【初めてのJuliaプログラミング】とある有限群を具体的に求めてみた。

こちらは「 日曜数学 Advent Calendar 2020 」の記事です。
素敵な力作がたくさん集まってますので、ぜひ読んでみてください。

Introduction

以前、Mathlogさんに ３日前に群を知ったねこ という記事を書き、円周群を取り上げました。

こちらを実数でなく$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$にしてみると、以下が成り立ちます。

$\mathbb{R}$の場合をお手本にしながら、三角関数の加法定理をヒントにして演算を定義しています。
こちらの証明は、のちのち ３日前に群を知ったねこ の続きとして、ねこさんに証明してもらいたいので、今回は省略します。

この記事では、具体的に$C_p$の元を求め、どんな群になっているかを見ていきます。

まずは手計算で

• $p=2$

$$C_2=\{(\bar{x},\bar{y})|\bar{x},\bar{y}\in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},{\bar{x}}^2+{\bar{y}}^2=\bar{1}\}$$

$(\bar{x},\bar{y})$を$C_2$の元とする。

$\bar{x}=\bar{0}$とすると、${\bar{y}}^2=\bar{1}$より、$\bar{y}=\bar{1}$

$\bar{x}=\bar{1}$とすると、${\bar{y}}^2=\bar{0}$より、$\bar{y}=\bar{0}$

よって
$$C_2=\{(\bar{0},\bar{1}),(\bar{1},\bar{0})\}$$
ここで
$$(\bar{0},\bar{1})\cdot (\bar{0},\bar{1})=(\bar{0}\cdot \bar{0}-\bar{1}\cdot \bar{1},\bar{0}\cdot \bar{1}+\bar{1}\cdot \bar{0})=(\bar{1},\bar{0})$$
となるので
$$C_2=\{(\bar{0},\bar{1}),(\bar{0},\bar{1}{)}^2\}$$

よって、$C_2$は位数$2$の巡回群となる。

• $p=3$

$$C_3=\{(\bar{x},\bar{y})|\bar{x},\bar{y}\in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z},{\bar{x}}^2+{\bar{y}}^2=\bar{1}\}$$

$(\bar{x},\bar{y})$を$C_3$の元とする。

$\bar{x}=\bar{0}$とすると、${\bar{y}}^2=\bar{1}$より、$\bar{y}=\overline{\pm 1}$

$\bar{x}=\bar{1}$とすると、${\bar{y}}^2=\bar{0}$より、$\bar{y}=\bar{0}$

$\bar{x}=\overline{-1}$とすると、${\bar{y}}^2=\bar{0}$より、$\bar{y}=\bar{0}$

よって
$$C_3=\{(\bar{0},\bar{1}),(\bar{0},\overline{-1}),(\bar{1},\bar{0}),(\overline{-1},\bar{0})\}$$
ここで
$$\begin{array}{rl}(\bar{0},\bar{1})\cdot (\bar{0},\bar{1})& =(\bar{0}\cdot \bar{0}-\bar{1}\cdot \bar{1},\bar{0}\cdot \bar{1}+\bar{1}\cdot \bar{0})\\ & =(\overline{-1},\bar{0})\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}(\bar{0},\bar{1})\cdot (\bar{0},\bar{1})\cdot (\bar{0},\bar{1})& =(\overline{-1},\bar{0})\cdot (\bar{0},\bar{1})\\ & =(\overline{-1}\cdot \bar{0}-\bar{0}\cdot \bar{1},\overline{-1}\cdot \bar{1}+\bar{0}\cdot \bar{0})\\ & =(\bar{0},\overline{-1})\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}(\bar{0},\bar{1})\cdot (\bar{0},\bar{1})\cdot (\bar{0},\bar{1})\cdot (\bar{0},\bar{1})& =(\bar{0},\overline{-1})\cdot (\bar{0},\bar{1})\\ & =(\bar{0}\cdot \bar{0}-\overline{(-1)}\cdot \bar{1},\bar{0}\cdot \bar{1}+\overline{(-1)}\cdot \bar{0})\\ & =(\bar{1},\bar{0})\end{array}$$
となるので
$$C_3=\{(\bar{0},\bar{1}),(\bar{0},\bar{1}{)}^2,(\bar{0},\bar{1}{)}^3,(\bar{0},\bar{1}{)}^4\}$$

