Kummerの補題

　任意の共役元の絶対値が$1$で次数が$\mathrm{deg}\alpha$以下なる代数的整数$\beta$について、その最小多項式の各係数は$\beta$の共役元についての対称式であるから次数の制約も踏まえると$\beta$によらないある定数でおさえられることになる。
　そのような多項式ひいては$\beta$は高々有限個であり、つまりある$m\ne n$において${\alpha }^m={\alpha }^n$が成り立たなくてはならない。よって$\alpha$は1の累乗根である。
　また$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta )/\mathbb{Q})$の元$\sigma$と複素共役は可換、つまり$\sigma (\gamma /\bar{\gamma })=\sigma (\gamma )/\overline{\sigma (\gamma )}$が成り立つことに注意すると主張を得る。

　素数$q$について${\zeta }_q\in \mathbb{Z}[\zeta ]$とすると単項イデアル$(q)$は$\mathbb{Z}[\zeta ]$で$(q)=(1-{\zeta }_q{)}^{q-1}$と分解されなければならないが、Dedekindの判別定理から$\mathbb{Z}[\zeta ]$を割り切らない素数、つまり$p$以外の素数は不分岐であるので$q-1=1$または$q=p$でなければならないことがわかる。

　補題2,3より$\epsilon /\bar{\epsilon }=\pm {\zeta }^a$と表せ、このとき
$$\epsilon =f(\zeta )(f(x)\in \mathbb{Z}[x])$$
とおくと、$\zeta \equiv {\zeta }^{-1}(\mathrm{mod}1-\zeta )$より
$$\epsilon =f(\zeta )\equiv f({\zeta }^{-1})=\bar{\epsilon }(\mathrm{mod}1-\zeta )$$
つまり
$$\epsilon /\bar{\epsilon }=\pm {\zeta }^a\equiv \pm 1\equiv 1(\mathrm{mod}1-\zeta )$$
が成り立つので$1\not\equiv -1(\mathrm{mod}1-\zeta )$に注意すると$\epsilon /\bar{\epsilon }={\zeta }^a$となることがわかる。
　また$2r\equiv a(\mathrm{mod}p)$つまり$\epsilon ={\zeta }^{2r}\bar{\epsilon }$なる$r$をとり${\epsilon }^{\prime }={\zeta }^{-r}\epsilon$とおくと
$$\overline{{\epsilon }^{\prime }}={\zeta }^r\bar{\epsilon }={\zeta }^{-r}\epsilon ={\epsilon }^{\prime }$$
より${\epsilon }^{\prime }$は実数となり、$\epsilon ={\zeta }^r{\epsilon }^{\prime }$と表せることがわかった。

$$\alpha =-\frac{p}{(1-\zeta {)}^{p-1}}$$
とおいたとき、ウィルソンの定理$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p)$に注意すると
$$\begin{array}{rl}\alpha & =-\prod _{n=1}^{p-1}\frac{1-{\zeta }^n}{1-\zeta }=-\prod _{n=1}^{p-1}\sum _{k=0}^{n-1}{\zeta }^k\\ & \equiv -\prod _{n=1}^{p-1}\sum _{k=0}^{n-1}1=-(p-1)!\equiv 1(\mathrm{mod}1-\zeta )\end{array}$$
が成り立つ。したがって
$$F(x)=x^{p-1}-\alpha \in \mathbb{Z}[\zeta ]$$
とおくとこれは
$$F(1)\equiv 0(\mathrm{mod}1-\zeta ),F^{\prime }(1)\not\equiv 0(\mathrm{mod}1-\zeta )$$
を満たすので Henselの補題 から${\gamma }^{p-1}-\alpha =0$なる$\gamma \in {\mathbb{Z}}_p[\zeta ]$が存在することがわかる。
　そのような$\gamma$に対して$\pi =(\zeta -1)\gamma$とおくとこれは主張を満たす。実際まず
$${\pi }^{p-1}+p=(\zeta -1{)}^{p-1}\alpha +p=0$$
であり、$\gamma \equiv 1(\mathrm{mod}1-\zeta )$およびこのことから$\gamma \in {\mathbb{Z}}_p[\zeta {]}^{\times }$が成り立つことに注意すると
$$\frac{\pi -(\zeta -1)}{{\pi }^2}=\frac{\gamma -1}{\zeta -1}\cdot \frac{1}{{\gamma }^2}\in {\mathbb{Z}}_p[\zeta ]$$
つまり$\pi \equiv \zeta -1(\mathrm{mod}{\pi }^2)$がわかる。
　後は一意性を示せばよい。いま
$${\pi }^{\prime p-1}+p=0,{\pi }^{\prime }\equiv \zeta -1(\mathrm{mod}{\pi }^{\prime 2})$$
なる${\pi }^{\prime }$を取ると、${\pi }^{\prime p-1}=-p={\pi }^{p-1}$より${\pi }^{\prime }={\zeta }_{p-1}^k\pi$と表せる。このとき${\mathbb{Z}}_p[\zeta ]$のイデアルとして$({\pi }^{\prime })=(\pi )$が成り立つので
$${\zeta }_{p-1}^k\pi ={\pi }^{\prime }\equiv \zeta -1\equiv \pi (\mathrm{mod}{\pi }^2)$$
つまり${\zeta }_{p-1}^k\equiv 1(\mathrm{mod}\pi )$でなければならない。特に${\zeta }_{p-1}^k\ne 1$とすると
$$\pi \mid (1-{\zeta }_{p-1}^k)\mid (p-1)$$
が成り立つことになるが、これは$(\pi {)}^{p-1}=(p)$に反する。したがって${\pi }^{\prime }=\pi$となることがわかる。

