Kummerの補題
はじめに
この記事では$n$が正則素数であるときのフェルマーの最終定理セカンドケースの証明において用いられるKummerの定理の証明を解説していきます。
Kummerの補題の主張は以下の通りです。
正則素数$p$について$\Z[\z]$の単数$u$が$p$を法としてある有理整数と合同であるとき、
また別のある単数$\e$が存在して$u=\e^p$が成り立つ。
なおこの記事では$1$の原始$p$乗根$\zeta_p$を単に$\zeta$と表します。
用語の解説
以下では様々な(見慣れない)概念が登場するのでそれらについて説明を付けておく。
$\Z_p[\z](=\Z_p[1-\z])$
$p$進数整数環$\Z_p$に$\z$を付加した環。
この記事 と同様にして$\Q_p(\z)$の整数環とも特徴づけられる。
この環において付値は$\ord_p(1-\z)=1/(p-1)$が基準となる。$R^\times,R^+$
左から環$R$の可逆元全体、環$R$の実なるもの全体を表す。
ここで$\Z_p[\z]$の元が実であるとは複素共役写像$\ol\cdot:\z\mapsto \z^{-1}$に対して不変であることをいう。指数、対数($e^x,\log x$)
ここで扱われる数は実数ではなく$p$進数であるので普段使われる指数や対数は扱えない。
そこで$p$進数体上の指数、対数は
$\dis e^x=\sum^\infty_{n=0}\frac{x^n}{n!},\quad\log(1+x)=\sum^\infty_{n=0}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$
と定義される。$p$進数体において級数$\sum_na_n$の収束は$\dis\lim_{n\to\infty}\ord_p(a_n)=\infty$と同値であり、
ルジャンドルの公式 から$\ord_p(x^n/n!)=n(\ord_p(x)-\frac{1}{p-1})-\frac{(省略)}{p-1}$なので
$e^x$は$\ord_p(x)>\frac{1}{p-1}$で収束し、$\log(1+x)$は簡単な議論により$\ord_p(x)>0$で収束することがわかる。
また積や和を考えることで($e^x$や$\log(1+x)$が収束する限り)実数と同じ指数法則が成り立つこともわかる。
証明のあらすじ
まずとある単数${\delta_2,\delta_3,\ldots,\delta_m}$が
$\Z_p[\z]^+$の基底$\{1,\log({\delta}_2^{p-1}),\log({\delta}_3^{p-1}),\ldots,\log({\delta}_{m}^{p-1})\}$をつくることを示し、
仮定より$u^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$なので$\log(u^{p-1})\in p\Z_p[\z]^+$であることから
$n\log(u^{p-1})=\sum^{m}_{k=2}pf_k\log(\delta_k^{p-1})$
つまり単数$v=\prod^m_{k=2}\delta_k^{f_k}$について$u^n=v^p$と表せれ、
$nx+py=1$なる整数$x,y$に$\e=u^yv^x$とおくと
$u=(u^n)^x(u^y)^p=\e^p$が得られることになる。
補題パート1
任意の共役元の絶対値が$1$なる代数的整数$\a$は$1$の累乗根となる。
特に代数的数$\g$について$\gamma/\ol{\g}$が代数的整数であれば$\gamma/\ol{\g}$は$1$の累乗根となる。
任意の共役元の絶対値が$1$で次数が$\deg\a$以下なる代数的整数$\b$について、その最小多項式の各係数は$\b$の共役元についての対称式であるから次数の制約も踏まえると$\b$によらないある定数でおさえられることになる。
そのような多項式ひいては$\b$は高々有限個であり、つまりある$m\neq n$において$\a^m=\a^n$が成り立たなくてはならない。よって$\a$は1の累乗根である。
$\Z[\z]$に属する$1$の累乗根は$\pm1$と$\z$のべきのみである。
素数$q$について$\z_q\in\Z[\z]$とすると単項イデアル$(q)$は$\Z[\z]$で$(q)=(1-\z_q)^{q-1}$と分解されるが、
Dedekindの判別定理から$\Z[\z]$を割り切らない、つまり$p$以外の素数は不分岐であるので
$q-1=1$または$q=p$でなければならず、主張を得る。
$\e\in\Z[\z]^\times$に対してある整数$r$と$\Z[\z]^+$の単数$\e'$があって$\e=\z^r\e'$が成り立つ。
