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大学数学基礎解説
文献あり

円分体と実円分体における素数の分解

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はじめに

 ここでは円分体K=Q(ζ)とその最大実部分体こと実円分体
K+=KR=Q(ζ+ζ1)
における有理素数pの分解法則について解説する(ただしを表すものとした)。
 以下ζ1の原始n乗根、φ(n)をオイラーのトーシェント関数とする。また奇数nに対しQ(ζ2n)=Q(ζn)が成り立つのでn2(mod4)とする。
 このとき以下が成り立つことを示していく。

 n=pepn (pn)と分解し
pf1(modn)
なる正整数fであって最小のものをfpとおく。
 このときpQ(ζ)において
p=(p1p2pφ(n)/fp)φ(pep)
(piの惰性次数はfp)と分解され、またQ(ζ+ζ1)においては
p={(p1)φ(pep)/2(n=1)(p1p2pφ(n)/2fp)φ(pep)(2fpまたはpfp/21(modn))(p1p2pφ(n)/fp)φ(pep)(2fpかつpfp/21(modn))
(piの惰性次数は上から順に1,fp,fp/2)と素イデアル分解される。

 なおこの記事では デデキント・クンマーの定理 を主軸に考察していきますが、 ヒルベルトの分岐理論 を用いてもこの結果を得ることができます。詳しくは同記事にて解説しています。

円分体における分解

  円分体の整数環 OK=Z[ζ]と表せたので任意の素数pについて デデキント・クンマーの定理 を適用することができる。つまり円分多項式Φn(x)modp
Φn(x)(ϕ1(x)ϕ2(x)ϕφ(n)/fp(x))φ(pep)(modp)
(degϕi=fp)と既約分解されることを確かめればよい。

Φn(x)Φn(x)φ(pep)(modp)
が成り立つ。

 ep=0のときは明らか。またep1のとき この記事 の補題4から
Φn(x)=Φn(xpep)Φn(xpep1)
が成り立っていたので、整数係数多項式f(x)Z[x]に対し
f(x)pf(xp)(modp)
が成り立つことに注意すると
Φn(x)Φn(x)pepΦn(x)pep1=Φn(x)pep1(p1)=Φn(x)φ(pep1)(modp)
を得る。

 Φn(x)modpにおいて
Φn(x)ϕ1(x)ϕ2(x)ϕφ(n)/fp(x)(modp)
(degϕi=fp)と既約分解される。

 pnに注意するとf(x)=xn1およびf(x)=nxn1modpにおいて共通因子を持たないのでfmodpにおいて分離的であり、したがってΦn(x)も分離的となる。
 またq元体Fqの乗法群Fp×は位数q1の巡回群であることに注意すると、fpの取り方から
αFq, ordα=nn(q1)FpfpFq
が成り立つ。特に1の原始n乗根のFp上の最小多項式の次数はfpとなることがわかるのでΦn(x)
Φn(x)ϕ1(x)ϕ2(x)ϕr(x)(modp)
(degϕi=fp)と既約分解されることになる。

実円分体における分解

 [Q(ζ):Q(ζ+ζ1)]=2に注意するとQ(ζ+ζ1)の素イデアルppQ(ζ)における分解が
p:{分岐(n=1)分解(pfp/21(modn))惰性(pfp/21(modn))
と判別できることを示せばよい。

 Q(ζ)のイデアルとして
(p)=(1ζ)φ(pep)(n=pep)(1)=(1ζ)(otherwise.)
が成り立つ。

  この記事 の補題4系と補題6からわかる。

 n=pepのときpは分岐する。

 上の補題および(ζζ1)2Z[ζ+ζ1]に注意するとppならばp(ζζ1)2が成り立つ。
 したがってθ=ζζ1についてデデキント・クンマーの定理を考えると
x2(ζζ1)2x2(modp)
と既約分解できるので、pQ(ζ)において分岐することがわかる。

 Q(ζ)/Q(ζ+ζ1)における基底1,ζの判別式は
d(1,ζ)=|1ζ1ζ1|2=(ζζ1)2
と求まるので デデキントの判別定理 より
npepp(ζζ1)2p:不分岐
が成り立つことに注意する。

 n1において

  • pfp/21(modn)ならばpは分解する。
  • pfp/21(modn)ならばpは惰性する。

p が惰性する[Fpfp:κ]=2κ=Fpfp/2αZ[ζ+ζ1], αpfp/2α(modp)(ζ+ζ1)pfp/2ζ+ζ1(modp)
が成り立つことに注意する。
 またq=pfp/2, α=ζ+ζ1とおくと
αqα(ζq+ζq)(ζ+ζ1)=ζq(ζq+11)(ζq11)(modp)
と変形できること、および上の補題から
pZ[ζ](1ζq+1)(1ζq1)q1 or 1(modn)
が成り立つことに注意すると主張を得る。

参考文献

[1]
J. Neukirch 著, 足立恒雄 監修, 梅垣敦紀 訳, 代数的整数論, 丸善出版, 2012
投稿日:20201210
更新日:2024629
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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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