極限の解説

この記事では, 先日, 白茶さんという方がツイートされていた, 以下の極限の証明を書いてみようと思います.

ファールハーバーの公式を使います. その証明については こちら をご覧ください.

即ち, $\ds\sum_{k=1}^nk^m=\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^m\binom{m+1}{k}(-1)^kB_k\,n^{m+1-k}$ ですから,

$$\frac1{n^n}\sum_{k=1}^nk^n=\frac{n}{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n+1}{k}\frac{(-1)^kB_k}{n^k}$$
となります.

各$k$に対して, $n\to\infty$ のとき $\ds\frac{\binom{n+1}{k}}{n^k}\to\frac1{k!}$ なので, この差を評価してみます.

$$\beq \frac1{k!}-\frac{n}{n+1}\cdot\ds\frac{\binom{n+1}{k}}{n^k}&=&\frac1{k!}\left(1-\frac{n\cdot n!}{n^k(n+1-k)!}\right)\\[5pt] 0<\frac{n\cdot n!}{n^k(n+1-k)!}&=&\frac nn\cdot\frac nn\cdot\frac{n-1}n\cdot\cdots\cdot\frac{n-k+2}{n}\\[5pt] &\leq&1 \eeq$$
これが $0\leq k\leq n$ で成り立ちます.

さらに, $3\leq k$で

$$\beq \log\frac{n\cdot n!}{n^k(n+1-k)!}&=&\log\left(1-\frac1n\right)+\log\left(1-\frac2n\right)+\cdots+\log\left(1-\frac{k-2}n\right)\\[5pt] &<&-\frac1n-\frac2n-\cdots-\frac{k-2}n\\[5pt] &<&-\frac{(k-2)^2}{2n} \eeq$$
が成り立ちます.

これと $\ds e^x\leq x+1$ を併せて,

$$0\leq1-\frac{n\cdot n!}{n^k(n+1-k)!}<\frac{(k-2)^2}{2n}$$

さらに, $k=0,1,2$ でも成り立つように, もっと評価を甘くして

$$0\leq1-\frac{n\cdot n!}{n^k(n+1-k)!}<\frac{(k+1)^2}{n}$$

とします. (これは$k>\sqrt{n}$のときは自明で意味がないですが.)

以上より,

$$\beq \Bigg|\frac1{n^n}\sum_{k=1}^nk^n-\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kB_k}{k!}\Bigg|&=&\Bigg|\frac{n}{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n+1}{k}\frac{(-1)^kB_k}{n^k}-\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kB_k}{k!}\Bigg|\\[5pt] &\leq&\sum_{k=0}^n\left|1-\frac{n\cdot n!}{n^k(n+1-k)!}\right|\frac{|B_k|}{k!}\\[5pt] &<&\frac1{n}\sum_{k=0}^n(k+1)^2\frac{|B_k|}{k!} \eeq$$

ところで $\ds\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n$ の収束半径は$2π$ですから, 上の最後の行のΣの部分は, $n\to\infty$ で定数に収束します. よって結局,

$$\limn\Bigg|\frac1{n^n}\sum_{k=1}^nk^n-\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kB_k}{k!}\Bigg|=0$$
即ち,

$$\beq \limn\sumk\left(\frac kn\right)^n&=&\limn\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kB_k}{k!}\\[5pt] &=&\frac{e}{e-1} \eeq$$

と, 求められました.

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