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大学数学基礎解説
文献あり

Kummerの補題

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{N}[0]{\mathrm{N}_{k/\mathbb{Q}}} \newcommand{ndiv}[0]{\nmid} \newcommand{O}[0]{\mathcal{O}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{Tr}[0]{\mathrm{Tr}_{k/\mathbb{Q}}} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vare}[0]{\varepsilon} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

はじめに

 この記事では$n$が正則素数であるときのフェルマーの最終定理セカンドケースの証明において用いられるKummerの補題について解説していきます。
 Kummerの補題の主張は以下の通りです。

Kummerの補題

 正則素数$p$について$\Z[\z_p]$の単数$u$$p$を法としてある有理整数と合同であるとき、ある単数$\e$が存在して$u=\e^p$が成り立つ。

 なおこの記事では$1$の原始$p$乗根$\zeta_p$を単に$\zeta$と表します。

用語の解説

 以下では様々な(見慣れない)概念が登場するのでそれらについて説明を付けておく。

$\Z_p[\z]\quad(=\Z_p[1-\z])$

 $p$進数整数環$\Z_p$$\z$を付加した環。あるいは$\Z[\z]$$\ord_p(1-\z)=1/(p-1)$なる付値によって完備化した環。

$R^\times,R^+$

 左から環$R$の可逆元全体、環$R$の実なるもの全体を表す。
 ここで$\Z_p[\z]$の元が実であるとは複素共役写像$\ol\cdot:\z\mapsto \z^{-1}$に対して不変であることをいう。

指数、対数($e^x,\log x$)

 ここで扱われる数は実数ではなく$p$進数であるので普段使われる指数や対数は扱えない。そこで$p$進数体上の指数、対数は
$$e^x=\sum^\infty_{n=0}\frac{x^n}{n!},\quad\log(1+x)=\sum^\infty_{n=0}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$$
によって定義される。
 $p$進数体において級数$\sum_na_n$の収束は$\dis\lim_{n\to\infty}\ord_p(a_n)=\infty$と同値であり、 ルジャンドルの公式 から
$$\ord_p(x^n/n!)=n\l(\ord_p(x)-\frac{1}{p-1}\r)-\frac{(省略)}{p-1}$$
なので$e^x$$\ord_p(x)>\frac{1}{p-1}$で収束し、$\log(1+x)$は簡単な議論により$\ord_p(x)>0$で収束することがわかる。
 また積や和を考えることで($e^x$$\log(1+x)$が収束する限り)実数と同じ指数法則が成り立つこともわかる。

証明のあらすじ

 まずとある単数${\delta_2,\delta_3,\ldots,\delta_m}$によって$\Z_p[\z]^+$の基底
$$\{1,\log({\delta}_2^{p-1}),\log({\delta}_3^{p-1}),\ldots,\log({\delta}_{m}^{p-1})\}$$
が構成されることを示す。
 このとき仮定より$u^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$特に$\log(u^{p-1})\in p\Z_p[\z]^+$であることから
$$n\log(u^{p-1})=\sum^{m}_{k=2}pf_k\log(\delta_k^{p-1})$$
と表せ、すなわち$v=\prod^m_{k=2}\delta_k^{f_k}$なる単数によって$u^n=v^p$と表せる。
 したがって$nx+py=1$なる整数$x,y$を取り$\e=u^yv^x$とおくと
$$u=(u^n)^x(u^y)^p=\e^p$$
が得られることになる。

補題パート1

 ここではまず通常の円分体$\Z[\z]$における単数の性質を考える。

 任意の共役元の絶対値が$1$なる代数的整数$\a$$1$の累乗根となる。
 特に$\g\in\Q(\z)$について$\gamma/\ol{\g}$が代数的整数であれば$\gamma/\ol{\g}$$1$の累乗根となる。

