類数公式の証明

はじめに

この記事では類数公式の証明を行います。

類数公式とは以下のような主張のことを言うのでした。

これの証明の肝となるのはディリクレの単数定理になります。
ディリクレの単数定理とは$r=s+t-1$について

という主張でした。実際には以下に示す別の形の主張を用いることになります。

なおディリクレの単数定理の証明については 代数的整数論 - 中川仁 のp.42-p.50によく書かれているので私の記事では紹介しないつもりです。

用語の解説

今回の記事ではいろんな記法・記号が登場するので一度ここにまとめておく。

• $l(\alpha )$
  先の定義では$\alpha \in K$の${\mathbb{R}}^{s+t}$への像は$l(p(\alpha ))$と表さなければいけなかったが一々$p()$を書くとごちゃごちゃしてしまうのでこれを単に$l(\alpha )$と表すこととする。
• $e_1,e_2,\dots ,e_{s+t}$
  上でも色々定義したように$k$が$1\le k\le s$か$s+1\le k\le s+t$かで場合が分かれることが多いので議論を簡潔にするため補助的な因子$\{e_k{\}}_{k=1}^{s+t}$を$1\le k\le s$において$e_k=1$、$s+1\le k\le s+t$において$e_k=2$として導入しておく。
• $N(x)$
  $R^s\times {\mathbb{C}}^t$上のノルム$N:R^s\times {\mathbb{C}}^t\to \mathbb{R}$を
  $N(x)=x_1\cdots x_s|x_{s+1}{|}^2\cdots |x_{s+t}{|}^2$
  と定義します。このとき$|{\sigma }_k(\alpha ){|}^2={\sigma }_k(\alpha ){\bar{\sigma }}_k(\alpha )={\sigma }_k(\alpha ){\sigma }_{t+k}(\alpha )$であったので
  $N(p(\alpha ))=\prod _{k=1}^n{\sigma }_k(\alpha )=N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha )$
  が成り立ちます。
  ちなみにこの記事では写像$N$が多用されます。代数的数のノルム$N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha )$にイデアルのノルム$N(\mathfrak{a})$に$R^s\times {\mathbb{C}}^t$上のノルム$N(x)$、そして領域内の格子点の個数$N(r)$といった具合です。少しややこしいですが注意して読んでれば混同することはないと思います。
• $W_K$
  $K$に含まれる$1$の冪根全体からなる集合を$W_K$とおきます。一般に体の有限部分乗法群は巡回群となるので$W_K$は$1$の原始$w_K$乗根$\zeta$によって生成される巡回群となります。(別に一般論を持ってこなくても$W_K$が巡回群であることは容易に示せます。)
• ${\mathbb{R}}^s\times {\mathbb{C}}^t$
  ${\mathbb{R}}^s\times {\mathbb{C}}^t$は$s+t$個の体の直積であるとして考えると積$x{x}^{\prime }=(x_i{x}_i^{\prime }{)}_{1\le i\le s+t}$が考えられます。このとき$p,l,N$はそれぞれ
  $p(\alpha {\alpha }^{\prime })=p(\alpha )p({\alpha }^{\prime }),l(x{x}^{\prime })=l(x)+l(x^{\prime }),N(x{x}^{\prime })=N(x)N(x^{\prime })$
  という関係によって準同型となります。

証明のあらすじ

まずデデキントゼータ関数${\zeta }_K(s)$が
${\displaystyle N(\mathfrak{a}{)}^s\sum _{\alpha \in A(\mathfrak{a})}\frac{1}{|N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha ){|}^s}}$
という形の級数の$h_K$個の和に等しいことを示し、またある$n$次元の格子$\mathfrak{M}(\mathfrak{a})$とある領域$X\subset {\mathbb{R}}^s\times {\mathbb{C}}^t$があって$p(A(\mathfrak{a}))=\mathfrak{M}(\mathfrak{a})\cap X$つまり
${\displaystyle \sum _{\alpha \in A(\mathfrak{a})}\frac{1}{|N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha ){|}^s}=\sum _{x\in \mathfrak{M}(\mathfrak{a})\cap X}\frac{1}{|N(x){|}^s}}$
と${\mathbb{R}}^s\times {\mathbb{C}}^t$の世界に落とし込めることを示す。

