級数解説08

2020/12/19に 白茶 さんが出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/1312

[解説]

$\begin{array}{rcl}& & \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n(\log \frac{1}{1-x}-\sum _{m=1}^n\frac{x^m}{m})\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n(\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^m}{m}-\sum _{m=1}^n\frac{x^m}{m})\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\sum _{m=n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^m}{m}\\ & =& \sum _{0<n<m}\frac{x^{n+m}}{m}\\ & =& \sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^m}{m}\sum _{n=1}^{m-1}{x}^n\\ & =& \frac{x}{1-x}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^m}{m}(1-x^{m-1})\\ & =& \frac{x}{1-x}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^m}{m}-\frac{1}{1-x}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2m}}{m}\\ & =& -\frac{x}{1-x}\log (1-x)+\frac{1}{1-x}\log (1-x^2)\\ & =& (1-\frac{1}{1-x})\log (1-x)+\frac{1}{1-x}\log (1-x)+\frac{1}{1-x}\log (1+x)\\ & =& \frac{1}{1-x}\log (1+x)+\log (1-x)\\ & =& \frac{1}{1-x}\log (1+x)-\log \frac{1}{1-x}\end{array}$

よって、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n(\log \frac{1}{1-x}-\sum _{m=1}^n\frac{x^m}{m})=\frac{1}{1-x}\log (1+x)-\log \frac{1}{1-x}}$

が証明されました。