 任意の共役元の絶対値が$1$で次数が$\deg\a$以下なる代数的整数$\b$について、その最小多項式の各係数は$\b$の共役元についての対称式であるから次数の制約も踏まえると$\b$によらないある定数でおさえられることになる。
 そのような多項式ひいては$\b$は高々有限個であり、つまりある$m\neq n$において$\a^m=\a^n$が成り立たなくてはならない。よって$\a$は1の累乗根である。
 また$\operatorname{Gal}(\Q(\z)/\Q)$の元$\sigma$と複素共役は可換、つまり$\sigma(\g/\ol\g)=\sigma(\g)/\ol{\sigma(\g)}$が成り立つことに注意すると主張を得る。

 $\Z[\z]$に属する$1$の累乗根はある$n$によって$\pm\z^n$と表せるもので尽くされる。

 素数$q$について$\z_q\in\Z[\z]$とすると単項イデアル$(q)$$\Z[\z]$$(q)=(1-\z_q)^{q-1}$と分解されなければならないが、Dedekindの判別定理から$\Z[\z]$を割り切らない素数、つまり$p$以外の素数は不分岐であるので$q-1=1$または$q=p$でなければならないことがわかる。

 $\e\in\Z[\z]^\times$に対してある整数$r$$\Z[\z]^+$の単数$\e'$があって$\e=\z^r\e'$が成り立つ。

 補題2,3より${\varepsilon}/{\overline{{\varepsilon}}}=\pm\zeta^a$と表せ、このとき
$$\e=f(\zeta)\quad(f(x)\in{\mathbb{Z}}[x])$$
とおくと、$\zeta\equiv\zeta^{-1}\pmod{1-\zeta}$より
$$\e=f(\zeta)\equiv f(\zeta^{-1})=\ol\e\pmod{1-\zeta}$$
つまり
$$\e/\ol\e=\pm\z^a\equiv\pm1\equiv1\pmod{1-\z}$$
が成り立つので$1\not\equiv-1 \pmod{1-\zeta}$に注意すると$\e/\ol\e=\zeta^a$となることがわかる。
 また$2r\equiv a\pmod{p}$つまり$\e=\z^{2r}\ol\e$なる$r$をとり${\varepsilon}'=\zeta^{-r}{\varepsilon}$とおくと
$$\ol{\e'}=\zeta^r\ol\e=\zeta^{-r}\e=\e'$$
より${\varepsilon}'$は実数となり、$\e=\zeta^r\e'$と表せることがわかった。

補題パート2

 次に$p$進数上の円分体$\Z_p[\z]$の持つ性質を考える。

$$\pi^{p-1}+p=0,\quad\pi\equiv \z-1\pmod{\pi^2}$$
を満たすような$\pi\in\Z_p[\z]$がただ一つ存在する。