次にある条件を満たす格子$\mathfrak{M}$と領域$X$と$X$上の正値写像$F$に対して定まる関数
${\displaystyle \xi (s)=\sum _{x\in \mathfrak{M}\cap X}\frac{1}{|F(x){|}^s}}$
が$\mathfrak{M}$の基本胞体の体積$\mathrm{\Delta }$と$X$のある単位的な集合$T$の体積$v_T$について
${\displaystyle \underset{s\to 1+0}{lim}(s-1)\xi (s)=\frac{v_T}{\mathrm{\Delta }}}$
が成り立つことを示す。

最後に
${\displaystyle \mathrm{\Delta }(\mathfrak{a})=\frac{1}{2^t}\sqrt{|D(\mathfrak{a})|}=\frac{N(\mathfrak{a})\sqrt{|D_K|}}{2^t}}$
${\displaystyle w_K{v}_T=2^s({\pi }^t{R}_K)}$
を示すことで
${\displaystyle \underset{s\to 1}{lim}(s-1){\zeta }_K(s)=\frac{2^s(2\pi {)}^t{R}_K{h}_K}{w_p\sqrt{|D_K|}}}$
を得る。

デデキントゼータ関数の分割

$K$のイデアル類群を${\mathcal{Cl}}_K$とおくと
${\displaystyle {\zeta }_K(s)=\sum _{\mathfrak{a}}\frac{1}{N(\mathfrak{a}{)}^s}=\sum _{C\in {\mathcal{Cl}}_K}\sum _{\mathfrak{a}\in C}\frac{1}{N(\mathfrak{a}{)}^s}}$
(ただし$\mathfrak{a}\in C$は分数イデアルではなく整イデアル(つまり${\mathcal{O}}_K$のイデアル)として渡る。)
と変形でき、類数$h_K=|{\mathcal{Cl}}_K|$は有限であるので以降は内部の和
${\displaystyle \sum _{\mathfrak{a}\in C}\frac{1}{N(\mathfrak{a}{)}^s}}$
について考える。

いま$C\in \mathcal{Cl}$の逆元$C^{-1}$から任意に整イデアルを一つ取り${\mathfrak{a}}^{\prime }$とおく。
このとき任意の$\mathfrak{a}\in C$にある$\alpha \in {\mathfrak{a}}^{\prime }$があって$\mathfrak{a}{\mathfrak{a}}^{\prime }=(\alpha )$が成り立ち、
逆に任意の$\alpha \in {\mathfrak{a}}^{\prime }$にある$\mathfrak{a}\in C$があって$\mathfrak{a}{\mathfrak{a}}^{\prime }=(\alpha )$が成り立つので
$N(\mathfrak{a})N({\mathfrak{a}}^{\prime })=|N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha )|$および${\mathfrak{a}}_1{\mathfrak{a}}^{\prime }={\mathfrak{a}}_2{\mathfrak{a}}^{\prime }\Rightarrow {\mathfrak{a}}_1={\mathfrak{a}}_2$に注意すると
${\displaystyle \sum _{\mathfrak{a}\in C}\frac{1}{N(\mathfrak{a}{)}^s}=N({\mathfrak{a}}^{\prime }{)}^s\sum _{\begin{array}{c}(\alpha )\\ \alpha \in {\mathfrak{a}}^{\prime }\end{array}}\frac{1}{|N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha ){|}^s}}$
と変形できる。(ただしこれは単項イデアル$(\alpha )$のうち$\alpha \in {\mathfrak{a}}^{\prime }$なるもの全体を渡るもので$\alpha$が${\mathfrak{a}}^{\prime }$全体を渡るわけではない。)

そして$\alpha ,{\alpha }^{\prime }\in {\mathcal{O}}_K$が$(\alpha )=({\alpha }^{\prime })$を満たすときある単数$\epsilon \in {\mathcal{O}}_K^{\times }$があって${\alpha }^{\prime }=\epsilon \alpha$が成り立つので同値関係$\sim$を$\alpha \sim {\alpha }^{\prime }\stackrel{\text{def}}{⟺}\mathrm{\exists }\epsilon \in {\mathcal{O}}_K^{\times },{\alpha }^{\prime }=\epsilon \alpha$で定義すると
${\displaystyle \sum _{\mathfrak{a}\in C}\frac{1}{N(\mathfrak{a}{)}^s}=N({\mathfrak{a}}^{\prime }{)}^s\sum _{\alpha \in {\mathfrak{a}}^{\prime }/\sim }\frac{1}{|N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha ){|}^s}}$
と表すことができる。

