1次元格子モデルの分配関数と転送行列

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この記事は数理物理 Advent Calendar 2020 20日目の記事です。

この記事では $1$ 次元周期的な格子モデルの分配関数とその転送行列について、その物理的背景には一切触れずに説明します。予備知識は行列の掛け算です。

本題である格子モデルの話に入る前に、比較的馴染みがあるであろう確率的な状態遷移を記述する確率漸化式と遷移行列についてのこちらの記事をお読みいただくと良いかもしれません。上の記事と以下の話は、格子の頂点が時刻、辺の重みが状態遷移の確率と考えることで対応がつきます。

もちろん、この記事単体で読んでいただいても差し支えありません。

格子モデルと分配関数

ここでは $1$ 次元の格子モデルを考える。整数で番号づけられた頂点の集合 $V$ があり、 $i, j \in V$ に対して $| i - j | = 1$ の場合のみ辺で結んだ図形を考える。要するに頂点が一列に並んでおり、隣り合った頂点が辺で結ばれている。
$\begin{array}{r} - 1 012 \end{array}$ 各頂点には状態を定める。取りうる状態の集合を $S$ とし、各頂点に状態を割り当てるものを配置と呼ぶ。状態を $1, 2$ のいずれかとすると $S = {1, 2}$ であり、例えば以下のように各頂点に状態 $1, 2$ を割り当てたものが配置である。
$\begin{array}{r} 1211 - 1 012 \end{array}$ 特にここでは周期的な配置のみを考えよう。周期を $N$ とすると、頂点 $i$ の状態と $i + N$ の状態が一致する。これが任意の $i$ について成り立つとき、配置の周期が $N$ であることとする。このような条件を満たす最小の $N$ であることは仮定しない。周期 $N$ の配置を決めるには頂点 $1, 2, \dots, N$ の状態を決めればよく、配置は写像 $λ : {1, 2, \dots, N} \to S$ であると考えることができる。周期 $N$ の格子を考える場合には、初めから正 $N$ 角形の頂点とその辺からなる図を考えても良い。

周期が $N = 2$ であれば、偶数番目の頂点の状態と奇数番目の頂点の状態をそれぞれ指定することで配置が定まる。

つまり $λ (1), λ (2) \in S$ を指定することで配置が定まる。

$S = {1, 2}$ であれば配置は以下の $4$ 通りが考えられる。 $\begin{array}{r} 1111 - 1 012 \\ 1212 - 1 012 \\ 2121 - 1 012 \\ 2222 - 1 012 \end{array}$

各辺にその辺の両端の状態のみに依存して重みが定まる。両端の状態が $i, j \in S$ であるとき、 $T_{i j}$ がその辺の重みとする。これは配置には依存せず、辺の両端の状態のみによって定まるものである。例えば以下の配置に対して、各辺には重みが図のように定まる。
$\begin{array}{r} 1121 - 1 T_{11} 0 T_{12} 1 T_{21} 2 \end{array}$

エネルギー

周期 $N$ の配置 $λ$ に対してそのエネルギーを、配置の各辺の重みの積
$\begin{array}{r} \sum_{i = 1}^{N} T_{λ (1) λ (2)} T_{λ (2) λ (3)} \dots T_{λ (N) λ (1)} \end{array}$ で定める。

$N = 2$ のとき、配置を $λ (1) = a, λ (2) = b$ とする辺に割り当てられた重みは $T_{a b}, T_{b a}$ であり、この配置のエネルギーは $\begin{array}{r} T_{a b} T_{b a} \end{array}$ である。 $\begin{array}{r} a b a b T_{b a} - 1 T_{a b} 0 T_{b a} 1 T_{a b} 2 T_{b a} \end{array}$ $N = 3$ のとき、配置を $λ (1) = a, λ (2) = b, λ (3) = c$ とすると辺に割り当てられた重みは $T_{a b}, T_{b c}, T_{c a}$ であり、この配置のエネルギーは $\begin{array}{r} T_{a b} T_{b c} T_{c a} \end{array}$ である。 $\begin{array}{r} b c a b T_{a b} - 1 T_{b c} 0 T_{c a} 1 T_{a b} 2 T_{b c} \end{array}$

配置の実現する確率をエネルギーに比例させたモデルを考えよう。そのための正規化定数を $Z$ とし、これを分配関数と呼ぶ。

分配関数

周期 $N$ で状態の集合 $S$ の格子モデルに対し、その分配関数 $Z$ は全ての配置 $λ$ に渡ったエネルギーの和
$\begin{array}{r} Z = \sum_{λ} \sum_{i = 1}^{N} T_{λ (1) λ (2)} T_{λ (2) λ (3)} \dots T_{λ (N) λ (1)} \end{array}$ である。

