Kummerの補題

　任意の共役元の絶対値が$1$で次数が$\deg\a$以下なる代数的整数$\b$について、その最小多項式の各係数は$\b$の共役元についての対称式であるから次数の制約も踏まえると$\b$によらないある定数でおさえられることになる。
　そのような多項式ひいては$\b$は高々有限個であり、つまりある$m\neq n$において$\a^m=\a^n$が成り立たなくてはならない。よって$\a$は1の累乗根である。
　また$\operatorname{Gal}(\Q(\z)/\Q)$の元$\sigma$と複素共役は可換、つまり$\sigma(\g/\ol\g)=\sigma(\g)/\ol{\sigma(\g)}$が成り立つことに注意すると主張を得る。

　素数$q$について$\z_q\in\Z[\z]$とすると単項イデアル$(q)$は$\Z[\z]$で$(q)=(1-\z_q)^{q-1}$と分解されなければならないが、Dedekindの判別定理から$\Z[\z]$を割り切らない素数、つまり$p$以外の素数は不分岐であるので$q-1=1$または$q=p$でなければならないことがわかる。

　補題2,3より${\varepsilon}/{\overline{{\varepsilon}}}=\pm\zeta^a$と表せ、このとき
$$\e=f(\zeta)\quad(f(x)\in{\mathbb{Z}}[x])$$
とおくと、$\zeta\equiv\zeta^{-1}\pmod{1-\zeta}$より
$$\e=f(\zeta)\equiv f(\zeta^{-1})=\ol\e\pmod{1-\zeta}$$
つまり
$$\e/\ol\e=\pm\z^a\equiv\pm1\equiv1\pmod{1-\z}$$
が成り立つので$1\not\equiv-1 \pmod{1-\zeta}$に注意すると$\e/\ol\e=\zeta^a$となることがわかる。
　また$2r\equiv a\pmod{p}$つまり$\e=\z^{2r}\ol\e$なる$r$をとり${\varepsilon}'=\zeta^{-r}{\varepsilon}$とおくと
$$\ol{\e'}=\zeta^r\ol\e=\zeta^{-r}\e=\e'$$
より${\varepsilon}'$は実数となり、$\e=\zeta^r\e'$と表せることがわかった。

$$\a=-\frac p{(1-\zeta)^{p-1}}$$
とおいたとき、ウィルソンの定理$(p-1)!\equiv-1\pmod p$に注意すると
\begin{align} \alpha &=-\prod^{p-1}_{n=1}\frac{1-{\zeta}^n}{1-{\zeta}} =-\prod^{p-1}_{n=1}\sum^{n-1}_{k=0}{\zeta}^k\\ &\equiv-\prod^{p-1}_{n=1}\sum^{n-1}_{k=0}1 =-(p-1)!\equiv 1\pmod{1-{\zeta}} \end{align}
が成り立つ。したがって
$$F(x)=x^{p-1}-\alpha\in{\mathbb{Z}}[{\zeta}]$$
とおくとこれは
$$F(1)\equiv0\pmod{1-{\zeta}},\quad F'(1)\not\equiv0\pmod{1-{\zeta}}$$
を満たすので Henselの補題 から$\gamma^{p-1}-\alpha=0$なる$\gamma\in{\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]$が存在することがわかる。
　そのような$\g$に対して$\pi=({\zeta}-1)\g$とおくとこれは主張を満たす。実際まず
$$\pi^{p-1}+p=(\z-1)^{p-1}\a+p=0$$
であり、$\gamma\equiv1\pmod{1-{\zeta}}$およびこのことから${\gamma}\in{\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]^{\times}$が成り立つことに注意すると
$$\frac{\pi-(\z-1)}{\pi^2} =\frac{\g-1}{\z-1}\cdot\frac1{\g^2}\in\Z_p[\z]$$
つまり$\pi\equiv{\zeta}-1\pmod{\pi^2}$がわかる。
　後は一意性を示せばよい。いま
$$\pi'^{p-1}+p=0,\quad\pi'\equiv\zeta-1\pmod{\pi'^2}$$
なる$\pi'$を取ると、$\pi'^{p-1}=-p=\pi^{p-1}$より$\pi'={\zeta}_{p-1}^k\pi$と表せる。このとき$\Z_p[\z]$のイデアルとして$(\pi')=(\pi)$が成り立つので
$${\zeta}_{p-1}^k\pi=\pi'\equiv{\zeta}-1\equiv\pi\pmod{\pi^2}$$
つまり${\zeta}_{p-1}^k\equiv1\pmod\pi$でなければならない。特に$\z^k_{p-1}\neq1$とすると
$$\pi\mid(1-{\zeta}_{p-1}^k)\mid(p-1)$$
が成り立つことになるが、これは$(\pi)^{p-1}=(p)$に反する。したがって$\pi'=\pi$となることがわかる。