よって、$C_3$は位数$4$の巡回群となる。

お願い！Juliaさん！

手計算が疲れてきたので、文明の利器に頼ります。丸美屋の麻婆豆腐を作ることよりも環境構築が簡単なことで有名なプログラミング言語 Julia で書きました。
AbstractAlgebra.jl というスーパー便利そうなパッケージがありますが、初心者すぎるため、今回は Primes.jl だけ使って愚直に書いてしまいました。また今度コーディングするときは、AbstractAlgebra.jlを使ってみようと思います。

計算結果

$2<p<{10}^2$での計算結果です。以下の順に記載しています。

• $p$
• $C_p$の位数
• $C_p$の元（上線はついていません）

$C_p$の元については、一つ目に記載したものが生成元となっており、二つ目がその$2$乗、三つ目がその$3$乗、四つ目がその$4$乗・・・といった具合になっています。
また、位数が大きいものについては、スクロールすることで全ての元を見ることができます。

※私なりに確認はしていますが、初心者なので書いたプログラムにミスがあるかもしれません。以下の結果を真面目に参照する場合は、ぜひご自身でもご確認頂ければと思います。

$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$

$p=5$
位数:$4$

$$[(0,1),(4,0),(0,4),(1,0)]$$

---

$p=13$
位数:$12$

$$[(2,6),(7,11),(0,12),(6,11),(11,6),(12,0),(11,7),(6,2),(0,1),(7,2),(2,7),(1,0)]$$

---

$p=17$
位数:$16$

$$[(4,6),(14,14),(6,4),(0,1),(11,4),(3,14),(13,6),(16,0),(13,11),(3,3),(11,13),(0,16),(6,13),(14,3),(4,11),(1,0)]$$

---

$p=29$
位数:$28$

$$[(5,11),(20,23),(21,16),(16,21),(23,20),(11,5),(0,1),(18,5),(6,20),(13,21),(8,16),(9,23),(24,11),(28,0),(24,18),(9,6),(8,13),(13,8),(6,9),(18,24),(0,28),(11,24),(23,9),(16,8),(21,13),(20,6),(5,18),(1,0)]$$

---

$p=37$
位数:$36$

$$[(2,16),(7,27),(26,18),(23,8),(29,14),(19,11),(10,30),(21,35),(0,36),(16,35),(27,30),(18,11),(8,14),(14,8),(11,18),(30,27),(35,16),(36,0),(35,21),(30,10),(11,19),(14,29),(8,23),(18,26),(27,7),(16,2),(0,1),(21,2),(10,7),(19,26),(29,23),(23,29),(26,19),(7,10),(2,21),(1,0)]$$

---

$p=41$
位数:$40$

$$[(13,18),(9,17),(16,14),(38,19),(29,29),(19,38),(14,16),(17,9),(18,13),(0,1),(23,13),(24,9),(27,16),(22,38),(12,29),(3,19),(25,14),(32,17),(28,18),(40,0),(28,23),(32,24),(25,27),(3,22),(12,12),(22,3),(27,25),(24,32),(23,28),(0,40),(18,28),(17,32),(14,25),(19,3),(29,12),(38,22),(16,27),(9,24),(13,23),(1,0)]$$

---

$p=53$
位数:$52$

$$[(5,20),(49,41),(8,19),(31,43),(37,40),(21,39),(14,32),(13,16),(10,22),(34,45),(12,4),(33,48),(0,52),(20,48),(41,4),(19,45),(43,22),(40,16),(39,32),(32,39),(16,40),(22,43),(45,19),(4,41),(48,20),(52,0),(48,33),(4,12),(45,34),(22,10),(16,13),(32,14),(39,21),(40,37),(43,31),(19,8),(41,49),(20,5),(0,1),(33,5),(12,49),(34,8),(10,31),(13,37),(14,21),(21,14),(37,13),(31,10),(8,34),(49,12),(5,33),(1,0)]$$

