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[問題編]領域の面積を4等分する2直線の組に関する補題

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皆さんはじめまして,つむりと申します.早速ですが,挨拶代わりの問題を一つ.
厳密な議論をするなら高校範囲をやや逸脱しますが,それでも証明のアイディアの核心部分は理解できるかと思います.
解答編は こちら

問題

ユークリッド平面上に有界閉凸領域$D$と直線$l$がある.ただし,$D$の面積は$0$でないとする.
$l$によって$D$が面積の等しい$2$つの領域$D_1,D_2$に分けられているとき,$D_1,D_2$の面積を同時に2等分する直線がただ一つ存在することを示せ.
diagram3 diagram3

注) $D$は有界凸であることからJordan可測であり面積が定まります.

ヒント$1$

存在定理の一つ,中間値の定理を使うことを考えます.

ヒント$2$

どうやって関数をつくるかが肝ですが,変数の取り方についてのヒントを.同時に$2$等分する直線が存在すれば必ず$D$の内部の$1$点で$l$と交わります.

投稿日:20201226

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投稿者

つむり
つむり
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22017
図形っぽいこと? あまり専門的な話題について書くつもりはありません. interested in 位相幾何/群論

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