補題2,3より${\varepsilon}/{\overline{{\varepsilon}}}=\pm\zeta^a$と表せれ、また${\varepsilon}=f(\zeta)\;(f(x)\in{\mathbb{Z}}[x])$と表すとき、
$\zeta\equiv1\pmod{1-\zeta}$より${\varepsilon}=f(\zeta)\equiv f(1)\equiv f(\zeta^{-1})={\overline{{\varepsilon}}}\pmod{1-\zeta}$なので
$1\not\equiv-1 \pmod{1-\zeta}$に注意すると${\varepsilon}/{\overline{{\varepsilon}}}=\zeta^a$がわかる。
このとき$2r\equiv a\pmod{p}$なる$r$をとり${\varepsilon}'=\zeta^{-r}{\varepsilon}$とおくと、${\overline{{\varepsilon}'}}=\zeta^r{\overline{{\varepsilon}}}=\zeta^{-r}{\varepsilon}={\varepsilon}'$
つまり${\varepsilon}'$は実数であり、${\varepsilon}=\zeta^r{\varepsilon}'$と表せれることがわかった。
補題パート2
$\pi^{p-1}+p=0$および$\pi\equiv \z-1\pmod{\pi^2}$なる$\pi\in\Z_p[\z]$が一意に存在する。
$\dis\alpha=-\frac{p}{(1-\zeta)^{p-1}}$とおくと、
$\dis\alpha=-\prod^{p-1}_{n=1}\frac{1-{\zeta}^n}{1-{\zeta}}=-\prod^{p-1}_{n=1}\sum^{n-1}_{k=0}{\zeta}^k\equiv-(p-1)!\equiv 1\pmod{1-{\zeta}}$(Wilsonの定理)なので
$F(x)=x^{p-1}-\alpha\in{\mathbb{Z}}[{\zeta}]$について、$F(1)\equiv0\pmod{1-{\zeta}},\;F'(1)\not\equiv0\pmod{1-{\zeta}}$が成り立ち、
Henselの補題
から$\gamma^{p-1}-\alpha=0$なる$\gamma\in{\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]$が存在することがわかる。
そのような${\gamma}$に対して$\pi=({\zeta}-1)\g$とおくと$\pi^{p-1}+p=0$であって、
$\gamma\equiv1\pmod{1-{\zeta}}$ひいては${\gamma}\in{\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]^{\times}$に注意すると、
$\frac{\pi-({\zeta}-1)}{\pi^2}=\frac{\gamma-1}{\zeta-1}\cdot\frac{1}{{\gamma}^2}\in{\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]$つまり$\pi\equiv{\zeta}-1\pmod{\pi^2}$がわかる。
逆に$\pi'^{p-1}+p=0$かつ$\pi'\equiv\zeta-1\pmod{\pi'^2}$なる$\pi'$について、$\pi'={\zeta}_{p-1}^k\pi$とおくと${\zeta}_{p-1}\in{\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]^{\times}$なので$\pi'={\zeta}_{p-1}^k\pi\equiv{\zeta}-1\equiv\pi\pmod{\pi^2}$つまり${\zeta}_{p-1}^k\equiv1\pmod\pi$でなければならない。いま$k\neq0$とすると$\pi$は$1-{\zeta}_{p-1}^k$ひいては$p-1$を割り切ることになるがこれは$\pi$の取り方に矛盾。よって$\pi$は一意に定まる。
$\Z_p[\z]=\Z_p[\pi]$および$\Z_p[\z]^+=\Z_p[\pi^2]$である。
$\pi\equiv{\zeta}-1\pmod{\pi^2}$からある${\alpha}\in{\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]$が存在して$\pi+{\alpha}\pi^2={\zeta}-1$が成り立つので