$$\a=-\frac p{(1-\zeta)^{p-1}}$$
とおいたとき、ウィルソンの定理$(p-1)!\equiv-1\pmod p$に注意すると
\begin{align} \alpha &=-\prod^{p-1}_{n=1}\frac{1-{\zeta}^n}{1-{\zeta}} =-\prod^{p-1}_{n=1}\sum^{n-1}_{k=0}{\zeta}^k\\ &\equiv-\prod^{p-1}_{n=1}\sum^{n-1}_{k=0}1 =-(p-1)!\equiv 1\pmod{1-{\zeta}} \end{align}
が成り立つ。したがって
$$F(x)=x^{p-1}-\alpha\in{\mathbb{Z}}[{\zeta}]$$
とおくとこれは
$$F(1)\equiv0\pmod{1-{\zeta}},\quad F'(1)\not\equiv0\pmod{1-{\zeta}}$$
を満たすので Henselの補題 から$\gamma^{p-1}-\alpha=0$なる$\gamma\in{\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]$が存在することがわかる。
 そのような$\g$に対して$\pi=({\zeta}-1)\g$とおくとこれは主張を満たす。実際まず
$$\pi^{p-1}+p=(\z-1)^{p-1}\a+p=0$$
であり、$\gamma\equiv1\pmod{1-{\zeta}}$およびこのことから${\gamma}\in{\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]^{\times}$が成り立つことに注意すると
$$\frac{\pi-(\z-1)}{\pi^2} =\frac{\g-1}{\z-1}\cdot\frac1{\g^2}\in\Z_p[\z]$$
つまり$\pi\equiv{\zeta}-1\pmod{\pi^2}$がわかる。
 後は一意性を示せばよい。いま
$$\pi'^{p-1}+p=0,\quad\pi'\equiv\zeta-1\pmod{\pi'^2}$$
なる$\pi'$を取ると、$\pi'^{p-1}=-p=\pi^{p-1}$より$\pi'={\zeta}_{p-1}^k\pi$と表せる。このとき$\Z_p[\z]$のイデアルとして$(\pi')=(\pi)$が成り立つので
$${\zeta}_{p-1}^k\pi=\pi'\equiv{\zeta}-1\equiv\pi\pmod{\pi^2}$$
つまり${\zeta}_{p-1}^k\equiv1\pmod\pi$でなければならない。特に$\z^k_{p-1}\neq1$とすると
$$\pi\mid(1-{\zeta}_{p-1}^k)\mid(p-1)$$
が成り立つことになるが、これは$(\pi)^{p-1}=(p)$に反する。したがって$\pi'=\pi$となることがわかる。

 $\Z_p[\z]=\Z_p[\pi]$および$\Z_p[\z]^+=\Z_p[\pi^2]$が成り立つ。

 前者は$(\pi)=(1-\z)$であることからわかる。
 また${\overline{\pi}}^{p-1}+p=0$より${\overline{\pi}}={\zeta}_{p-1}^k\pi$と表せ、このとき$\z_{p-1}\in\Z_p$に注意すると$\ol{\,\ol\pi\,}=\zeta_{p-1}^{2k}\pi=\pi$が成り立つので$\ol\pi=\pm\pi$となる。もし$\ol\pi=\pi$とすると${\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]^+={\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]$とか
$$\ol\pi-\pi\equiv\z-\z^{-1}\equiv0\pmod{\pi^2}$$
とかが成り立つことになり矛盾。したがって${\overline{\pi}}=-\pi$であり$\Z_p[\z]=\Z_p[\pi]$を踏まえると${\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]^+={\mathbb{Z}}_p[\pi^2]$がわかる。

補題パート3

 最後の準備として指数関数と対数関数の展開を途中で打ち切った多項式$E(x),L(x)$の満たす合同式について考える。

$$E(x)=\sum^{p-1}_{n=0}\frac{x^n}{n!}\in{\mathbb{Z}}_p[x]$$
とおくと$E(\pi)^p\equiv 1\pmod{\pi^{2p-1}}$が成り立つ。

 まず$E(x)=1+xf(x)$とおくと二項定理より
$$E(x)^p=1+x^pf(x)^p+pg(x)$$
と表せ、また$E(x)$$e^x$の部分和であるからある$p$次以上の${\mathbb{Z}}_p$係数多項式$e(x,y)$が存在して
$$E(x)E(y)=E(x+y)+e(x,y)$$
という関係が成り立つ、つまり
$$E(x)^p=E(px)+x^ph(x)$$
と表せる。
 このとき$pg(x),(E(px)-1)\in p{\mathbb{Z}}_p[x]$から
$$h(x)-f(x)^p=\frac{pg(x)-(E(px)-1)}{x^p}\in p{\mathbb{Z}}_p[x]$$
となること注意すると
\begin{align} g(\pi) &=\frac{E(p\pi)-1}{p}+\pi^p\frac{h(\pi)-f(\pi)}p\\ &\equiv \frac{E(-\pi^p)-1}{p}\equiv\frac{-\pi^p}{p}\pmod{\pi^p} \end{align}
つまり$pg(\pi)\equiv-\pi^p\pmod{\pi^{2p-1}}$がわかる。
 また$f(0)=1$(および多項定理)より$f(\pi)^p\equiv1\pmod{\pi^p}$がわかるので
$$E(\pi)^p=1+pg(\pi)+\pi^pf(\pi)^p\equiv1-\pi^p+\pi^p=1\pmod{\pi^{2p-1}}$$
を得る。

