分解法則について解説する(ただしを表すものとした)。
　以下 $ζ$ を $1$ の原始 $n$ 乗根、 $φ (n)$ をオイラーのトーシェント関数とする。また奇数 $n^{'}$ に対し $Q (ζ_{2 n^{'}}) = Q (ζ_{n^{'}})$ が成り立つので $n ≢ 2 (\mod 4)$ とする。
　このとき以下が成り立つことを示していく。

　 $n = p^{e_{p}} n^{'} (p ∤ n^{'})$ と分解し
$p^{f} \equiv 1 (\mod n^{'})$
なる正整数 $f$ であって最小のものを $f_{p}$ とおく。
　このとき $p$ は $Q (ζ)$ において
$p = (p_{1} p_{2} \dots p_{φ (n^{'}) / f_{p}})^{φ (p^{e_{p}})}$
( $p_{i}$ の惰性次数は $f_{p}$ )と分解され、また $Q (ζ + ζ^{- 1})$ においては
$p = {\begin{cases} (p_{1}^{'})^{φ (p^{e_{p}}) / 2} & (n^{'} = 1) \\ (p_{1}^{'} p_{2}^{'} \dots p_{φ (n^{'}) / 2 f_{p}}^{'})^{φ (p^{e_{p}})} & (2 ∤ f_{p} または p^{f_{p} / 2} ≢ - 1 (\mod n^{'})) \\ (p_{1}^{'} p_{2}^{'} \dots p_{φ (n^{'}) / f_{p}}^{'})^{φ (p^{e_{p}})} & (2 ∣ f_{p} かつ p^{f_{p} / 2} \equiv - 1 (\mod n^{'})) \end{cases}$
( $p_{i}^{'}$ の惰性次数は上から順に $1, f_{p}, f_{p} / 2$ )と素イデアル分解される。

　なおこの記事ではデデキント・クンマーの定理を主軸に考察していきますが、ヒルベルトの分岐理論を用いてもこの結果を得ることができます。詳しくは同記事にて解説しています。

円分体における分解

　円分体の整数環は $O_{K} = Z [ζ]$ と表せたので任意の素数 $p$ についてデデキント・クンマーの定理を適用することができる。つまり円分多項式 $Φ_{n} (x)$ が $mod p$ で
$Φ_{n} (x) \equiv (ϕ_{1} (x) ϕ_{2} (x) \dots ϕ_{φ (n^{'}) / f_{p}} (x))^{φ (p^{e_{p}})} (\mod p)$
( $\deg ϕ_{i} = f_{p}$ )と既約分解されることを確かめればよい。

$Φ_{n} (x) \equiv Φ_{n^{'}} (x)^{φ (p^{e_{p}})} (\mod p)$
が成り立つ。

　 $e_{p} = 0$ のときは明らか。また $e_{p} \geq 1$ のときこの記事の補題4から
$Φ_{n} (x) = \frac{Φ_{n^{'}} (x^{p^{e_{p}}})}{Φ_{n^{'}} (x^{p^{e_{p} - 1}})}$
が成り立っていたので、整数係数多項式 $f (x) \in Z [x]$ に対し
$f (x)^{p} \equiv f (x^{p}) (\mod p)$
が成り立つことに注意すると
$Φ_{n} (x) \equiv \frac{Φ_{n^{'}} (x)^{p^{e_{p}}}}{Φ_{n^{'}} (x)^{p^{e_{p} - 1}}} = Φ_{n^{'}} (x)^{p^{e_{p} - 1} (p - 1)} = Φ_{n^{'}} (x)^{φ (p^{e_{p} - 1})} (\mod p)$
を得る。

　 $Φ_{n^{'}} (x)$ は $mod p$ において
$Φ_{n^{'}} (x) \equiv ϕ_{1} (x) ϕ_{2} (x) \dots ϕ_{φ (n^{'}) / f_{p}} (x) (\mod p)$
( $\deg ϕ_{i} = f_{p}$ )と既約分解される。

