類数公式の証明

任意の$x\in X$と$a>0$について$N(ax)=a^nN(x)\neq0$、$\arg(ax_1)=\arg x_1$、$l(ax)=(\log a)\l+l(x)$なので$ax\in X$となる。また$N(p(1))=N_{K/\Q}(1)=1$、$\arg(1)=0$、$l(1)=0$であるから$p(1)\in X$つまり$X\neq\emptyset$がわかる。

$l(y)=\g\l+\sum_{k=1}^r\g_kl(\e_k)$と表したとき、$\e'=\prod^r_{k=1}\e_k^{\lfloor\g_k\rfloor},\;\g'_k=\g_k-\lfloor\g_k\rfloor$とおくと
$l(yp(\e')^{-1})=\g\l+\sum_{k=1}^r\g'_kl(\e_k)\;(0\leq\g'_k<1)$
となる。また$yp(\e')^{-1}$の第一成分の偏角を$\varphi$とおき、$\dis 0\leq \varphi-\frac{2\pi k}{w_K}<\frac{2\pi}{w_K}$なる整数$k$および$\s_1(\z)=e^{\frac{2\pi i}{w_K}}$なる$1$の原始$w_K$乗根$\z$を取り$x=yp(\z^{k}\e')^{-1},\e=\z^k\e'$とおくと$x\in X$および$\e\in\O_K^\times$であって$y=xp(\e)$が成り立つ。

また$y=xp(\e)=x'p(\e')$なる二通りの表示があったとき、$l(y)=l(x)+l(\e)=l(x')+l(\e')$の$l(\e_k)$の係数を比較すると$l(\e)=l(\e')$でなければならず、 この記事 の補題2から$\Ker(l\circ p)=W_K$となることに注意するとある$\z\in W_K$に$\e'=\z\e'$つまり$p(\e')=p(\z)p(\e)$となる。
　いま$x=x'p(\z)$であって、この両辺の第一成分の偏角を比較すると$0\leq\arg\s_1(\z)<2\pi/w_K$でなくてはならないが$\s_1(\z)^{w_K}=1$なので$\s_1(z)=1$つまり$\z=1$となり、$x=x'p(\z)=x',\;\e'=\z\e=\e$を得る。

任意の$\O_K$の元$\b\neq0$について$\b=\e\a$であって$p(\a)\in X$なる$\a\in\O_K$がただ一つ存在することを示せばよい。
　そのことは$p(\b)=xp(\e)$とし、$\a=\e^{-1}\b$とおくと$p(\a)=x\in X$が成り立ち、また$p(\e'\a)\in X$ならば$p(\e'\a)p(1)=xp(\e')$なので表現の一意性から$\e'=1$でなくてはならないことからわかる。

いま$\mf{M}\cap X$の全ての元を$F$による像が小さい順に並べ替えたものを$\{x_k\}$とおき、$r_k=\sqrt[n]{F(x_k)}$とおく。
このとき$F,T$および$\{x_k\}$の取り方より$x_1,x_2,\ldots,x_k$は全て$r_kT$に含まれることになる。よって$N(r_k)\geq k$が成り立つ。
また任意の$\e>0$について$x_k$は$(r_k-\e)T$に属さないので$N(r_k-\e)< k$となり、これらを$r_k^n=F(x_k)$で割ることで
$\dis\frac{N(r_k-\e)}{(r_k-\e)^n}\left(\frac{r_k-\e}{r_k}\right)^n<\frac{k}{F(x_k)}\leq\frac{N(r_k)}{r_k^n}$
つまり
$\dis\lim_{k\to\infty}\frac{k}{F(x_k)}=\frac{v_T}{\Delta}$
を得る。

さていま任意の$\e>0$にある$k_0$があって$k\geq k_0$で
$\dis\left(\frac{v_T}{\Delta}-\e\right)\frac1k<\frac{1}{F(x_k)}<\left(\frac{v_T}{\Delta}+\e\right)\frac1k$
これを$s>1$乗して足し合わせることで
$\dis\left(\frac{v_T}{\Delta}-\e\right)^s\sum^\infty_{k=k_0}\frac1{k^s}<\sum^\infty_{k=k_0}\frac{1}{F(x_k)^s}<\left(\frac{v_T}{\Delta}+\e\right)^s\sum^\infty_{k=k_0}\frac1{k^s}$
となり$\z(s)=\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{k^s}$の収束性から$\xi(s)$も$s>1$で収束し、また
$\dis\lim_{s\to1+0}(s-1)\sum^{k_0-1}_{k=1}\frac{1}{k^s}=\lim_{s\to1+0}(s-1)\sum^{k_0-1}_{k=1}\frac{1}{F(x_k)^s}=0$
および
$\dis\lim_{s\to1+0}(s-1)\z(s)=1$
に注意すると先の不等式に$(s-1)$をかけて$s\to1+0$とすることで
$\dis\left(\frac{v_T}{\Delta}-\e\right)<\lim_{s\to1+0}(1-s)\xi(s)<\left(\frac{v_T}{\Delta}+\e\right)$
となり$\e>0$は任意であったので結局
$\dis\lim_{s\to1+0}(s-1)\xi(s)=\farc{v_T}{\Delta}$
を得る。