　前者は$(\pi )=(1-\zeta )$であることからわかる。
　また${\bar{\pi }}^{p-1}+p=0$より$\bar{\pi }={\zeta }_{p-1}^k\pi$と表せ、このとき${\zeta }_{p-1}\in {\mathbb{Z}}_p$に注意すると$\overline{\stackrel{―}{\pi }}={\zeta }_{p-1}^{2k}\pi =\pi$が成り立つので$\bar{\pi }=\pm \pi$となる。もし$\bar{\pi }=\pi$とすると${\mathbb{Z}}_p[\zeta {]}^{+}={\mathbb{Z}}_p[\zeta ]$とか
$$\bar{\pi }-\pi \equiv \zeta -{\zeta }^{-1}\equiv 0(\mathrm{mod}{\pi }^2)$$
とかが成り立つことになり矛盾。したがって$\bar{\pi }=-\pi$であり${\mathbb{Z}}_p[\zeta ]={\mathbb{Z}}_p[\pi ]$を踏まえると${\mathbb{Z}}_p[\zeta {]}^{+}={\mathbb{Z}}_p[{\pi }^2]$がわかる。

　まず$E(x)=1+xf(x)$とおくと二項定理より
$$E(x{)}^p=1+x^{p}f(x{)}^p+pg(x)$$
と表せ、また$E(x)$は$e^x$の部分和であるからある$p$次以上の${\mathbb{Z}}_p$係数多項式$e(x,y)$が存在して
$$E(x)E(y)=E(x+y)+e(x,y)$$
という関係が成り立つ、つまり
$$E(x{)}^p=E(px)+x^{p}h(x)$$
と表せる。
　このとき$pg(x),(E(px)-1)\in p{\mathbb{Z}}_p[x]$から
$$h(x)-f(x{)}^p=\frac{pg(x)-(E(px)-1)}{x^p}\in p{\mathbb{Z}}_p[x]$$
となること注意すると
$$\begin{array}{rl}g(\pi )& =\frac{E(p\pi )-1}{p}+{\pi }^p\frac{h(\pi )-f(\pi )}{p}\\ & \equiv \frac{E(-{\pi }^p)-1}{p}\equiv \frac{-{\pi }^p}{p}(\mathrm{mod}{\pi }^p)\end{array}$$
つまり$pg(\pi )\equiv -{\pi }^p(\mathrm{mod}{\pi }^{2p-1})$がわかる。
　また$f(0)=1$(および多項定理)より$f(\pi {)}^p\equiv 1(\mathrm{mod}{\pi }^p)$がわかるので
$$E(\pi {)}^p=1+pg(\pi )+{\pi }^{p}f(\pi {)}^p\equiv 1-{\pi }^p+{\pi }^p=1(\mathrm{mod}{\pi }^{2p-1})$$
を得る。

