dg圏におけるテンソル関手の左導来関手が圏同値関手となるための必要十分条件

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言葉の意味と記号について

この記事では，記号を以下の意味で使用します．
$k$ : 可換環
$C_{dg} (k)$ : $k$ 上の加群の複体からなるdg圏
$C_{dg} (C)$ : dg圏 $C$ から $C_{dg} (k)$ への（反変）dg関手からなるdg圏
$D (C)$ : dg圏 $C$ の導来圏
$per C$ : (米田埋め込みにより同一視された) $C$ を含み直和因子で閉じる $D (C)$ の最小の三角部分圏（ $C$ のperfect derived category）
${Loc}_{T} T$ : $T$ の対象のsubset $T$ を含む最小のlocalizing部分圏
準備として，acyclic，K射影的，右K射影的を定義します．

acyclic

$A$ をdg圏とする． $X \in C_{dg} (A)$ がacyclicであるとは，任意の $A \in A$ に対して $X (A)$ が複体の意味でacyclicであることをいう．

K射影的

$A$ をdg圏とする． $X \in C_{dg} (A)$ がK射影的であるとは，任意の $C_{dg} (A)$ のacyclicな対象 $Y$ に対して $C_{dg} (A) (X, Y) \in C_{dg} (k)$ が複体としてacyclicであることをいう．

右K射影的

$A, B$ をdg圏とする． $X \in C_{dg} (A^{op} \otimes B)$ が右K射影的であるとは，任意の $A \in A$ に対して $X (-, A)$ がK射影的であることをいう．

右K射影的な対象の例

$A, B$ をdg圏， $F : A \to B$ をdg関手とする．このとき， $B (-, F (-)) \in C_{dg} (A^{op} \otimes B)$ は右K射影的である．実際，任意の $A \in A$ を代入すると $B (-, F (A))$ となる．これを $F (A)^{\land}$ と表すことにすると，任意のacyclicな対象 $Y \in C_{dg} (B)$ に対して，米田の補題から $C_{dg} (B) (F (A)^{\land}, Y) ≃ Y F (A)$ であり， $Y$ がacyclicであるから両辺 $n$ 次のホモロジーを取ることで $H^{n} (C_{dg} (B) (F (A)^{\land}, Y)) = 0$ が成立し， $F (A)^{\land}$ はK射影的である．よって $B (-, F (-)) \in C_{dg} (A^{op} \otimes B)$ は右K射影的であることがわかる．

$X \in C_{dg} (A^{op} \otimes B)$ は反変dg関手であるため， $X : (A^{op} \otimes B)^{op} \to C_{dg} (k)$ ですが，ここでは $(A^{op} \otimes B)^{op}$ を $B^{op} \otimes A$ と同一視して $A \in A, B \in B^{op}$ に対して $X (B, A)$ の形で表記すると約束しておきます．

記事の概要

今回の主題は以下の定理です．テンソル関手の左導来関手が圏同値関手である条件を与えます．

[Kel94, Section 6.1]

$X \in C_{dg} (A^{op} \otimes B)$ を右K射影的な対象とする．このとき，
$\begin{array}{r} - \otimes_{A}^{L} X : D (A) \to D (B) \end{array}$
が圏同値関手であることと次の3条件が全て成立することが同値である．
(a) 任意の $A, B \in A$ について，
$\begin{array}{r} A (A, B) \to C_{dg} (B) (X (-, A), X (-, B)) \end{array}$
が擬同型．
(b) 任意の $A \in A$ に対して， $X (-, A) \in per B$ .
(c) $C = {X (-, A) ∣ A \in A}$ とする．このとき， ${Loc}_{D (B)} C = D (B)$ が成立している．

ただし，(a)における $A (A, B)$ のホモロジーは米田の補題で同一視した $C_{dg} (A) (A^{\land}, B^{\land})$ のものを考えます．これは dg圏の導来圏におけるcompact generatorと圏同値性の定理1の応用です．

準備

まず準備から入ります．

[Kel94, Section 6.1]

任意の $A \in A$ と $X \in C_{dg} (A^{op} \otimes B)$ に対して， $K (B)$ における同型
$\begin{array}{r} A^{\land} \otimes_{A} X ≃ X (-, A) \end{array}$
が成立する．

随伴性と米田の補題から
$\begin{aligned} C_{dg} (B) (A^{\land} \otimes_{A} X, -) & ≃ C_{dg} (A) (A^{\land}, {Hom}_{B} (X, -)) \\ ≃ {Hom}_{B} (X, -) (A) \\ = C_{dg} (B) (X (-, A), -) \end{aligned}$
したがって，両辺0次ホモロジーを取って，米田の補題から $A^{\land} \otimes_{A} X ≃ X (-, A)$ を得る．

定理1の証明と具体例

本題の証明に入ります．

定理1

dg圏の導来圏におけるcompact generatorと圏同値性の定理1から， $- \otimes_{A}^{L} X : D (A) \to D (B)$ が圏同値であることと次の3条件が同値である．
(a') 任意の $A, B \in A$ と $n \in Z$ に対して
$\begin{array}{r} F : D (A) (A^{\land}, B^{\land} [n]) ≃ D (B) (A^{\land} \otimes_{A}^{L} X, B^{\land} [n] \otimes_{A}^{L} X), \end{array}$
(b') 任意の $A \in A$ に対して， $A^{\land} \otimes_{A}^{L} X \in per B$ である,
(c') ${A^{\land} \otimes_{A}^{L} X \in D (B) ∣ \forall A \in A}$ は $D (B)$ のgeneratorである．
ここで， $A^{\land}$ のK射影性（例1を参照）から $A^{\land} \otimes_{A}^{L} X = A^{\land} \otimes_{A} X$ であり，さらに命題2から $A^{\land} \otimes_{A} X ≃ X (-, A)$ である．よって，(b'),(c')はそれぞれ定理1の(b),(c)と同値である．よって，(a')と(a)の同値性を示せば良い．(a)の両辺 $n$ 次コホモロジーを取った表示が(a')となることが $A^{\land}$ のK射影性と $X (-, A)$ のK射影性からわかるので示された．

定理1の具体例

$A, B$ をdg圏， $F : A \to B$ をdg関手とする． $X := B (-, F (-)) \in C_{dg} (A^{op} \otimes B)$ は右K射影的であることは例1で見た．このとき，定理1から $F$ がquasi-fully faitufulである（すなわち $F : A (A, B) \to B (F A, F B)$ が擬同型）であり， ${F A^{\land} ∣ A \in A}$ のlocalizing subcategoryが $D (B)$ に一致していることと， $- \otimes_{A}^{L} X : D (A) \to D (B)$ が圏同値であることは同値である．実際，前者の条件は $B (F A, F B) ≃ C_{dg} (B) (F A^{\land}, F B^{\land}) = C_{dg} (B) (X (-, A), X (-, B))$ から(a)の条件を満たしていることがわかり，(b)と(c)の条件は $F A^{\land}$ のcompact性とそのlocalizing subcategoryが全体に一致しているところから従う．