$l(x)$の各成分の総和を考えると
$\dis\sum^{s+t}_{j=1}\log|x_j|^{e_j}=\log|N(x)| \\\dis=\xi\sum^{s+t}_{j=1}e_j+\sum^r_{k=1}\xi_k\log|N_{K/\Q}(\e_k)|=n\xi+0$
であることからわかる。

任意の$x\in T$について
$\dis l(x)=(\frac1n\log|N(x)|)\l+\sum^r_{k=1}\xi_kl(\e_k)$
の各成分を比較すると$\log|N(x)|\leq0$および$0\leq\xi_k<1$から$j$によらず$\log|x_j|^{e_j}\leq\rho$となるようなある定数$\rho$が取れる。つまり$|x_j|< e^{\rho/e_j}$となり主張を得る。

$\R^s\times\C^t=\R^n$上の線形変換$x'\mapsto xx'$の表現行列は
$\begin{pmatrix}x_1\\&\ddots\\&&x_s\\&&&y_1&-z_1\\&&&z_1&y_1\\&&&&&\ddots\\&&&&&&y_t&-z_t\\&&&&&&z_t&y_t\end{pmatrix}$
であり、その行列式は$x_1\cdots x_s(y_1^2+z_1^2)\cdots(y_t^2+z_t^2)=N(x)$となるので$|N(p(\z^k))|=1$から$v_{T_k}=v_T$がわかる。

また$|N(xp(\z^k))|=|N(x)|\cdot|N_{K/\Q}(\z^k)|=|N(x)|$、$\arg(x_1\s_1(\z^k))=\arg x_1+2\pi k/w_K$、$l(xp(\z^k))=l(x)+l(\z^k)=l(x)$から$T_k$は

• $0<|N(x)|\leq1$
• $2\pi k/w_K\leq\arg x_1<2\pi(k+1)/w_K$
• $l(x)=\xi\l+\sum^r_{k=1}\xi_kl(\e_k) $について$0\leq\xi_k<1$が成り立つ。

なる$x\in\R^s\times\C^t$全体の集合であり、特に$2$つ目の条件から$k\neq k'$であれば$T_k$と$T_{k'}$は互いに素となるので
$v_{T'}=\sum^{w_K-1}_{k=0}v_{T_k}=w_Kv_T$を得る。

いま$T'$は

• $0<|N(x)|\eq1$
• $l(x)=\xi\l+\sum^r_{k=1}\xi_kl(\e_k) $について$0\leq\xi_k<1$が成り立つ。

なる$x\in\R^s\times\C^t$全体の集合であり、どちらの条件も各成分の絶対値$|x_j|$に対する制限となっているので$T'$は各成分の符号について対称性があることがわかる。つまり$x\in T$に対して$x$の$j$成分を$-x_j$で置き換えた点$x'$も$T$に含まれることになる。
よって$\t\in\{\pm1\}^s\times\{1\}^t\subset\R^s\times\C^t$を符号の置換$\t x=(\t_jx_j)$とみなせば
$\dis T'=\bigcup_{\t\in\{\pm1\}^s\times\{1\}^t}\t\olT$
となる。いま右辺は直和であり、$\#(\{\pm1\}^s\times\{1\}^t)=2^s$から両辺の体積を取ることで$v_{T'}=w_Kv_T=2^sv_{\olT}$を得る。

$v_\olT$の積分表示
$\dis\int_{\olT}dx_1\cdots dx_sdy_1dz_1\cdots dy_tdz_t$
を適当に変数変換して計算することで示す。

