級数解説08

2020/12/19に 白茶 さんが出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/1312

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=1}^\infty x^n\l\log\frac1{1-x}-\sum_{m=1}^n\frac{x^m}m \r\\ &=&\sum_{n=1}^\infty x^n\l\sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}m-\sum_{m=1}^n\frac{x^m}m \r\\ &=&\sum_{n=1}^\infty x^n\sum_{m=n+1}^\infty\frac{x^m}m\\ &=&\sum_{0\f n\f m}\frac{x^{n+m}}m\\ &=&\sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}m\sum_{n=1}^{m-1}x^n\\ &=&\frac x{1-x} \sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}m\l1-x^{m-1} \r\\ &=&\frac x{1-x}\sum_{m=1}^\infty\frac{x^m}m-\frac1{1-x}\sum_{m=1}^\infty\frac{x^{2m}}m\\ &=&-\frac x{1-x}\log(1-x)+\frac1{1-x}\log\l1-x^2\r\\ &=&\l1-\frac1{1-x}\r\log(1-x)+\frac1{1-x}\log(1-x)+\frac1{1-x}\log(1+x)\\ &=&\frac1{1-x}\log(1+x)+\log(1-x)\\ &=&\frac1{1-x}\log(1+x)-\log\frac1{1-x} \end{eqnarray*} $

よって、

$\d \sum_{n=1}^\infty x^n\l\log\frac1{1-x}-\sum_{m=1}^n\frac{x^m}m \r=\frac1{1-x}\log(1+x)-\log\frac1{1-x}$

が証明されました。