${\mathbb{R}}^s\times {\mathbb{C}}^t$上の表現

${\mathbb{R}}^{s+t}$の基底と基本領域

定理3で言及したように$R^{s+t}$において$l({\epsilon }_1),l({\epsilon }_2),\dots ,l({\epsilon }_r)$は線形独立であり、また$l({\epsilon }_j)$の各成分の和$\sum _{k=1}^{s+t}\log |{\sigma }_k({\epsilon }_j){|}^{e_k}$は$\log |N_{K/\mathbb{Q}}({\epsilon }_j)|=\log 1=0$に等しいので、それらが生成する部分空間$E$は$E=\{x\in {\mathbb{R}}^{s+t}|\sum _{k=1}^{s+t}{x}_k=0\}$と特徴づけられる。
　よって$l^{\ast }=(e_i{)}_{1\le i\le s+t}$とおくと$l^{\ast }\notin E$であるから$r+1=s+t$個のベクトル$l^{\ast },l({\epsilon }_1),l({\epsilon }_2),\dots ,l({\epsilon }_r)$は${\mathbb{R}}^{s+t}$の基底となる。

ここで$K$の基本領域というものを定める。

本題

この説では以下の定理を示す。

この定理が示されれば$N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha )=N(p(\alpha ))$に注意すると
${\displaystyle \sum _{\mathfrak{a}\in C}\frac{1}{N(\mathfrak{a}{)}^s}=N({\mathfrak{a}}^{\prime }{)}^s\sum _{\alpha \in {\mathfrak{a}}^{\prime }/\sim }\frac{1}{|N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha ){|}^s}=N({\mathfrak{a}}^{\prime }{)}^s\sum _{x\in p({\mathfrak{a}}^{\prime })\cap X}\frac{1}{|N(x){|}^s}}$
と表すことができることになる。

定理5の証明

${\displaystyle \underset{s\to 1}{lim}(s-1){\zeta }_K(s)}$の計算

この記事では最終的に
${\displaystyle \underset{s\to 1+0}{lim}(1-s)\sum _{x\in p({\mathfrak{a}}^{\prime })\cap X}\frac{1}{|N(x){|}^s}=\frac{2^s(2\pi {)}^t{R}_K}{w_{K}N({\mathfrak{a}}^{\prime })\sqrt{|D_K|}}}$
を示すがこの節ではより一般的に以下の公式を示す。

このとき$\mathfrak{M}$の基本胞体(fundamental parallelepiped)の体積(つまり$\mathfrak{M}$の基底$a_1,a_2,\dots ,a_n$に対する$|\det (a_1{a}_2\cdots a_n)|$)を$\mathrm{\Delta }$とおくと以下の事実が成り立つ。

一応以下の事実を補題として触れたうえで証明を記す。

これは$n$次元体積というものが超立方体への無限の分割によって定義されたように$T$を$N(r)$個の基本胞体(体積$\mathrm{\Delta }/r^n$)に分割したら$v_T$が出てくるという程度の話である。

いま線形空間として$(x_1,\dots ,x_s,y_1+i{z}_1,\dots ,y_t+i{z}_t)\leftrightarrow (x_1,\dots ,x_s,y_1,z_1,\dots ,y_t,z_t)$という同型によって${\mathbb{R}}^s\times {\mathbb{C}}^t={\mathbb{R}}^{s+2t}={\mathbb{R}}^n$とみなせば$K$の基本領域$X$上の写像$F(x)=|N(x)|$および格子$\mathfrak{M}=p({\mathfrak{a}}^{\prime })$について定理7が適用でき、
${\displaystyle \underset{s\to 1+0}{lim}(s-1)\sum _{x\in p({\mathfrak{a}}^{\prime })\cap X}\frac{1}{|N(x){|}^s}=\frac{v_T}{\mathrm{\Delta }({\mathfrak{a}}^{\prime })}}$
が成り立つので残るは$T$の体積$v_T$と$p({\mathfrak{a}}^{\prime })$の基本胞体の体積$\mathrm{\Delta }({\mathfrak{a}}^{\prime })$を求めればよい。