$N = 2$ で状態の集合が $S = {1, 2}$ のとき、考えうる配置は $4$ 通りあり、分配関数は $\begin{array}{r} Z = T_{11} T_{11} + T_{12} T_{21} + T_{21} T_{12} + T_{22} T_{22} \end{array}$ である。 $\begin{array}{r} 1111 T_{11} - 1 T_{11} 0 T_{11} 1 T_{11} 2 T_{11} \\ 1212 T_{21} - 1 T_{12} 0 T_{21} 1 T_{12} 2 T_{21} \\ 2121 T_{12} - 1 T_{21} 0 T_{12} 1 T_{21} 2 T_{12} \\ 2222 T_{22} - 1 T_{22} 0 T_{22} 1 T_{22} 2 T_{22} \end{array}$

転送行列

以下では状態は有限通りで $S = {1, 2, \dots, n}$ と名前をつける。

ここでは上で定めた分配関数 $Z$ を転送行列と呼ばれる行列 $T$ によって表示する。目的の式は、

$N$ を周期として分配関数 $Z$ が行列 $T$ を用いて
$\begin{array}{r} Z = tr (T^{N}) \end{array}$ と表される

ことである。

ここで転送行列とは格子モデルの重み $T_{i j}$ を用いて $\begin{array}{r} T = (\begin{array}{c} T_{11} & \dots & T_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ T_{n 1} & \dots & T_{n n} \end{array}) \end{array}$ で定まる行列のこと。この行列の成分である $T_{i j}$ は、辺の左の状態が $i \in S$ で右の状態が $j \in S$ である場合の重みであった。この行列は配置に依存せず、状態とそれらの重みのみで定まっていることに注意しよう。

まずは周期や状態数が小さい場合に様子を見てみよう。

$2$ 状態で $N = 2$ の場合をまずは考える。転送行列 $T$ は $\begin{array}{r} T = (\begin{array}{c} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{array}) \end{array}$ である。この行列 $T$ に対し、 $\begin{array}{rcl} T^{2} & = & (\begin{array}{c} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{array}) (\begin{array}{c} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} T_{11} T_{11} + T_{12} T_{21} & T_{11} T_{12} + T_{12} T_{22} \\ T_{21} T_{11} + T_{22} T_{21} & T_{21} T_{12} + T_{22} T_{22} \end{array}) \end{array}$ だから、 $\begin{array}{r} tr (T^{2}) = T_{11} T_{11} + T_{12} T_{21} + T_{21} T_{12} + T_{22} T_{22} \end{array}$ である。

これが $4$ 種類の配置 $(λ (1), λ (2)) = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)$ のエネルギーの総和となり、分配関数 $\begin{array}{r} Z = T_{11} T_{11} + T_{12} T_{21} + T_{21} T_{12} + T_{22} T_{22} \end{array}$ と一致する。上の計算を一般化を見据えて書き直すと、 $\begin{array}{rcl} tr (T^{2}) & = & \sum_{i = 1}^{2} (T^{2})_{i i} \\ = & \sum_{i = 1}^{2} (\sum_{j = 1}^{2} T_{i j} T_{j i}) \\ = & \sum_{1 \leq i, j \leq 2} T_{i j} T_{j i} \\ = & T_{11} T_{11} + T_{12} T_{21} + T_{21} T_{12} + T_{22} T_{22} \\ = & Z \end{array}$ となる。

上の計算は状態数や周期をより大きくしても同様にできる。まずは状態数を増やしてみる。

$N = 2$ で状態数 $n$ をふやす。配置 $V \to S$ は $n^{2}$ 通りある。

配置 $(λ (1), λ (2))$ のエネルギーは $\begin{array}{r} T_{λ (1) λ (2)} T_{λ (1) λ (2)} \end{array}$ であり、その総和は $\begin{array}{rcl} Z & = & \sum_{λ} T_{λ (1) λ (2)} T_{λ (2) λ (1)} \\ = & T_{11} T_{11} + T_{12} T_{21} + \dots + T_{1 n} T_{n 1} + \dots + T_{n 1} T_{1 n} + \dots + T_{n n} T_{n n} \end{array}$ である。転送行列 $\begin{array}{r} T = (\begin{array}{c} T_{11} & \dots & T_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ T_{n 1} & \dots & T_{n n} \end{array}) \end{array}$ に対して、 $\begin{array}{rcl} T^{2} & = & (\begin{array}{c} T_{11} & \dots & T_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ T_{n 1} & \dots & T_{n n} \end{array}) (\begin{array}{c} T_{11} & \dots & T_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ T_{n 1} & \dots & T_{n n} \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} T_{11} T_{11} + \dots + T_{1 n} T_{n 1} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ \dots & T_{n 1} T_{1 n} + \dots + T_{n n} T_{n n} \end{array}) \end{array}$ となる。そのトレースは $\begin{array}{rcl} tr (T^{2}) & = & \sum_{i = 1}^{n} (T^{2})_{i i} \\ = & \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} T_{i j} T_{j i}) \end{array}$ となり、全ての配置についてのエネルギーの総和 $\begin{array}{r} Z = T_{11} T_{11} + T_{12} T_{21} + \dots + T_{1 n} T_{n 1} + \dots + T_{n 1} T_{1 n} + \dots + T_{n n} T_{n n} \end{array}$ と一致する。