---

$p=61$
位数:$60$

$$[(2,27),(7,47),(26,39),(36,48),(57,31),(9,15),(40,29),(29,40),(15,9),(31,57),(48,36),(39,26),(47,7),(27,2),(0,1),(34,2),(14,7),(22,26),(13,36),(30,57),(46,9),(32,40),(21,29),(52,15),(4,31),(25,48),(35,39),(54,47),(59,27),(60,0),(59,34),(54,14),(35,22),(25,13),(4,30),(52,46),(21,32),(32,21),(46,52),(30,4),(13,25),(22,35),(14,54),(34,59),(0,60),(27,59),(47,54),(39,35),(48,25),(31,4),(15,52),(29,21),(40,32),(9,46),(57,30),(36,13),(26,22),(7,14),(2,34),(1,0)]$$

---

$p=73$
位数:$72$

$$[(6,29),(71,56),(43,59),(7,68),(41,27),(47,37),(12,52),(24,3),(57,57),(3,24),(52,12),(37,47),(27,41),(68,7),(59,43),(56,71),(29,6),(0,1),(44,6),(17,71),(14,43),(5,7),(46,41),(36,47),(21,12),(70,24),(16,57),(49,3),(61,52),(26,37),(32,27),(66,68),(30,59),(2,56),(67,29),(72,0),(67,44),(2,17),(30,14),(66,5),(32,46),(26,36),(61,21),(49,70),(16,16),(70,49),(21,61),(36,26),(46,32),(5,66),(14,30),(17,2),(44,67),(0,72),(29,67),(56,2),(59,30),(68,66),(27,32),(37,26),(52,61),(3,49),(57,16),(24,70),(12,21),(47,36),(41,46),(7,5),(43,14),(71,17),(6,44),(1,0)]$$

---

$p=89$
位数:$88$

$$[(13,30),(70,68),(27,47),(9,86),(29,53),(33,46),(28,75),(72,35),(64,34),(79,48),(32,57),(41,10),(55,25),(54,17),(14,61),(43,56),(36,60),(3,80),(42,62),(21,19),(59,76),(0,88),(30,76),(68,19),(47,62),(86,80),(53,60),(46,56),(75,61),(35,17),(34,25),(48,10),(57,57),(10,48),(25,34),(17,35),(61,75),(56,46),(60,53),(80,86),(62,47),(19,68),(76,30),(88,0),(76,59),(19,21),(62,42),(80,3),(60,36),(56,43),(61,14),(17,54),(25,55),(10,41),(57,32),(48,79),(34,64),(35,72),(75,28),(46,33),(53,29),(86,9),(47,27),(68,70),(30,13),(0,1),(59,13),(21,70),(42,27),(3,9),(36,29),(43,33),(14,28),(54,72),(55,64),(41,79),(32,32),(79,41),(64,55),(72,54),(28,14),(33,43),(29,36),(9,3),(27,42),(70,21),(13,59),(1,0)]$$

---

$p=97$
位数:$96$

$$[(14,22),(3,34),(70,57),(17,10),(18,29),(2,26),(38,20),(92,49),(16,91),(65,74),(58,41),(7,7),(41,58),(74,65),(91,16),(49,92),(20,38),(26,2),(29,18),(10,17),(57,70),(34,3),(22,14),(0,1),(75,14),(63,3),(40,70),(87,17),(68,18),(71,2),(77,38),(48,92),(6,16),(23,65),(56,58),(90,7),(39,41),(32,74),(81,91),(5,49),(59,20),(95,26),(79,29),(80,10),(27,57),(94,34),(83,22),(96,0),(83,75),(94,63),(27,40),(80,87),(79,68),(95,71),(59,77),(5,48),(81,6),(32,23),(39,56),(90,90),(56,39),(23,32),(6,81),(48,5),(77,59),(71,95),(68,79),(87,80),(40,27),(63,94),(75,83),(0,96),(22,83),(34,94),(57,27),(10,80),(29,79),(26,95),(20,59),(49,5),(91,81),(74,32),(41,39),(7,90),(58,56),(65,23),(16,6),(92,48),(38,77),(2,71),(18,68),(17,87),(70,40),(3,63),(14,75),(1,0)]$$

---

$p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$

$p=3$
位数:$4$

$$[(0,1),(2,0),(0,2),(1,0)]$$

---

$p=7$
位数:$8$

$$[(2,2),(0,1),(5,2),(6,0),(5,5),(0,6),(2,5),(1,0)]$$

---

$p=11$
位数:$12$

$$[(3,5),(6,8),(0,10),(5,8),(8,5),(10,0),(8,6),(5,3),(0,1),(6,3),(3,6),(1,0)]$$

---

$p=19$
位数:$20$

$$[(3,7),(17,4),(4,17),(7,3),(0,1),(12,3),(15,17),(2,4),(16,7),(18,0),(16,12),(2,15),(15,2),(12,16),(0,18),(7,16),(4,2),(17,15),(3,12),(1,0)]$$