まず$x_k=\r_k,y_k=r_{s+k}\cos\th_k,z_k=r_{s+k}\sin\th_k$と変数変換するとそのヤコビ行列は
$\dis\farc{\partial(x_1,\ldots,x_s,y_1,z_1,\ldots,y_t,z_t)}{\partial(r_1,\ldots,r_s,r_{s+1},\th_1,\ldots,r_{s+t},\th_{t})} \\=\begin{pmatrix}1\\&\ddots\\&&1\\&&&\cos\th_1&-r_{s+1}\sin\th_1\\&&&\sin\th_1&r_{s+1}\cos\th_1\\&&&&&\ddots\\&&&&&&\cos\th_t&-r_{s+t}\sin\th_t\\&&&&&&\sin\th_1&r_{s+t}\cos\th_t\end{pmatrix}$
であるからヤコビアンは$r_{s+1}\cdots r_{s+t}$であり、また$\log|x_j|^{e_j}=\log r_j^{e_j},\;N(x)=\prod^{s+t}_{k=1}r_k^{e_k}$から領域$T$は

• $r_1,r_2,\ldots,r_{s+t}>0$かつ$\prod^{s+t}_{k=1}r_k^{e_k}\leq1$
• $\dis\log r_j^{e_j}=\frac{e_j}{n}\log(\prod^{s+t}_{k=1}r_k^{e_k})+\sum^r_{k=1}\xi_k\log|\s_j(\e_k)|^{e_j}$と($j$によらず)表したとき$0\leq\xi_k<1$が成り立つ。

という条件によって定まる領域$\olT'$に写される。これは(補題13でも触れたように)$\th_1,\th_2,\ldots,\th_t$に対する制限がないので
$\dis v_\olT=\int^{2\pi}_0d\th_1\cdots\int^{2\pi}_0d\th_t\int_{\olT'} r_{s+1}\cdots r_{s+t}dr_1\cdots dr_{s+t} \\\dis=(2\pi)^t\int_{\olT'} r_{s+1}\cdots r_{s+t}dr_1\cdots dr_{s+t}$
となる。

さらに$\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_r$を変数として
$\dis\log r_j^{e_j}=\frac{e_j}{n}\log \xi+\sum^r_{k=1}\xi_k\log|\s_j(\e_k)|^{e_j}$
と変数変換すると
$\dis\frac{\partial r_j}{\partial \xi}=\frac{r_j}{n\xi},\;\frac{\partial r_j}{\partial \xi_k}=\frac{r_j}{e_j}\log|\s_j(\e_k)|^{e_j}$
なのでそのヤコビアンは
$\begin{vmatrix}\dis\frac{r_1}{n\xi}&\dis\frac{r_1}{e_1}\log|\s_1(\e_1)|^{e_1}&\cdots&\dis\frac{r_1}{e_1}\log|\s_1(\e_r)|^{e_1}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\dis\frac{r_{s+t}}{n\xi}&\dis\frac{r_{s+t}}{e_{s+t}}\log|\s_{s+t}(\e_1)|^{e_{s+t}}&\cdots&\dis\frac{r_{s+t}}{e_{s+t}}\log|\s_{s+t}(\e_r)|^{e_{s+t}}\end{vmatrix} \\\dis=\frac{\prod^{s+t}_{k=1}r_k}{n\xi\prod^{s+t}_{k=1}e_k}\begin{vmatrix}e_1&\log|\s_1(\e_1)|^{e_1}&\cdots&\log|\s_1(\e_r)|^{e_1}\\\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\e_{s+t}&\log|\s_{s+t}(\e_1)|^{e_{s+t}}&\cdots&\log|\s_{s+t}(\e_r)|^{e_{s+t}}\end{vmatrix}$
であり、最後の行列の一番下の行に他の全ての行を足すと$(n\quad0\quad\cdots\quad0)$なので結局
$\dis\frac{\prod^{s+t}_{k=1}r_k}{n(\prod^{s+t}_{k=1}r_k^{e_k}) 2^t}n|\det(e_i\log|\s_i(\e_j)|)_{0\leq i,j\leq r}|=\frac{R_K}{2^tr_{s+1}\cdots r_{s+t}}$
となる。
　また$\xi=\prod^{s+t}_{k=1}r_k^{e_k}$に注意すると領域$\olT'$の一つ目の条件は$0<\xi\leq1$に、二つ目の条件は$0\leq\xi_k<1$に置き換わるので
$\dis v_\olT=(2\pi)^t\int_{[0,1]^{s+t}}\r_{s+1}\cdots\r_{s+t}\frac{R_K}{2^tr_{s+1}\cdots r_{s+t}}d\xi d\xi_1\cdots d\xi_r \\\dis=\pi^tR_K\int_{[0,1]^{s+t}}d\xi d\xi_1\cdots d\xi_r=\pi^tR_K$
と求まる。