　上と同様に$E(kx)=E(x{)}^k+x^{p}h(x)$と表せることから
$$E(k\pi )\equiv E(\pi {)}^k(\mathrm{mod}{\pi }^p)$$
が成り立つので$E(\pi )\equiv \zeta (\mathrm{mod}{\pi }^p)$を示せばよい。
　いま$\pi$の定義より
$$E(\pi )\equiv 1+\pi \equiv \zeta (\mathrm{mod}{\pi }^2)$$
が成り立つので${\zeta }^{-1}E(\pi )=1+{\pi }^2\gamma$なる$\gamma$を取ると
$$\begin{array}{rl}E(\pi {)}^p& =(1+{\pi }^2\gamma {)}^p\\ & =1+p{\pi }^2\gamma +(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{2}){\pi }^4{\gamma }^2+\cdots \equiv 1(\mathrm{mod}{\pi }^{2p-1})\end{array}$$
より少なくとも$p{\pi }^2\gamma \equiv 0(\mathrm{mod}{\pi }^{2p-1})$つまり${\pi }^2\gamma \equiv 0(\mathrm{mod}{\pi }^p)$でなければならず、したがって
$$E(\pi )=(1+{\pi }^2\gamma )\zeta \equiv \zeta (\mathrm{mod}{\pi }^p)$$
を得る。

　不等式${\mathrm{ord}}_p({\pi }^n/n)\ge 1$つまり$n/(p-1)\ge {\mathrm{ord}}_p(n)+1$の成立する条件を考えると
・${\mathrm{ord}}_p(n)=0$のとき$n\ge p-1$で成立
・${\mathrm{ord}}_p(n)=1$のとき$n\ge 2(p-1)$より$n\ne p$で成立
・${\mathrm{ord}}_p(n)\ge 2$のとき
$$n/(p-1)>n/p\ge p^{{\mathrm{ord}}_p(n)-1}\ge 3^{{\mathrm{ord}}_p(n)-1}\ge {\mathrm{ord}}_p(n)+1$$
より無条件で成立するので以上より$n\ge p+1$で不等式が成り立つことがわかる。

$$L\left(\frac{E(x)-1}{x}\right)\equiv \log \left(\frac{e^x-1}{x}\right)(\mathrm{mod}{x}^{p-1})$$
および
$${(\log \frac{e^x-1}{x})}^{\prime }=\frac{e^x}{e^x-1}-\frac{1}{x}=\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1}$$
から所望の式を得る。

　$p\log \zeta =\log \left({\zeta }^p\right)=0$より$\log \zeta =0$が成り立つことからわかる($\log \zeta$の値は複素関数としての$\log$とは異なることに注意する)。

$${\epsilon }_k^{p-1}={\epsilon }_k^p/{\epsilon }_k\equiv k^p\frac{\zeta -1}{{\zeta }^k-1}\equiv \frac{k\pi }{{\zeta }^k-1}\cdot \frac{\zeta -1}{\pi }(\mathrm{mod}p)$$
および補題8に注意すると
$$\begin{array}{rl}\log \left({\epsilon }_k^{p-1}\right)& \equiv \log \left(\frac{\zeta -1}{\pi }\right)-\log \left(\frac{{\zeta }^k-1}{k\pi }\right)\\ & \equiv \log \left(\frac{E(\pi )-1}{\pi }\right)-\log \left(\frac{E(k\pi )-1}{k\pi }\right)(\mathrm{mod}p)\end{array}$$
が成り立つ。
　また
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{p}{(\frac{E(\pi )-1}{\pi }-1)}^p& =-\frac{1}{{\pi }^{p-1}}{\left(\sum _{n=2}^{p-1}\frac{{\pi }^{n-1}}{n!}\right)}^p=-\pi {\left(\sum _{n=2}^{p-1}\frac{{\pi }^{n-2}}{n!}\right)}^p\\ & \equiv -\pi \sum _{n=2}^{p-1}{\left(\frac{{\pi }^{n-2}}{n!}\right)}^p\equiv -\pi {\left(\frac{1}{2!}\right)}^p\equiv -\frac{\pi }{2}(\mathrm{mod}p)\end{array}$$
に注意すると補題9,10より
$$\begin{array}{rl}\log \left(\frac{E(\pi )-1}{\pi }\right)& \equiv L\left(\frac{E(\pi )-1}{\pi }\right)-\frac{\pi }{2}\\ & \equiv \sum _{n=1}^{m-1}\frac{B_{2n}}{(2n)!2n}{\pi }^{2n}(\mathrm{mod}p)\end{array}$$
および同様にして
$$\log \left(\frac{E(k\pi )-1}{k\pi }\right)\equiv \sum _{n=1}^{m-1}\frac{B_{2n}}{(2n)!2n}{k}^{2n}{\pi }^{2n}(\mathrm{mod}p)$$
が成り立つので主張を得る。

