極限の解説

この記事では, 先日, 白茶さんという方がツイートされていた, 以下の極限の証明を書いてみようと思います.

ファールハーバーの公式を使います. その証明については こちら をご覧ください.

即ち, ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^m=\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})(-1{)}^k{B}_k{n}^{m+1-k}}$ ですから,

$$\frac{1}{n^n}\sum _{k=1}^n{k}^n=\frac{n}{n+1}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})\frac{(-1{)}^k{B}_k}{n^k}$$
となります.

各$k$に対して, $n\to \mathrm{\infty }$ のとき ${\displaystyle \frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})}{n^k}\to \frac{1}{k!}}$ なので, この差を評価してみます.

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{k!}-\frac{n}{n+1}\cdot {\displaystyle \frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})}{n^k}}& =& \frac{1}{k!}(1-\frac{n\cdot n!}{n^k(n+1-k)!})\\ 0<\frac{n\cdot n!}{n^k(n+1-k)!}& =& \frac{n}{n}\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \cdots \cdot \frac{n-k+2}{n}\\ & \le & 1\end{array}$$
これが $0\le k\le n$ で成り立ちます.

さらに, $3\le k$で

$$\begin{array}{rcl}\log \frac{n\cdot n!}{n^k(n+1-k)!}& =& \log (1-\frac{1}{n})+\log (1-\frac{2}{n})+\cdots +\log (1-\frac{k-2}{n})\\ & <& -\frac{1}{n}-\frac{2}{n}-\cdots -\frac{k-2}{n}\\ & <& -\frac{(k-2{)}^2}{2n}\end{array}$$
が成り立ちます.

これと ${\displaystyle e^x\le x+1}$ を併せて,

$$0\le 1-\frac{n\cdot n!}{n^k(n+1-k)!}<\frac{(k-2{)}^2}{2n}$$

さらに, $k=0,1,2$ でも成り立つように, もっと評価を甘くして

$$0\le 1-\frac{n\cdot n!}{n^k(n+1-k)!}<\frac{(k+1{)}^2}{n}$$

とします. (これは$k>\sqrt{n}$のときは自明で意味がないですが.)

以上より,

$$\begin{array}{rcl}|\frac{1}{n^n}\sum _{k=1}^n{k}^n-\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k{B}_k}{k!}|& =& |\frac{n}{n+1}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})\frac{(-1{)}^k{B}_k}{n^k}-\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k{B}_k}{k!}|\\ & \le & \sum _{k=0}^n|1-\frac{n\cdot n!}{n^k(n+1-k)!}|\frac{|B_k|}{k!}\\ & <& \frac{1}{n}\sum _{k=0}^n(k+1{)}^2\frac{|B_k|}{k!}\end{array}$$

ところで ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{n!}{x}^n}$ の収束半径は$2\pi$ですから, 上の最後の行のΣの部分は, $n\to \mathrm{\infty }$ で定数に収束します. よって結局,

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{1}{n^n}\sum _{k=1}^n{k}^n-\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k{B}_k}{k!}|=0$$
即ち,

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^n& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k{B}_k}{k!}\\ & =& \frac{e}{e-1}\end{array}$$

と, 求められました.