　 $p ∤ n^{'}$ に注意すると $f (x) = x^{n^{'}} - 1$ および $f^{'} (x) = n^{'} x^{n^{'} - 1}$ は $mod p$ において共通因子を持たないので $f$ は $mod p$ において分離的であり、したがって $Φ_{n^{'}} (x)$ も分離的となる。
　また $q$ 元体 $F_{q}$ の乗法群 $F_{p}^{\times}$ は位数 $q - 1$ の巡回群であることに注意すると、 $f_{p}$ の取り方から
$\exists α \in F_{q}, ord α = n^{'} ⟺ n^{'} ∣ (q - 1) ⟺ F_{p^{f_{p}}} \subseteq F_{q}$
が成り立つ。特に $1$ の原始 $n^{'}$ 乗根の $F_{p}$ 上の最小多項式の次数は $f_{p}$ となることがわかるので $Φ_{n^{'}} (x)$ は
$Φ_{n^{'}} (x) \equiv ϕ_{1} (x) ϕ_{2} (x) \dots ϕ_{r} (x) (\mod p)$
( $\deg ϕ_{i} = f_{p}$ )と既約分解されることになる。

実円分体における分解

　 $[Q (ζ) : Q (ζ + ζ^{- 1})] = 2$ に注意すると $Q (ζ + ζ^{- 1})$ の素イデアル $p^{'} ∣ p$ の $Q (ζ)$ における分解が
$p^{'} : {\begin{cases} 分岐 & (n^{'} = 1) \\ 分解 & (p^{f_{p} / 2} ≢ - 1 (\mod n^{'})) \\ 惰性 & (p^{f_{p} / 2} \equiv - 1 (\mod n^{'})) \end{cases}$
と判別できることを示せばよい。

　 $Q (ζ)$ のイデアルとして
$\begin{aligned} (p) & = (1 - ζ)^{φ (p^{e_{p}})} & (n = p^{e_{p}}) \\ (1) & = (1 - ζ) & (otherwise .) \end{aligned}$
が成り立つ。

　この記事の補題4系と補題6からわかる。

　 $n = p^{e_{p}}$ のとき $p^{'}$ は分岐する。

　上の補題および $(ζ - ζ^{- 1})^{2} \in Z [ζ + ζ^{- 1}]$ に注意すると $p^{'} ∣ p$ ならば $p^{'} ∣ (ζ - ζ^{- 1})^{2}$ が成り立つ。
　したがって $θ = ζ - ζ^{- 1}$ についてデデキント・クンマーの定理を考えると
$x^{2} - (ζ - ζ^{- 1})^{2} \equiv x^{2} (\mod p^{'})$
と既約分解できるので、 $p^{'}$ は $Q (ζ)$ において分岐することがわかる。

　 $Q (ζ) / Q (ζ + ζ^{- 1})$ における基底 $1, ζ$ の判別式は
$d (1, ζ) = {| \begin{matrix} 1 & ζ \\ 1 & ζ^{- 1} \end{matrix} |}^{2} = (ζ - ζ^{- 1})^{2}$
と求まるのでデデキントの判別定理より
$n \neq p^{e_{p}} ⟹ p^{'} ∤ (ζ - ζ^{- 1})^{2} ⟹ p^{'} : 不分岐$
が成り立つことに注意する。

　 $n^{'} \neq 1$ において

$p^{f_{p} / 2} ≢ - 1 (\mod n^{'})$ ならば $p^{'}$ は分解する。
$p^{f_{p} / 2} \equiv - 1 (\mod n^{'})$ ならば $p^{'}$ は惰性する。

$\begin{aligned} p^{'} が惰性する & ⟺ [F_{p^{f_{p}}} : κ] = 2 \\ ⟺ κ = F_{p^{f_{p} / 2}} \\ ⟺ \forall α \in Z [ζ + ζ^{- 1}], α^{p^{f_{p} / 2}} \equiv α (\mod p^{'}) \\ ⟺ (ζ + ζ^{- 1})^{p^{f_{p} / 2}} \equiv ζ + ζ^{- 1} (\mod p^{'}) \end{aligned}$
が成り立つことに注意する。
　また $q = p^{f_{p} / 2}, α = ζ + ζ^{- 1}$ とおくと
$\begin{aligned} α^{q} - α & \equiv (ζ^{q} + ζ^{- q}) - (ζ + ζ^{- 1}) \\ = ζ^{- q} (ζ^{q + 1} - 1) (ζ^{q - 1} - 1) (\mod p^{'}) \end{aligned}$
と変形できること、および上の補題から
$p^{'} Z [ζ] ∣ (1 - ζ^{q + 1}) (1 - ζ^{q - 1}) ⟺ q \equiv 1 or - 1 (\mod n^{'})$
が成り立つことに注意すると主張を得る。