　補題6より${\mathbb{Z}}_p[\zeta {]}^{+}={\mathbb{Z}}_p[{\pi }^2]$の基底として
$$\{1,{\pi }^2,{\pi }^4,\dots ,{\pi }^{2(m-1)}\}$$
が取れるので
$$\left[\begin{array}{cccc}1& \log \left({\epsilon }_2^{p-1}\right)& \cdots & \log \left({\epsilon }_m^{p-1}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& {\pi }^2& \cdots & {\pi }^{2(m-1)}\end{array}\right]A$$
なる行列$A$が${\mathbb{Z}}_p$上で可逆であること、特に$\det A\in {\mathbb{Z}}_p^{\times }$つまり$\det A\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$となることを示せばよい。
　いま補題12は$j\ne 1$に対し
$$A_{i+1,j}\equiv \frac{B_{2i}}{(2i)!2i}(1-j^{2i})(\mathrm{mod}p)$$
となることを意味しており、したがって
$$B=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 2^2-1& 3^2-1& \cdots & (m-1{)}^2-1\\ 0& 2^4-1& 3^4-1& \cdots & (m-1{)}^4-1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 2^{p-3}-1& 3^{p-3}-1& \cdots & (m-1{)}^{p-3}-1\end{array}\right)$$
とおくと
$$\det A\equiv \det B\prod _{n=1}^{m-1}\frac{-B_{2n}}{(2n)!2n}(\mathrm{mod}p)$$
が成り立つ。また$\det B$はヴァンデルモンド行列
$$\det B=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 2^2& 3^2& \cdots & (m-1{)}^2\\ 1& 2^4& 3^4& \cdots & (m-1{)}^4\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 2^{p-3}& 3^{p-3}& \cdots & (m-1{)}^{p-3}\end{array}\right|$$
に変形できるので
$$\det B=\prod _{0<i<j<m}(j^2-i^2)\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$
であり、$p$の正則性から$B_2,B_4,\dots ,B_{p-3}\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$なので$\det A\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$が示された。

　補題4から$u={\zeta }^r{u}^{\prime }$なる$u^{\prime }\in (\mathbb{Z}[\zeta {]}^{+}{)}^{\times }$を取ると、$u^{\prime }\in {\mathbb{Z}}_p[\zeta {]}^{+}={\mathbb{Z}}_p[{\pi }^2]$よりある$b\in \mathbb{Z}$が存在して
$$u^{\prime }\equiv b\not\equiv 0(\mathrm{mod}{\pi }^2)$$
が成り立ち、また$\pi \equiv 1-\zeta (\mathrm{mod}{\pi }^2)$より
$${\zeta }^r\equiv (1+\pi {)}^r\equiv 1+r\pi (\mathrm{mod}{\pi }^2)$$
なので$u\equiv b+br\pi (\mathrm{mod}{\pi }^2)$となる。
　このとき仮定より$br\equiv 0(\mathrm{mod}p)$でなければならず、$b\not\equiv 0$より$r\equiv 0$つまり$u=u^{\prime }\in (\mathbb{Z}[\zeta {]}^{+}{)}^{\times }$を得る。特に$u$は実数となるので$u>0$としてよい。
　いま定理13から$\mathbb{Z}[\zeta {]}^{+}$の単数${\delta }_2,{\delta }_3,\dots ,{\delta }_m$は$\mathbb{Z}$上乗法的に独立なのでディリクレの単数定理より
$$u^n=\prod _{k=2}^m{\delta }_k^{e_k}(gcd(n,e_2,e_3,\dots ,e_m)=1)$$
なる$n,e_k$が取れる(※)。この両辺を$p-1$乗して${\mathbb{Z}}_p[\zeta ]$上で対数を取ると
$$n\log \left(u^{p-1}\right)=\sum _{k=2}^m{e}_k\log \left({\delta }_k^{p-1}\right)$$
となり、仮定より$u^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$つまり$\log \left(u^{p-1}\right)\in p{\mathbb{Z}}_p[\zeta {]}^{+}$が成り立つので定理13から各$e_k$は$p$で割り切れなければならない。
　このとき
$$v=\prod _{k=2}^m{\delta }_k^{e_k/p}=u^{n/p}$$
とおくと、$n,e_k$の取り方から$p\nmid n$なので$px+ny=1$なる$x,y\in \mathbb{Z}$が存在し
$$u=u^{px+ny}=(u^x{v}^y{)}^p$$
つまり$u$は単数$\epsilon =u^x{v}^y$の$p$乗として表せることが示された。