${\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]=\Z_p[1-\z]={\mathbb{Z}}_p[\pi]$となる。
また${\overline{\pi}}^{p-1}+p=0$より${\overline{\pi}}={\zeta}_{p-1}^k\pi$であるが、${\overline{({\overline{\pi}})}}=\zeta_{p-1}^{2k}\pi$より${\overline{\pi}}=\pm\pi$。
${\overline{\pi}}=\pi$とすると${\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]^+={\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]$となり矛盾。
よって${\overline{\pi}}=-\pi$であり$\Z_p[\z]=\Z_p[\pi]$を踏まえると${\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]^+={\mathbb{Z}}_p[\pi^2]$がわかる。
補題パート3
$\dis E(x)=\sum^{p-1}_{n=0}\frac{x^n}{n!}\in{\mathbb{Z}}_p[x]$について$E(\pi)^p\equiv 0\pmod{\pi^{2p-1}}$が成り立つ。
$E(x)$は$e^x$の部分和であるからある$p$次以上の${\mathbb{Z}}_p$係数多項式$e(x,y)$が存在して
$E(x)E(y)=E(x+y)+e(x,y)$という関係が成り立ち、また$E(x)=1+xf(x)$とおくと、
$E(x)^p=1+x^pf(x)^p+pg(x)=E(px)+x^ph(x)\;(g(x),h(x)\in{\mathbb{Z}}_p[x])$と表せれる。
いま$pg(x),(E(px)-1)\in p{\mathbb{Z}}_p[x]$から$h(x)-f(x)\in p{\mathbb{Z}}_p[x]$に注意すると
$g(\pi)=\frac{E(p\pi)-1}{p}+\pi^p\frac{h(\pi)-f(\pi)}{p}\equiv \frac{E(-\pi^p)-1}{p}\equiv\frac{-\pi^p}{p}\pmod{\pi^p}$つまり
$pg(\pi)\equiv p\pi=-\pi^p\pmod{\pi^{2p-1}}$がわかる。
また$f(\pi)\equiv 1\pmod{\pi}$より$f(\pi)^p\equiv1\pmod{\pi^p}$および$\pi^pf(\pi)^p\equiv \pi^p\pmod{\pi^{2p}}$がわかるので
$E(\pi)^p=1+pg(\pi)+\pi^pf(\pi)^p\equiv1-\pi^p+\pi^p=0\pmod{\pi^{2p-1}}$を得る。
$E(k\pi)\equiv \z^k\pmod{\pi^p}$
$E(k\pi)\equiv E(\pi)^k \pmod{\pi^p}$より$E(\pi)\equiv \z\pmod{\pi^p}$を示せばよい。
$E(\pi)\equiv1+\pi\equiv{\zeta}\pmod{\pi^2}$であるから${\zeta}^{-1}E(\pi)=1+\pi^2\gamma$とおくと、
$E(\pi)^p=(1+\pi^2{\gamma})^p=1+p\pi^2\g+\cdot\equiv1\pmod{\pi^{2p-1}}$であったので
少なくとも$p\pi^2{\gamma}\equiv0\pmod{\pi^{2p-1}}$でなければならず、$\pi^2{\gamma}\equiv0\pmod{\pi^p}$
すなわち$E(\pi)=(1+\pi^2{\gamma}){\zeta}\equiv{\zeta}\pmod{\pi^p}$を得る。
$\dis L(1+x)=\sum^{p-1}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$について$\dis m=\frac{p-1}{2}$とおくと、
$\dis L\left(\frac{E(x)-1}{x}\right)\equiv {\frac{1}{2}}x+\sum^{m-1}_{n=1}\frac{B_{2n}}{(2n)!2n}x^{2n}\pmod{x^{p-1}}$が成り立つ。
ただし$B_{2n}$はベルヌーイ数である。
$\dis L(\frac{E(x)-1}{x})\equiv\log(\frac{e^x-1}{x})\pmod{x^{p-1}}$および