　前者は$(\pi)=(1-\z)$であることからわかる。
　また${\overline{\pi}}^{p-1}+p=0$より${\overline{\pi}}={\zeta}_{p-1}^k\pi$と表せ、このとき$\z_{p-1}\in\Z_p$に注意すると$\ol{\,\ol\pi\,}=\zeta_{p-1}^{2k}\pi=\pi$が成り立つので$\ol\pi=\pm\pi$となる。もし$\ol\pi=\pi$とすると${\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]^+={\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]$とか
$$\ol\pi-\pi\equiv\z-\z^{-1}\equiv0\pmod{\pi^2}$$
とかが成り立つことになり矛盾。したがって${\overline{\pi}}=-\pi$であり$\Z_p[\z]=\Z_p[\pi]$を踏まえると${\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]^+={\mathbb{Z}}_p[\pi^2]$がわかる。

　まず$E(x)=1+xf(x)$とおくと二項定理より
$$E(x)^p=1+x^pf(x)^p+pg(x)$$
と表せ、また$E(x)$は$e^x$の部分和であるからある$p$次以上の${\mathbb{Z}}_p$係数多項式$e(x,y)$が存在して
$$E(x)E(y)=E(x+y)+e(x,y)$$
という関係が成り立つ、つまり
$$E(x)^p=E(px)+x^ph(x)$$
と表せる。
　このとき$pg(x),(E(px)-1)\in p{\mathbb{Z}}_p[x]$から
$$h(x)-f(x)^p=\frac{pg(x)-(E(px)-1)}{x^p}\in p{\mathbb{Z}}_p[x]$$
となること注意すると
\begin{align} g(\pi) &=\frac{E(p\pi)-1}{p}+\pi^p\frac{h(\pi)-f(\pi)}p\\ &\equiv \frac{E(-\pi^p)-1}{p}\equiv\frac{-\pi^p}{p}\pmod{\pi^p} \end{align}
つまり$pg(\pi)\equiv-\pi^p\pmod{\pi^{2p-1}}$がわかる。
　また$f(0)=1$(および多項定理)より$f(\pi)^p\equiv1\pmod{\pi^p}$がわかるので
$$E(\pi)^p=1+pg(\pi)+\pi^pf(\pi)^p\equiv1-\pi^p+\pi^p=1\pmod{\pi^{2p-1}}$$
を得る。

　上と同様に$E(kx)=E(x)^k+x^ph(x)$と表せることから
$$E(k\pi)\equiv E(\pi)^k \pmod{\pi^p}$$
が成り立つので$E(\pi)\equiv \z\pmod{\pi^p}$を示せばよい。
　いま$\pi$の定義より
$$E(\pi)\equiv1+\pi\equiv{\zeta}\pmod{\pi^2}$$
が成り立つので${\zeta}^{-1}E(\pi)=1+\pi^2\gamma$なる$\g$を取ると
\begin{align} E(\pi)^p&=(1+\pi^2{\gamma})^p\\ &=1+p\pi^2\g+\binom p2\pi^4\g^2+\cdots \equiv1\pmod{\pi^{2p-1}} \end{align}
より少なくとも$p\pi^2{\gamma}\equiv0\pmod{\pi^{2p-1}}$つまり$\pi^2{\gamma}\equiv0\pmod{\pi^p}$でなければならず、したがって
$$E(\pi)=(1+\pi^2{\gamma}){\zeta}\equiv{\zeta}\pmod{\pi^p}$$
を得る。

