[問題編]領域の面積を4等分する2直線の組に関する補題

皆さんはじめまして，つむりと申します．早速ですが，挨拶代わりの問題を一つ．
厳密な議論をするなら高校範囲をやや逸脱しますが，それでも証明のアイディアの核心部分は理解できるかと思います．
解答編は こちら

問題

注) $D$は有界凸であることからJordan可測であり面積が定まります．

ヒント$1$

存在定理の一つ，中間値の定理を使うことを考えます．

ヒント$2$

どうやって関数をつくるかが肝ですが，変数の取り方についてのヒントを．同時に$2$等分する直線が存在すれば必ず$D$の内部の$1$点で$l$と交わります．