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極限の解説

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この記事では, 先日, 白茶さんという方がツイートされていた, 以下の極限の証明を書いてみようと思います.

limnk=1n(kn)n=ee1

ファールハーバーの公式を使います. その証明については こちら をご覧ください.

即ち, k=1nkm=1m+1k=0m(m+1k)(1)kBknm+1k ですから,

1nnk=1nkn=nn+1k=0n(n+1k)(1)kBknk
となります.

kに対して, n のとき (n+1k)nk1k! なので, この差を評価してみます.

1k!nn+1(n+1k)nk=1k!(1nn!nk(n+1k)!)0<nn!nk(n+1k)!=nnnnn1nnk+2n1
これが 0kn で成り立ちます.

さらに, 3k

lognn!nk(n+1k)!=log(11n)+log(12n)++log(1k2n)<1n2nk2n<(k2)22n
が成り立ちます.

これと exx+1 を併せて,

01nn!nk(n+1k)!<(k2)22n

さらに, k=0,1,2 でも成り立つように, もっと評価を甘くして

01nn!nk(n+1k)!<(k+1)2n

とします. (これはk>nのときは自明で意味がないですが.)

以上より,

|1nnk=1nknk=0n(1)kBkk!|=|nn+1k=0n(n+1k)(1)kBknkk=0n(1)kBkk!|k=0n|1nn!nk(n+1k)!||Bk|k!<1nk=0n(k+1)2|Bk|k!

ところで n=0Bnn!xn の収束半径は2πですから, 上の最後の行のΣの部分は, n で定数に収束します. よって結局,

limn|1nnk=1nknk=0n(1)kBkk!|=0
即ち,

limnk=1n(kn)n=limnk=0n(1)kBkk!=ee1

と, 求められました.

投稿日:20201227
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投稿者

東大数理M1

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