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級数解説08

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{i}[1]{\int_0^{#1}} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{qed}[0]{~~~~~~~~~~\square} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

2020/12/19に 白茶 さんが出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/1312

$$\d\sum_{n=1}^\infty x^n\l\log\frac1{1-x}-\sum_{m=1}^n\frac{x^m}m \r=\frac1{1-x}\log(1+x)-\log\frac1{1-x} $$

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=1}^\infty x^n\l\log\frac1{1-x}-\sum_{m=1}^n\frac{x^m}m \r\\ &=&\sum_{n=1}^\infty x^n\l\sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}m-\sum_{m=1}^n\frac{x^m}m \r\\ &=&\sum_{n=1}^\infty x^n\sum_{m=n+1}^\infty\frac{x^m}m\\ &=&\sum_{0\f n\f m}\frac{x^{n+m}}m\\ &=&\sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}m\sum_{n=1}^{m-1}x^n\\ &=&\frac x{1-x} \sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}m\l1-x^{m-1} \r\\ &=&\frac x{1-x}\sum_{m=1}^\infty\frac{x^m}m-\frac1{1-x}\sum_{m=1}^\infty\frac{x^{2m}}m\\ &=&-\frac x{1-x}\log(1-x)+\frac1{1-x}\log\l1-x^2\r\\ &=&\l1-\frac1{1-x}\r\log(1-x)+\frac1{1-x}\log(1-x)+\frac1{1-x}\log(1+x)\\ &=&\frac1{1-x}\log(1+x)+\log(1-x)\\ &=&\frac1{1-x}\log(1+x)-\log\frac1{1-x} \end{eqnarray*} $

よって、

$\d \sum_{n=1}^\infty x^n\l\log\frac1{1-x}-\sum_{m=1}^n\frac{x^m}m \r=\frac1{1-x}\log(1+x)-\log\frac1{1-x}$

が証明されました。

投稿日:20201219

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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