次に状態数は $2$ のままで周期 $N$ をふやそう。配置は $2^{N}$ 通りある。

もう一度 $N = 2$ のときを復習すると、転送行列 $T$ に対して $T^{N} = T^{2}$ の成分は
$\begin{array}{rc} (T^{2})_{i j} & = \sum_{k = 1}^{n} T_{i k} T_{k j} \end{array}$ であり、そのトレースは
$\begin{array}{rcl} tr (T^{2}) & = & (T^{2})_{11} + (T^{2})_{22} \\ = & T_{11} T_{11} + T_{12} T_{21} + T_{21} T_{12} + T_{22} T_{22} \end{array}$ となって、分配関数と転送行列のベキのトレースが一致する。

$N = 3$ の場合、 $8$ 通りの配置 $\begin{array}{r} (λ (1), λ (2), λ (3)) = (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2) \end{array}$ に対し、それらのエネルギーを順番に足すことで $\begin{array}{r} Z = T_{11} T_{11} T_{11} + T_{11} T_{12} T_{21} + T_{12} T_{21} T_{11} + T_{12} T_{22} T_{21} + T_{21} T_{11} T_{12} + T_{21} T_{12} T_{22} + T_{22} T_{21} T_{12} + T_{22} T_{22} T_{22} \end{array}$ となる。転送行列 $T$ について、 $T^{N} = T^{3}$ は $\begin{array}{rcl} T^{3} & = & T^{2} T \\ = & (\begin{array}{c} T_{11} T_{11} + \dots + T_{1 n} T_{n 1} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ \dots & T_{n 1} T_{1 n} + \dots + T_{n n} T_{n n} \end{array}) (\begin{array}{c} T_{11} & \dots & T_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ T_{n 1} & \dots & T_{n n} \end{array}) \end{array}$ であり、これの $i, j$ 成分を整理して書くと
$\begin{array}{rcl} (T^{3})_{i j} & = & \sum_{k = 1}^{n} (T^{2})_{i k} T_{k j} \\ = & \sum_{k = 1}^{n} (\sum_{l = 1}^{n} T_{i l} T_{l k}) T_{k j} \\ = & \sum_{k, l} T_{i l} T_{l k} T_{k j} \end{array}$ となる。

したがって、トレースは $\begin{array}{rcl} tr (T^{3}) & = & (T^{3})_{11} + (T^{3})_{22} \\ = & \sum_{k, l} T_{1 l} T_{l k} T_{k 1} + \sum_{k, l} T_{2 l} T_{l k} T_{k 2} \\ = & (T_{11} T_{11} T_{11} + T_{12} T_{21} T_{11} + T_{11} T_{12} T_{21} + T_{12} T_{22} T_{21}) + (T_{21} T_{11} T_{12} + T_{22} T_{21} T_{12} + T_{21} T_{12} T_{22} + T_{22} T_{22} T_{22}) \end{array}$ となり、 $Z$ と一致する。

周期 $N$ と状態数 $n$ を一般にしても同様に考えることができる。例えば配置 $(λ (1), λ (2), λ (3), λ (4), λ (5), \dots, λ (N - 1), λ (N)) = (1, 2, 1, 1, 2, \dots, 2, 1)$ に対し、そのエネルギーは
$\begin{array}{r} T_{12} T_{21} T_{11} T_{12} \dots T_{21} T_{11} \end{array}$ となる。 $T$ の $N$ 乗の $(i, j)$ 成分は $\begin{array}{rc} (T^{N})_{i j} & = \sum_{1 \leq k_{1}, k_{2}, \dots, k_{N - 1} \leq n} T_{i k_{1}} T_{k_{1} k_{2}} \dots T_{k_{N - 1} j} \end{array}$ となり、周期条件付きなので $i = j$ の場合のみを考えることになる。それらの合計が行列のトレースなので、結局

$\begin{array}{rcl} tr (T^{N}) & = & \sum_{i = 1}^{n} (T^{N})_{i i} \\ = & \sum_{i = 1}^{n} \sum_{1 \leq k_{1}, k_{2}, \dots, k_{N - 1} \leq n} T_{i k_{1}} T_{k_{1} k_{2}} \dots T_{k_{N - 1} i} \\ = & Z \end{array}$