 $E(k\pi)\equiv \z^k\pmod{\pi^p}$が成り立つ。

 上と同様に$E(kx)=E(x)^k+x^ph(x)$と表せることから
$$E(k\pi)\equiv E(\pi)^k \pmod{\pi^p}$$
が成り立つので$E(\pi)\equiv \z\pmod{\pi^p}$を示せばよい。
 いま$\pi$の定義より
$$E(\pi)\equiv1+\pi\equiv{\zeta}\pmod{\pi^2}$$
が成り立つので${\zeta}^{-1}E(\pi)=1+\pi^2\gamma$なる$\g$を取ると
\begin{align} E(\pi)^p&=(1+\pi^2{\gamma})^p\\ &=1+p\pi^2\g+\binom p2\pi^4\g^2+\cdots \equiv1\pmod{\pi^{2p-1}} \end{align}
より少なくとも$p\pi^2{\gamma}\equiv0\pmod{\pi^{2p-1}}$つまり$\pi^2{\gamma}\equiv0\pmod{\pi^p}$でなければならず、したがって
$$E(\pi)=(1+\pi^2{\gamma}){\zeta}\equiv{\zeta}\pmod{\pi^p}$$
を得る。

 $x\equiv 0\pmod{\pi}$ならば$n\geq p+1$において$\ord_p(x^n/n)\geq1$が成り立つ。特に$$\log(1+x)\equiv L(x)+\frac{x^p}{p}\pmod{p}$$
が成り立つ。

 不等式$\ord_p(\pi^n/n)\geq1$つまり$n/(p-1)\geq {\mathrm{ord}}_p(n)+1$の成立する条件を考えると
${\mathrm{ord}}_p(n)=0$のとき$n\geq p-1$で成立
${\mathrm{ord}}_p(n)=1$のとき$n\geq2(p-1)$より$n\neq p$で成立
${\mathrm{ord}}_p(n)\geq2$のとき
$$n/(p-1)>n/p\geq p^{{\mathrm{ord}}_p(n)-1}\geq 3^{{\mathrm{ord}}_p(n)-1}\geq{\mathrm{ord}}_p(n)+1$$
より無条件で成立するので以上より$n\geq p+1$で不等式が成り立つことがわかる。

$$L(1+x)=\sum^{p-1}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$$
および$m=(p-1)/2$とおくと
$$L\left(\frac{E(x)-1}{x}\right)\equiv\frac x2+\sum^{m-1}_{n=1}\frac{B_{2n}}{(2n)!2n}x^{2n}\pmod{x^{p-1}}$$
が成り立つ。ただし$B_{2n}$はベルヌーイ数とした。

$$L\l(\frac{E(x)-1}{x}\r)\equiv\log\l(\frac{e^x-1}{x}\r)\pmod{x^{p-1}}$$
および
$$\l(\log\frac{e^x-1}{x}\r)'=\frac{e^x}{e^x-1}-\frac1x=\frac12+\sum^\infty_{n=1}\frac{B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}$$
から所望の式を得る。

単数による$\Z_p[\z]^+$の基底の構成

 以下$m=(p-1)/2$および
$$\eta=-\z^{\frac{p+1}{2}},\quad{\varepsilon}_k=\frac{1-{\zeta}^k}{1-{\zeta}}=\frac{\eta^{2k}-1}{\eta^2-1},\quad\delta_k=\frac{\sin(k\pi/p)}{\sin(\pi/p)}=\eta^{-(k-1)}\e_k$$
とおく。($\delta_k$の右辺の$\pi$は円周率の$\pi$である。)
 このとき$\e_k\equiv k\pmod{1-\z}$つまり$\e_k\equiv k\pmod\pi$より$\e_k^{p-1}\equiv 1\pmod\pi$なので$\e_k$の対数が考えられる。