---

$p=23$
位数:$24$

$$[(4,10),(8,11),(14,9),(12,15),(13,19),(0,22),(10,19),(11,15),(9,9),(15,11),(19,10),(22,0),(19,13),(15,12),(9,14),(11,8),(10,4),(0,1),(13,4),(12,8),(14,14),(8,12),(4,13),(1,0)]$$

---

$p=31$
位数:$32$

$$[(2,11),(7,13),(26,10),(4,27),(21,5),(18,24),(20,29),(0,30),(11,29),(13,24),(10,5),(27,27),(5,10),(24,13),(29,11),(30,0),(29,20),(24,18),(5,21),(27,4),(10,26),(13,7),(11,2),(0,1),(20,2),(18,7),(21,26),(4,4),(26,21),(7,18),(2,20),(1,0)]$$

---

$p=43$
位数:$44$

$$[(3,11),(17,23),(13,41),(18,8),(9,7),(36,34),(35,25),(2,30),(20,26),(32,40),(0,42),(11,40),(23,26),(41,30),(8,25),(7,34),(34,7),(25,8),(30,41),(26,23),(40,11),(42,0),(40,32),(26,20),(30,2),(25,35),(34,36),(7,9),(8,18),(41,13),(23,17),(11,3),(0,1),(32,3),(20,17),(2,13),(35,18),(36,9),(9,36),(18,35),(13,2),(17,20),(3,32),(1,0)]$$

---

$p=47$
位数:$48$

$$[(4,19),(31,11),(9,22),(41,24),(37,29),(20,20),(29,37),(24,41),(22,9),(11,31),(19,4),(0,1),(28,4),(36,31),(25,9),(23,41),(18,37),(27,20),(10,29),(6,24),(38,22),(16,11),(43,19),(46,0),(43,28),(16,36),(38,25),(6,23),(10,18),(27,27),(18,10),(23,6),(25,38),(36,16),(28,43),(0,46),(19,43),(11,16),(22,38),(24,6),(29,10),(20,27),(37,18),(41,23),(9,25),(31,36),(4,28),(1,0)]$$

---

$p=59$
位数:$60$

$$[(11,23),(5,34),(40,17),(49,45),(35,29),(13,3),(15,37),(22,44),(56,46),(30,24),(14,10),(42,19),(25,54),(36,48),(0,58),(23,48),(34,54),(17,19),(45,10),(29,24),(3,46),(37,44),(44,37),(46,3),(24,29),(10,45),(19,17),(54,34),(48,23),(58,0),(48,36),(54,25),(19,42),(10,14),(24,30),(46,56),(44,22),(37,15),(3,13),(29,35),(45,49),(17,40),(34,5),(23,11),(0,1),(36,11),(25,5),(42,40),(14,49),(30,35),(56,13),(22,15),(15,22),(13,56),(35,30),(49,14),(40,42),(5,25),(11,36),(1,0)]$$

---

$p=67$
位数:$68$

$$[(3,27),(17,28),(32,7),(41,14),(13,10),(37,46),(8,65),(11,9),(58,56),(2,59),(21,30),(57,54),(53,26),(60,35),(39,50),(40,64),(0,66),(27,64),(28,50),(7,35),(14,26),(10,54),(46,30),(65,59),(9,56),(56,9),(59,65),(30,46),(54,10),(26,14),(35,7),(50,28),(64,27),(66,0),(64,40),(50,39),(35,60),(26,53),(54,57),(30,21),(59,2),(56,58),(9,11),(65,8),(46,37),(10,13),(14,41),(7,32),(28,17),(27,3),(0,1),(40,3),(39,17),(60,32),(53,41),(57,13),(21,37),(2,8),(58,11),(11,58),(8,2),(37,21),(13,57),(41,53),(32,60),(17,39),(3,40),(1,0)]$$

