Mathias強制法入門

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Mathematical Logic Advent Calendar 2020 の21日目の記事です．

この記事ではMathias強制法の初歩の解説を行う．

Mathias強制法の定義

$M = {(s, A) : s \in [ω]^{< ω} & A \in [ω]^{ω} & max s < min A}$
で $M$ の元の間の順序は
$(t, B) \leq (s, A) ⟺ (s \subseteq t) & (B \subseteq A) & (t ∖ s \subseteq A)$
で定める．

$M$ をMathias強制法という．

$M$ の最大元は $(\emptyset, ω)$ でありこれを $1_{M}$ と書く．

Mathias強制法は $ω$ のある部分集合 $g$ (Mathias実数という)を追加する強制法であり，各条件 ( $M$ の元)はその追加する実数の近似と思える．

mathias mathias

まず， $s$ の元は $g$ に入れる． $s$ にも $A$ にも入っていない自然数は $g$ に入れない． $A$ に入っている自然数は $g$ に入れるかどうかは未定である．

このことをフォーマルに述べると次の通りだ．

$(V, M)$ ジェネリックフィルター $G$ に対して $g = ⋃ {s : (\exists A) ((s, A) \in G)} \subseteq ω$ とおく． $g$ をMathias実数という． $g$ を表す名前を $\dot{g} \in V^{M}$ とする．
このとき， $(s, A) \in M$ に対して
$(s, A) ⊩_{M} s \subseteq \dot{g} \subseteq s \cup A .$

$(s, A) \in M$ を含む $(V, M)$ ジェネリックフィルター $G$ をとる．

このとき， $g$ の定義から $s \subseteq g$ である．

また， $n \in g$ とすると $(t, B) \in G$ があって $n \in t$ である． $G$ はフィルタ―なので $(u, C) \leq (s, A), (t, B)$ をとれる． $M$ の順序の定義より $t \subseteq u$ なので $n \in u$ でもある． $n \in s$ ならば $n \in s \cup A$ となる． $n \notin s$ ならば $M$ の順序の定義より $n \in u ∖ s \subseteq A$ なので $n \in s \cup A$ である．よって，どちらにせよ $n \in s \cup A$ .

したがって強制定理により命題の主張を得る．

Mathias強制法はcccを満たさないが，Axiom Aという性質を満たし，したがってproperという性質を満たすことを注意しておく．

Mathias強制法はsplitting numberを上げる

$x, y \in [ω]^{ω}$ について $x$ が $y$ をsplitするとは $y \cap x$ と $y ∖ x$ がともに無限なことと定める．

Mathias実数はグラウンドモデルのどんな実数によってもsplitされない．すなわち次が成り立つ．

$1_{M} ⊩_{M} (\forall x \in P (ω) \cap V) (| \dot{g} \cap x | < ℵ_{0} or | \dot{g} ∖ x | < ℵ_{0})$

$V$ で議論する． $(s, A) \in M$ とし， $x \in P (ω)$ とする．
$A$ が無限集合なので $A \cap x$ と $A ∖ x$ の少なくともどちらかは無限である．

$A \cap x$ が無限ならば， $(s, A \cap x) ⊩_{M} (\dot{g} \subseteq s \cup (A \cap x))$ であるので， $(s, A \cap x) ⊩_{M} (\dot{g} ∖ x \subseteq (s \cup (A \cap x)) ∖ x \subseteq s)$ で $s$ は有限集合なので $(s, A \cap x) ⊩_{M} (| \dot{g} ∖ x | < ℵ_{0})$ .
$A ∖ x$ が無限ならば，同様に $(s, A ∖ x) ⊩_{M} (| \dot{g} \cap x | < ℵ_{0})$ となる．

$F \subseteq [ω]^{ω}$ がsplitting familyであるとは，どんな $Y \in [ω]^{ω}$ もある $X \in F$ によってsplitされることをいう．

$s = min {| F | : F \subseteq [ω]^{ω} はsplitting family}$
とおき， $s$ をsplitting numberという．

次は反復強制法やproper強制の性質を使うが，証明の概略は明快なので概略を述べる．

CHを仮定する．順序数 $α$ について $P_{α}$ をMathias強制法の $α$ 回の可算サポート反復とする．このとき
$P_{ω_{2}} ⊩ s = 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2} .$

iteration

概略

$(V, P_{ω_{2}})$ ジェネリックフィルター $G$ をとる． $V [G]$ の中で $A \subseteq [ω]^{ω}$ を $| A | \leq ω_{1}$ を満たすものとする．

CHの仮定と $M$ がサイズ連続体濃度のproper強制法なことから，proper強制法の性質により， $A$ は途中のステージ $V [G_{α}]$ (ただし $α < ω_{2}$ )で現れ，また $V [G]$ で $2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2}$ である．

$V [G_{α}]$ から $V [G_{α + 1}]$ へ行くときに追加されるMathias実数 $g$ を考える．このとき命題2より $V [G_{α + 1}]$ の中で，どんな $x \in A$ も $g$ をsplitしないことが分かる．二つの実数 $X, Y$ について「 $X$ が $Y$ をsplitする」という関係は絶対的であるので，同じことが $V [G]$ でも成り立つ．したがって， $V [G]$ の中で $A$ はsplitting familyではない．

$A$ は濃度 $ℵ_{1}$ 以下で任意にとっていたことから， $s > ℵ_{1}$ である．よって $2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2}$ より $s = ℵ_{2}$ である．

ほかの性質

Mathias強制法はdominating realを追加し，したがって $b$ を上げる
Mathias強制法はLaverの性質を持ち，したがって $cov (null)$ と $cov (meager)$ を小さくする
$V^{P_{ω_{2}}}$ ではBorel予想が成り立つ．

1はそれほど証明は難しくない．2の証明にはMathias forcingが"pure decision"という性質を持つことを使い，ちょっと議論が必要だ．3はさらに議論が必要．

余力があれば1と2についてこの記事に証明を追記したいと思う．特にpure decisionはMathias強制の最も重要な性質の一つなので書いておきたい思いはある．

今回書いた $s$ を上げるという事実と項目1と2により結局，Mathias強制法の $ω_{2}$ 回反復で次のような基数不変量の分離ができる．オレンジが $ℵ_{2}$ になる部分，水色が $ℵ_{1}$ になる部分である．薄いオレンジは $ℵ_{2}$ になるが，この記事では証明しない部分である．

invariants

cichon cichon

ただし1枚目の画像は参考文献1の図に色を付けたものである．

ZFCで証明できる不等式 $s \leq non (null)$ があることに注意しておく．よって $s$ が上がることから $non (null)$ も上がる．また， $e \leq cov (meager)$ という不等式もあるので， $cov (meager)$ が下がることから $e$ も下がる．

実は $P_{ω_{2}}$ が薄いオレンジの部分を上げることは既に証明を記事にしてある:

反復Mathias強制により基数hが大きくなること | Mathlog

参考文献

Blass A. (2010) Combinatorial Cardinal Characteristics of the Continuum. In: Foreman M., Kanamori A. (eds) Handbook of Set Theory. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-1-4020-5764-9_7

投稿日：2020年12月20日

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