　不等式$\ord_p(\pi^n/n)\geq1$つまり$n/(p-1)\geq {\mathrm{ord}}_p(n)+1$の成立する条件を考えると
・${\mathrm{ord}}_p(n)=0$のとき$n\geq p-1$で成立
・${\mathrm{ord}}_p(n)=1$のとき$n\geq2(p-1)$より$n\neq p$で成立
・${\mathrm{ord}}_p(n)\geq2$のとき
$$n/(p-1)>n/p\geq p^{{\mathrm{ord}}_p(n)-1}\geq 3^{{\mathrm{ord}}_p(n)-1}\geq{\mathrm{ord}}_p(n)+1$$
より無条件で成立するので以上より$n\geq p+1$で不等式が成り立つことがわかる。

$$L\l(\frac{E(x)-1}{x}\r)\equiv\log\l(\frac{e^x-1}{x}\r)\pmod{x^{p-1}}$$
および
$$\l(\log\frac{e^x-1}{x}\r)'=\frac{e^x}{e^x-1}-\frac1x=\frac12+\sum^\infty_{n=1}\frac{B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}$$
から所望の式を得る。

　$p\log\z=\log(\z^p)=0$より$\log\z=0$が成り立つことからわかる($\log\z$の値は複素関数としての$\log$とは異なることに注意する)。

$$\e_k^{p-1}=\e_k^p/\e_k\equiv k^p\frac{\z-1}{\z^k-1}\equiv\frac{k\pi}{\z^k-1}\cdot\frac{\z-1}{\pi}\pmod{p}$$
および補題8に注意すると
\begin{align} \log(\e_k^{p-1}) &\equiv\log\l(\frac{\z-1}\pi\r)-\log\l(\frac{\z^k-1}{k\pi}\r)\\ &\equiv\log\l(\frac{E(\pi)-1}\pi\r)-\log\l(\frac{E(k\pi)-1}{k\pi}\r)\pmod p \end{align}
が成り立つ。
　また
\begin{align} \frac1p\l(\frac{E(\pi)-1}{\pi}-1\r)^p &=-\frac1{\pi^{p-1}}\l(\sum^{p-1}_{n=2}{\frac{\pi^{n-1}}{n!}}\r)^p =-\pi\l(\sum^{p-1}_{n=2}{\frac{\pi^{n-2}}{n!}}\r)^p\\ &\equiv-\pi\sum^{p-1}_{n=2}\l({\frac{\pi^{n-2}}{n!}}\r)^p \equiv-\pi\l(\frac1{2!}\r)^p\equiv-\frac\pi2\pmod p \end{align}
に注意すると補題9,10より
\begin{align} \log\l(\frac{E(\pi)-1}\pi\r) &\equiv L\l(\frac{E(\pi)-1}\pi\r)-\frac\pi2\\ &\equiv\sum^{m-1}_{n=1}\frac{B_{2n}}{(2n)!2n}\pi^{2n}\pmod p \end{align}
および同様にして
$$\log\left(\frac{E(k\pi)-1}{k\pi}\right)\equiv\sum^{m-1}_{n=1}\frac{B_{2n}}{(2n)!2n}k^{2n}\pi^{2n}\pmod{p}$$
が成り立つので主張を得る。

