減少関数に関するEuler-Maclaurinの定理

Euler-Maclaurinの定理

この記事においてのEuler-Maclaurinの定理とは, 次を指すものとする.

$f$が有界閉区間でRiemann積分可能であることを認めているかに思えるが, 実はその必要はない. 実際, Lealzさんの記事 で, 有界閉区間上の減少関数は積分可能であることが証明されている.
定理$1$の後半において$x\to \mathrm{\infty }$を考えれば, $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k)$が収束することと${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(t)dt$が収束することは同値なことが分かる. そのため, この定理はDirichlet級数の絶対収束域を求めるのにしばしば利用される.

例1を示そう. $s$の実部を$\sigma$とおいて定理$1$の後半を適用すれば, 実数$x$に対して
$$\begin{array}{r}{\int }_1^x\frac{1}{t^{\sigma }}dt\le \sum _{1\le n\le x}\frac{1}{n^{\sigma }}\le 1+{\int }_1^x\frac{1}{t^{\sigma }}dt\end{array}$$
が成り立つので, ${\int }_1^x{t}^{-\sigma }dt$の$x\to \mathrm{\infty }$における収束域を求めればよい.
$$\begin{array}{rl}{\int }_1^x\frac{1}{t^{\sigma }}dt& =\{\begin{array}{cc}{\left[\frac{t^{1-\sigma }}{1-\sigma }\right]}_1^x& (\sigma \ne 1)\\ {[\log t]}_1^x& (\sigma =1)\end{array}\\ & =\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sigma -1}-\frac{x^{1-\sigma }}{\sigma -1}& (\sigma \ne 1)\\ \log x& (\sigma =1)\end{array}\end{array}$$
だから, $x\to \mathrm{\infty }$で収束するのは$\sigma >1$の場合に限る.

このようにして, 特定のDirichlet級数の絶対収束域を求めることができる. では, 定理$1$の証明に移ろう.

参考：共立講座 数学の輝き$6$ 素数とゼータ関数, 小山信也, 共立出版.