$\dis \left(\log(\frac{e^x-1}{x})\right)'=\frac{e^x}{e^x-1}-\frac1x=\frac12+\sum^\infty_{n=1}\frac{B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}$から所望の式を得る。
証明の肝
$\dis \eta=-\z^{\frac{p+1}{2}},\quad{\varepsilon}_k=\frac{1-{\zeta}^k}{1-{\zeta}}=\frac{\eta^{2k}-1}{\eta^2-1},\quad\delta_k=\frac{\sin(k\pi/p)}{\sin(\pi/p)}=\eta^{-(k-1)}\e_k$とおく。
($\delta_k$の右辺の$\pi$は円周率の$\pi$である。)
$\{1,\log({\varepsilon}_2^{p-1}),\log({\varepsilon}_3^{p-1}),\ldots,\log({\varepsilon}_{m}^{p-1})\}$は${\mathbb{Z}}_p[{\zeta}]^+$の$\Z_p$上の基底となる。
${\varepsilon}_k\equiv k\pmod{1-{\zeta}}$すなわち${\varepsilon}_k\equiv k\pmod{\pi}$であるから${\varepsilon}_k^{p-1}\equiv 1\pmod{\pi}$
よって${\varepsilon}_k^{p-1}$の対数が考えられて、$p\log\z=\log(\z^p)=0$より$\log\z=0$なので
($\log\z$の値が複素関数としての$\log$と違うことに注意する。)
$\log(\e_k^{p-1})=\log(\eta^{(k-1)(p-1)}\delta_k^{p-1})=\log(\delta_k^{p-1})\in\Z_p[\z]^+$となる。
いま、補題6から$\Z_p[\z]^+$の基底として$\{1,\pi^2,\pi^4,\ldots,\pi^{2(m-1)}\}$が取れるので、これから所望の基底(であることを示したい列)への変換行列$A$が$\Z_p$上で可逆であることを示せばよく、それは$\det A\in\Z_p^\times$つまり$\det A\not\equiv0\pmod{p}$であることに同値である。
さて$\dis{\varepsilon}_k^{p-1}={\varepsilon}_k^p/\e_k\equiv k^p\frac{{\zeta}-1}{{\zeta}^k-1}\equiv\frac{k\pi}{{\zeta}^k-1}\cdot\frac{{\zeta}-1}{\pi}\pmod{p}$なので
$\dis\log({\varepsilon}_k^{p-1})\equiv\log(\frac{{\zeta}-1}{\pi})-\log(\frac{{\zeta}^k-1}{k\pi})
\equiv\log\left(\frac{E(\pi)-1}{\pi}\right)-\log\left(\frac{E(k\pi)-1}{k\pi}\right)\pmod{p}$と表せれる。
$x\equiv 0\pmod{\pi}$ならば$n\geq p+1$において$\ord_p(x^n/n)\geq1$が成り立つ。
特に$\log(1+x)\equiv L(x)+\frac{x^p}{p}\pmod{p}$が成り立つ。
不等式$\ord_p(\pi^n/n)\geq1$つまり$n/(p-1)\geq {\mathrm{ord}}_p(n)+1$を考えると、
${\mathrm{ord}}_p(n)=0$のとき$n\geq p-1$で、
${\mathrm{ord}}_p(n)=1$のとき$n\geq2(p-1)$より$n\neq p$で、
${\mathrm{ord}}_p(n)\geq2$のとき$n/(p-1)\geq p^{{\mathrm{ord}}_p(n)-1}\geq 3^{{\mathrm{ord}}_p(n)-1}\geq{\mathrm{ord}}_p(n)+1$より無条件で、
成立するので$n\geq p+1$で不等式が成り立つことがわかった。
ここで$\dis\frac1p(\frac{E(\pi)-1}{\pi}-1)^p=-\pi(\sum^{p-1}_{n=2}{\frac{\pi^{n-2}}{n!}})^p$であって
$\dis(\sum^{p-1}_{n=2}{\frac{\pi^{n-2}}{n!}})^p\equiv\sum^{p-1}_{n=2}(\frac{\pi^{n-2}}{n!})^p\equiv(\frac{\pi^0}{2!})^p\equiv\frac12\pmod{p}$であるから
$\dis\log\left(\frac{E(\pi)-1}{\pi}\right)\equiv L\left(\frac{E(\pi)-1}{\pi}\right)-\frac{\pi}{2}\pmod{p}$となり、