具体的にそれぞれの値は以下のようになる。

さてこの記事におけるラスボス$v_T$の計算は後にして、まず$\mathrm{\Delta }({\mathfrak{a}}^{\prime })$を求める。

$\mathrm{\Delta }({\mathfrak{a}}^{\prime })$の計算

いま${\mathfrak{a}}^{\prime }$の基底を${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$とおくと$p({\mathfrak{a}}^{\prime })$の基底は$p({\alpha }_1),p({\alpha }_2),\dots ,p({\alpha }_n)$となる。いま${\mathbb{R}}^s\times {\mathbb{C}}^t$を${\mathbb{R}}^n$とみなしていたので$1\le k\le s$において$x_j^{(k)}={\sigma }_k({\alpha }_j)$、$1\le k\le t$において$y_j^{(k)}+i{z}_j^{(k)}={\sigma }_{s+k}({\alpha }_j)$とおくと
$\mathrm{\Delta }({\mathfrak{a}}^{\prime })=\mathrm{abs}\left|\begin{array}{ccccccccc}{x}_1^{(1)}& x_1^{(2)}& \cdots & x_1^{(s)}& y_1^{(1)}& z_1^{(1)}& \cdots & y_1^{(t)}& z_1^{(t)}\\ x_2^{(1)}& x_2^{(2)}& \cdots & x_2^{(s)}& y_2^{(1)}& z_2^{(1)}& \cdots & y_2^{(t)}& z_2^{(t)}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ x_n^{(1)}& x_n^{(2)}& \cdots & x_n^{(s)}& y_n^{(1)}& z_n^{(1)}& \cdots & y_n^{(t)}& z_n^{(t)}\end{array}\right|$
となる。

いま$y_j^{(k)}$に$i{z}_j^{(k)}$を足し、$z_j^{(k)}$の$i$倍から$(y_j^{(k)}+i{z}_j^{(k)})/2$を引き、適当に列を入れ替えると
$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{1}{2^t}\mathrm{abs}\left|\begin{array}{ccccccccc}{x}_1^{(1)}& \cdots & x_1^{(s)}& y_1^{(1)}+i{z}_1^{(1)}& \cdots & y_1^{(t)}+i{z}_1^{(t)}& y_1^{(1)}-i{z}_1^{(1)}& \cdots & y_1^{(t)}-i{z}_1^{(t)}\\ x_2^{(1)}& \cdots & x_2^{(s)}& y_2^{(1)}+i{z}_2^{(1)}& \cdots & y_2^{(t)}+i{z}_2^{(t)}& y_2^{(1)}-i{z}_2^{(1)}& \cdots & y_2^{(t)}-i{z}_2^{(t)}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_n^{(1)}& \cdots & x_n^{(s)}& y_n^{(1)}+i{z}_n^{(1)}& \cdots & y_n^{(t)}+i{z}_n^{(t)}& y_n^{(1)}-i{z}_n^{(1)}& \cdots & y_n^{(t)}-i{z}_n^{(t)}\end{array}\right|} \\ {\displaystyle =\frac{1}{2^t}|\det ({\sigma }_j({\alpha }_i))|=\frac{1}{2^t}\sqrt{|D({\mathfrak{a}}^{\prime })|}=\frac{1}{2^t}\sqrt{N({\mathfrak{a}}^{\prime }{)}^2|D_K|}} \end{gathered}$$
よって
${\displaystyle \mathrm{\Delta }({\mathfrak{a}}^{\prime })=\frac{N({\mathfrak{a}}^{\prime })\sqrt{|D_K|}}{2^t}}$
を得る。

$v_T$の計算

まず$K$の基本領域$X$に対する$T=\{x\in X||N(x)|\le 1\}$が有界であることを示す。

次に$T$を元に$T_1,T_2,\dots ,T_{w_K}$および$\bar{T}$を定め、$T$の代わりに$\bar{T}$の体積を考える問題に帰結させる。

以上より以下の等式を示すことで類数公式の証明は完結する。