 $\log(\e_k^{p-1})=\log(\delta_k^{p-1})$が成り立つ。特に$\log(\e_k^{p-1})\in\Z[\z]^+$となる。

 $p\log\z=\log(\z^p)=0$より$\log\z=0$が成り立つことからわかる($\log\z$の値は複素関数としての$\log$とは異なることに注意する)。

$$\log({\varepsilon}_k^{p-1})\equiv\sum^{m-1}_{n=1}\frac{B_{2n}}{(2n)!2n}(1-k^{2n})\pi^{2n}\pmod{p}$$
が成り立つ。

$$\e_k^{p-1}=\e_k^p/\e_k\equiv k^p\frac{\z-1}{\z^k-1}\equiv\frac{k\pi}{\z^k-1}\cdot\frac{\z-1}{\pi}\pmod{p}$$
および補題8に注意すると
\begin{align} \log(\e_k^{p-1}) &\equiv\log\l(\frac{\z-1}\pi\r)-\log\l(\frac{\z^k-1}{k\pi}\r)\\ &\equiv\log\l(\frac{E(\pi)-1}\pi\r)-\log\l(\frac{E(k\pi)-1}{k\pi}\r)\pmod p \end{align}
が成り立つ。
 また
\begin{align} \frac1p\l(\frac{E(\pi)-1}{\pi}-1\r)^p &=-\frac1{\pi^{p-1}}\l(\sum^{p-1}_{n=2}{\frac{\pi^{n-1}}{n!}}\r)^p =-\pi\l(\sum^{p-1}_{n=2}{\frac{\pi^{n-2}}{n!}}\r)^p\\ &\equiv-\pi\sum^{p-1}_{n=2}\l({\frac{\pi^{n-2}}{n!}}\r)^p \equiv-\pi\l(\frac1{2!}\r)^p\equiv-\frac\pi2\pmod p \end{align}
に注意すると補題9,10より
\begin{align} \log\l(\frac{E(\pi)-1}\pi\r) &\equiv L\l(\frac{E(\pi)-1}\pi\r)-\frac\pi2\\ &\equiv\sum^{m-1}_{n=1}\frac{B_{2n}}{(2n)!2n}\pi^{2n}\pmod p \end{align}
および同様にして
$$\log\left(\frac{E(k\pi)-1}{k\pi}\right)\equiv\sum^{m-1}_{n=1}\frac{B_{2n}}{(2n)!2n}k^{2n}\pi^{2n}\pmod{p}$$
が成り立つので主張を得る。

 $p$が正則素数のとき
$$\{1,\log({\varepsilon}_2^{p-1}),\log({\varepsilon}_3^{p-1}),\ldots,\log({\varepsilon}_{m}^{p-1})\}$$
${\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]^+$$\Z_p$上の基底となる。