$L\left(\frac{E(x)-1}{x}\right)$はその定義から${\mathbb{Z}}_p$係数であることに注意すると$x=\pi$において補題9と同じ合同式が成り立ち、
$\dis\log\left(\frac{E(\pi)-1}{\pi}\right)\equiv\sum^{m-1}_{n=1}\frac{B_{2n}}{(2n)!2n}\pi^{2n}\pmod{p}$を得る。
同様にして$\dis\log\left(\frac{E(k\pi)-1}{k\pi}\right)\equiv\sum^{m-1}_{n=1}\frac{B_{2n}}{(2n)!2n}k^{2n}\pi^{2n}\pmod{p}$がわかるので
以上より$\dis\log(\log({\varepsilon}_k^{p-1}))\equiv\sum^{m-1}_{n=1}\frac{B_{2n}}{(2n)!2n}(1-k^{2n})\pi^{2n}\pmod{p}$を得る。
つまり$\dis\det A\equiv \prod^{m-1}_{n=1}\frac{-B_{2n}}{(2n)!2n}\begin{vmatrix}1&\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{0}&(j^{2i}-1)_{i,j}\end{vmatrix}
\pmod{p}$となり、
$\dis\begin{vmatrix}1&\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{0}&(j^{2i}-1)_{i,j}\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}1&\boldsymbol{1}\\\boldsymbol{0}&(j^{2i}-1)_{i,j}\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}1&\boldsymbol{1}\\\boldsymbol{1}&(j^{2i})_{i,j}\end{vmatrix}
=\det((j^{2i})_{i,j})=\prod_{i< j}^m(j^2-i^2)\not\equiv0\pmod{p}$および、
$p$の正則性から$B_{2},B_{4},\ldots,B_{2(m-1)}\not\equiv 0\pmod{p}$なので$\det A\not\equiv0\pmod{p}$が示された。
証明
$u={\zeta}^ru'\quad(u'\in({\mathbb{Z}}[{\zeta}]^+)^\times)$とおくと、
$u'\in\Z_p[\z]^+={\mathbb{Z}}_p[\pi^2]$よりある$b\in{\mathbb{Z}}$に$u'\equiv b\pmod{\pi^2}$、
および${\zeta}^r\equiv(1+\pi)^r\equiv1+r\pi\pmod{\pi^2}$なので$u\equiv b+br\pi\pmod{\pi^2}$となり、
仮定より$br\equiv0\pmod{p}$でなければならないが$u'$は単数なので$b\not\equiv0\pmod{p}$
つまり$r\equiv0\pmod{p}$よって$u\in({\mathbb{Z}}[{\zeta}]^+)^\times$を得る。
いま一般性を失わずに$u>0$とすると、
定理10から単数$\delta_2,\delta_3,\ldots,\delta_m$は${\mathbb{Z}}$上乗法的に独立なのでDirichletの単数定理よりある$n\in{\mathbb{N}}$に
$\dis u^n=\prod^m_{k=2}\delta_k^{e_k}\;(\gcd(n,e_2,e_3,\ldots,e_m)=1)$とできて、
この両辺を$p-1$乗して対数を取ると${\displaystyle}n\log(u^{p-1})=\sum^{m}_{k=2}e_k\log(\delta_k^{p-1})$
このとき$u^{p-1}\equiv1\pmod{p}$より$\log(u^{p-1})\in p{\mathbb{Z}}_p[\z]^+$であるので
各$e_k$は$p$で割り切れなければならない。
しかし指数の取り方より$p{\!\!\not|}n$なので$v=\prod^{m}_{k=2}\delta_k^{e_k/p}$とおき$px+ny=1$なる$x,y\in{\mathbb{Z}}$をとると
$u=u^{px+ny}=(u^xv^y)^p$つまり$u$はある単数の$p$乗として表せれることが示された。