---

$p=71$
位数:$72$

$$[(13,20),(53,23),(16,10),(8,24),(50,46),(14,36),(30,38),(56,29),(6,6),(29,56),(38,30),(36,14),(46,50),(24,8),(10,16),(23,53),(20,13),(0,1),(51,13),(48,53),(61,16),(47,8),(25,50),(35,14),(33,30),(42,56),(65,6),(15,29),(41,38),(57,36),(21,46),(63,24),(55,10),(18,23),(58,20),(70,0),(58,51),(18,48),(55,61),(63,47),(21,25),(57,35),(41,33),(15,42),(65,65),(42,15),(33,41),(35,57),(25,21),(47,63),(61,55),(48,18),(51,58),(0,70),(20,58),(23,18),(10,55),(24,63),(46,21),(36,57),(38,41),(29,15),(6,65),(56,42),(30,33),(14,35),(50,25),(8,47),(16,61),(53,48),(13,51),(1,0)]$$

---

$p=79$
位数:$80$

$$[(2,32),(7,49),(26,6),(18,54),(46,52),(8,75),(65,11),(15,48),(74,23),(44,44),(23,74),(48,15),(11,65),(75,8),(52,46),(54,18),(6,26),(49,7),(32,2),(0,1),(47,2),(30,7),(73,26),(25,18),(27,46),(4,8),(68,65),(31,15),(56,74),(35,44),(5,23),(64,48),(14,11),(71,75),(33,52),(61,54),(53,6),(72,49),(77,32),(78,0),(77,47),(72,30),(53,73),(61,25),(33,27),(71,4),(14,68),(64,31),(5,56),(35,35),(56,5),(31,64),(68,14),(4,71),(27,33),(25,61),(73,53),(30,72),(47,77),(0,78),(32,77),(49,72),(6,53),(54,61),(52,33),(75,71),(11,14),(48,64),(23,5),(44,35),(74,56),(15,31),(65,68),(8,4),(46,27),(18,25),(26,73),(7,30),(2,47),(1,0)]$$

---

$p=83$
位数:$84$

$$[(3,18),(17,25),(16,49),(79,20),(43,71),(13,74),(35,41),(31,6),(68,78),(45,47),(36,38),(5,15),(77,52),(42,48),(9,70),(12,40),(63,4),(34,67),(58,66),(65,80),(0,82),(18,80),(25,66),(49,67),(20,4),(71,40),(74,70),(41,48),(6,52),(78,15),(47,38),(38,47),(15,78),(52,6),(48,41),(70,74),(40,71),(4,20),(67,49),(66,25),(80,18),(82,0),(80,65),(66,58),(67,34),(4,63),(40,12),(70,9),(48,42),(52,77),(15,5),(38,36),(47,45),(78,68),(6,31),(41,35),(74,13),(71,43),(20,79),(49,16),(25,17),(18,3),(0,1),(65,3),(58,17),(34,16),(63,79),(12,43),(9,13),(42,35),(77,31),(5,68),(36,45),(45,36),(68,5),(31,77),(35,42),(13,9),(43,12),(79,63),(16,34),(17,58),(3,65),(1,0)]$$

---

感想など

「 日曜数学 Advent Calendar 2020 」に、以下のような素晴らしい言葉がありました。

こちらのお言葉に甘えて、少し語ろうと思います。

「なんで数学に興味を持ったんだろう？」と思い返してみると、「数って何だろう？」と思ったのが一つのきっかけだったように思います。
「毎日、微分や積分をしています！」とまではいかないまでも、お金の計算をしたり、物を数えたりというのは、多くの人が当たり前に日々やっていることです。

数は当たり前にあるもので、すごく便利だけれど、どうやら実態はなさそうだし、何だか不思議なものだなあ…と感じていました。「大学に行けば、何かわかるかもしれない」と思ったのは、数学を専攻する大きなモチベーションだったような気がします。

そのためなのか、代数学の講義を初めて受けたときは「知りたかったことをいっぱい教えてもらえた！！」と、とても嬉しくなりました。今まで自分が認識していた「数の世界」に奥行きが出て、まだ見たことのない世界へ誘われていくのを感じました。

３日前に群を知ったねこ や今回の記事は、初歩的なものかもしれませんが、あのときの「嬉しい！！」という気持ちを思い出せる題材なので、書いてみました。

初めて群や環や体と出会ったときのワクワク感は、何年経っても忘れられません！

2021年も、この記事を読んだみなさんが楽しく数学を学べますように。