 補題6より$\Z_p[\z]^+=\Z_p[\pi^2]$の基底として
$$\{1,\pi^2,\pi^4,\ldots,\pi^{2(m-1)}\}$$
が取れるので
$$\begin{bmatrix} 1&\log({\varepsilon}_2^{p-1})&\cdots&\log({\varepsilon}_{m}^{p-1}) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&\pi^2&\cdots&\pi^{2(m-1)} \end{bmatrix}A$$
なる行列$A$$\Z_p$上で可逆であること、特に$\det A\in\Z_p^\times$つまり$\det A\not\equiv0\pmod p$となることを示せばよい。
 いま補題12は$j\neq1$に対し
$$A_{i+1,j}\equiv\frac{B_{2i}}{(2i)!2i}(1-j^{2i})\pmod p$$
となることを意味しており、したがって
$$B=\begin{pmatrix} 1&0&0&\cdots&0\\ 0&2^2-1&3^2-1&\cdots&(m-1)^2-1\\ 0&2^4-1&3^4-1&\cdots&(m-1)^4-1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&2^{p-3}-1&3^{p-3}-1&\cdots&(m-1)^{p-3}-1 \end{pmatrix}$$
とおくと
$$\det A\equiv\det B\prod^{m-1}_{n=1}\frac{-B_{2n}}{(2n)!2n}\pmod p$$
が成り立つ。また$\det B$はヴァンデルモンド行列
$$\det B=\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 1&2^2&3^2&\cdots&(m-1)^2\\ 1&2^4&3^4&\cdots&(m-1)^4\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&2^{p-3}&3^{p-3}&\cdots&(m-1)^{p-3} \end{vmatrix}$$
に変形できるので
$$\det B=\prod_{0< i< j< m}(j^2-i^2)\not\equiv0\pmod{p}$$
であり、$p$の正則性から$B_{2},B_{4},\ldots,B_{p-3}\not\equiv 0\pmod{p}$なので$\det A\not\equiv0\pmod{p}$が示された。

証明

Kummerの補題(再掲)

 正則素数$p$について$\Z[\z]$の単数$u$$p$を法としてある有理整数と合同であるとき、ある単数$\e$が存在して$u=\e^p$が成り立つ。

 補題4から$u={\zeta}^ru'$なる$u'\in(\Z[\z]^+)^\times$を取ると、$u'\in\Z_p[\z]^+={\mathbb{Z}}_p[\pi^2]$よりある$b\in{\mathbb{Z}}$が存在して
$$u'\equiv b\not\equiv0\pmod{\pi^2}$$
が成り立ち、また$\pi\equiv1-\z\pmod{\pi^2}$より
$$\z^r\equiv(1+\pi)^r\equiv1+r\pi\pmod{\pi^2}$$
なので$u\equiv b+br\pi\pmod{\pi^2}$となる。
 このとき仮定より$br\equiv0\pmod{p}$でなければならず、$b\not\equiv0$より$r\equiv0$つまり$u=u'\in({\mathbb{Z}}[{\zeta}]^+)^\times$を得る。特に$u$は実数となるので$u>0$としてよい。
 いま定理13から$\Z[\z]^+$の単数$\delta_2,\delta_3,\ldots,\delta_m$${\mathbb{Z}}$上乗法的に独立なのでディリクレの単数定理より
$$u^n=\prod^m_{k=2}\delta_k^{e_k}\quad(\gcd(n,e_2,e_3,\ldots,e_m)=1)$$
なる$n,e_k$が取れる(※)。この両辺を$p-1$乗して$\Z_p[\z]$上で対数を取ると
$$n\log(u^{p-1})=\sum^{m}_{k=2}e_k\log(\delta_k^{p-1})$$
となり、仮定より$u^{p-1}\equiv1\pmod{p}$つまり$\log(u^{p-1})\in p{\mathbb{Z}}_p[\z]^+$が成り立つので定理13から各$e_k$$p$で割り切れなければならない。
 このとき
$$v=\prod^{m}_{k=2}\delta_k^{e_k/p}=u^{n/p}$$
とおくと、$n,e_k$の取り方から$p\nmid n$なので$px+ny=1$なる$x,y\in{\mathbb{Z}}$が存在し
$$u=u^{px+ny}=(u^xv^y)^p$$
つまり$u$は単数$\e=u^xv^y$$p$乗として表せることが示された。

 ちなみに(※)を記した部分に$p$の正則性は本質的に関係なく、実際 この記事 の補題6から
$$u^{h_{K^+}}\in\langle\delta_2,\delta_3,\ldots,\delta_m\rangle$$
となることが直ちに従う。

参考文献

投稿日:20201129
更新日:111

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子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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