　補題6より$\Z_p[\z]^+=\Z_p[\pi^2]$の基底として
$$\{1,\pi^2,\pi^4,\ldots,\pi^{2(m-1)}\}$$
が取れるので
$$\begin{bmatrix} 1&\log({\varepsilon}_2^{p-1})&\cdots&\log({\varepsilon}_{m}^{p-1}) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&\pi^2&\cdots&\pi^{2(m-1)} \end{bmatrix}A$$
なる行列$A$が$\Z_p$上で可逆であること、特に$\det A\in\Z_p^\times$つまり$\det A\not\equiv0\pmod p$となることを示せばよい。
　いま補題12は$j\neq1$に対し
$$A_{i+1,j}\equiv\frac{B_{2i}}{(2i)!2i}(1-j^{2i})\pmod p$$
となることを意味しており、したがって
$$B=\begin{pmatrix} 1&0&0&\cdots&0\\ 0&2^2-1&3^2-1&\cdots&(m-1)^2-1\\ 0&2^4-1&3^4-1&\cdots&(m-1)^4-1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&2^{p-3}-1&3^{p-3}-1&\cdots&(m-1)^{p-3}-1 \end{pmatrix}$$
とおくと
$$\det A\equiv\det B\prod^{m-1}_{n=1}\frac{-B_{2n}}{(2n)!2n}\pmod p$$
が成り立つ。また$\det B$はヴァンデルモンド行列
$$\det B=\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 1&2^2&3^2&\cdots&(m-1)^2\\ 1&2^4&3^4&\cdots&(m-1)^4\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&2^{p-3}&3^{p-3}&\cdots&(m-1)^{p-3} \end{vmatrix}$$
に変形できるので
$$\det B=\prod_{0< i< j< m}(j^2-i^2)\not\equiv0\pmod{p}$$
であり、$p$の正則性から$B_{2},B_{4},\ldots,B_{p-3}\not\equiv 0\pmod{p}$なので$\det A\not\equiv0\pmod{p}$が示された。

　補題4から$u={\zeta}^ru'$なる$u'\in(\Z[\z]^+)^\times$を取ると、$u'\in\Z_p[\z]^+={\mathbb{Z}}_p[\pi^2]$よりある$b\in{\mathbb{Z}}$が存在して
$$u'\equiv b\not\equiv0\pmod{\pi^2}$$
が成り立ち、また$\pi\equiv1-\z\pmod{\pi^2}$より
$$\z^r\equiv(1+\pi)^r\equiv1+r\pi\pmod{\pi^2}$$
なので$u\equiv b+br\pi\pmod{\pi^2}$となる。
　このとき仮定より$br\equiv0\pmod{p}$でなければならず、$b\not\equiv0$より$r\equiv0$つまり$u=u'\in({\mathbb{Z}}[{\zeta}]^+)^\times$を得る。特に$u$は実数となるので$u>0$としてよい。
　いま定理13から$\Z[\z]^+$の単数$\delta_2,\delta_3,\ldots,\delta_m$は${\mathbb{Z}}$上乗法的に独立なのでディリクレの単数定理より
$$u^n=\prod^m_{k=2}\delta_k^{e_k}\quad(\gcd(n,e_2,e_3,\ldots,e_m)=1)$$
なる$n,e_k$が取れる(※)。この両辺を$p-1$乗して$\Z_p[\z]$上で対数を取ると
$$n\log(u^{p-1})=\sum^{m}_{k=2}e_k\log(\delta_k^{p-1})$$
となり、仮定より$u^{p-1}\equiv1\pmod{p}$つまり$\log(u^{p-1})\in p{\mathbb{Z}}_p[\z]^+$が成り立つので定理13から各$e_k$は$p$で割り切れなければならない。
　このとき
$$v=\prod^{m}_{k=2}\delta_k^{e_k/p}=u^{n/p}$$
とおくと、$n,e_k$の取り方から$p\nmid n$なので$px+ny=1$なる$x,y\in{\mathbb{Z}}$が存在し
$$u=u^{px+ny}=(u^xv^y)^p$$
つまり$u$は単数$\e=u^xv^y$の$p$乗として表せることが示された。