素数pがベルヌーイ数を割り切らないなら正則素数である

　いま この記事 から
$$\z_\K(s)=\prod_{\x:\even}L(s,\x)$$
と表せたので、$\x=\x_0$(自明な指標)のときつまり$L(s,\x_0)=\z(s)$であることを除いて$L(1,\x)$は収束することに注意すると類数公式より
\begin{align} \lim_{s\to1}(s-1)\z_\K(s) &=\prod_{\substack{\x:\even\\\x\neq\x_0}}L(1,\x)\\ &=\frac{2^mh_\K R_\K}{w_\K\sqrt{|D_\K|}}=\frac{2^mh_\K R_\K}{2\cdot p^{\frac{m-1}{2}}} \end{align}
つまり
$$h_\K=\frac{p^{\frac{m-1}{2}}}{2^{m-1}R_\K}\prod_{\substack{\x:\even\\\x\neq\x_0}}L(1,\x)$$
が成り立つ。
　また この記事 の公式3から$\x:\even$に対し
\begin{align} L(1,\x)&=-\frac{\t(\x)}{p}\sum^{p-1}_{a=1}\ol\x(a)\ln|1-\z^a|\\ &=-\frac{\t(\x)}{p}\l(\sum^{m}_{a=1}\ol\x(a)\ln|1-\z^a|+\sum^{m}_{a=1}\ol\x(-a)\ln|1-\z^{-a}|\r)\\ &=-\frac{\t(\x)}{p}\cdot2\sum^{m}_{a=1}\ol\x(a)\ln|1-\z^a| \end{align}
と表せるので、 前回の記事 の補題8と同様にして
$$\prod_{\substack{\x:\even\\\x\neq\x_0}}\frac{\t(\x)}{p}=p^{\frac{m-1}{2}}$$
が成り立つことに注意すると
$$h_\K=\frac{(-1)^{m-1}}{R_\K}\prod_{\substack{\x:\even\\\x\neq\x_0}}\l(\sum^{m}_{a=1}\ol\x(a)\ln|1-\z^a|\r)$$
を得る。

　$A$の線形独立な$n$個の固有ベクトルがそれぞれ固有値
$$\sum_{\s\in G}\x(\s)f(\s)$$
を持つことを言えばよい。
　いま$\C^n$の標準基底を$e_1,e_2,\ldots,e_n$とおくと各$\x\in\G$に対し
\begin{align} A\sum^n_{k=1}\x(\s_k)e_k &=\sum^n_{k=1}\x(\s_k)\sum^n_{i=1}f(\s_i^{-1}\s_k)e_i\\ &=\sum^n_{i=1}\x(\s_i)e_i\sum_{\s\in G}\x(\s_i^{-1}\s)f(\s_i^{-1}\s)\\ &=\l(\sum^n_{k=1}\x(\s_k)e_k\r)\l(\sum_{\s\in G}\x(\s)f(\s)\r) \end{align}
が成り立つので$A$は$\sum_{\s\in G}\x(\s)f(\s)$を固有値に
$$x_\x=\sum^n_{k=1}\x(\s_k)e_k$$
を対応する固有ベクトルに持つことがわかる。
　また$\x,\x'\in\G$に対して$x_\x,x_{\x'}$の内積
$$(x_\x,x_{\x'})=\sum^n_{k=1}\x(\s_k)\ol{\x'(\s_k)}=\sum_{\s\in G}\x(\s)\x'(\s)^{-1}$$
を考えると任意の$\s\in G$に対し
\begin{align} \x(\s)(x_\x,x_{\x'}) &=\sum_{\s'\in G}\x(\s\s')\x'(\s')^{-1}\\ &=\sum_{\s'\in G}\x(\s')\x'(\s^{-1}\s')^{-1}=\x'(\s)(x_\x,x_{\x'}) \end{align}
が成り立つので$\x\neq\x'$ならば$(x_\x,x_{\x'})=0$でなければならない。したがって
$$\{x_\x\mid\x\in\G\}$$
は$\C^n$の直交系をなす、特に線形独立であることがわかる。

　$f(a)=f(-a)$に注意すると$f$は$\ZZt{p}$の商群
$$G=\ZZt{p}/\{\pm1\}=\{1,2,\ldots,m\}$$
から$\C$への写像ともみなせる。したがって
$$\sum^m_{a=1}f(a) =\farc12\ln\l|\prod^{p-1}_{a=1}(1-\z^a)\r|=\frac12\ln|\Phi_p(1)|=\ln\sqrt{p}$$
および
$$\G=\{\x|_G\mid\x:\even\}$$
に注意すると上の補題より
\begin{align} (\ln\sqrt p)\cdot (-1)^{m-1}R_\K h_\K &=\l(\sum^m_{a=1}f(a)\r)\cdot\prod_{\substack{\x\in\G\\\x\neq1}}\l(\sum^{m}_{a=1}\x(a)f(a)\r)\\ &=\prod_{\x\in\G}\l(\sum^m_{a=1}\x(a)f(a)\r)\\ &=\det(f(i^{-1}j)) \end{align}
が成り立つ(ただし$i^{-1}$は$ai\equiv1\m{p}$なる整数$a$の意)。
　またこの両辺の絶対値を取り$(f(i^{-1}j))$の行を適当に入れ替えることで主張を得る。

$$\sum^m_{i=1}f(ij)=\sum^m_{a=1}f(a)=\ln\sqrt{p}$$
に注意して$A=(f(ij))$の1行目に他のすべての行を足し合わせることで
$$h_\K=\frac1{R_\K}|\det\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\\f(2)&f(4)&\cdots&f(2m)\\f(3)&f(6)&\cdots&f(3m)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\f(m)&f(2m)&\cdots&f(m^2)\end{pmatrix}|$$
となり、この1列目を他の全ての列から引くことで結局
$$h_\K=\frac1{R_\K}|\det(f(ij)-f(i))_{2\leq i,j\leq m}|$$
が成り立つ。
　いま$\K$上の共役写像$\s_k\;(k=1,2,\ldots,m)$を$\s_k(\z)=\z^k$によって定めると
$$f(ij)-f(i)=\ln\l|\frac{1-\z^{ij}}{1-\z^i}\r|=\ln\l|\frac{\eta^{ij}-\eta^{-ij}}{\eta^i-\eta^{-i}}\r|=\ln|\s_i(\d_j)|$$
と表せ、また$\K$の基本単数を$\e_2,\e_3,\ldots,\e_m$とおくと単数規準の定義から
$$R_\K=\det(\ln|\s_i(\e_j)|)_{2\leq i,j\leq m}$$
と表せるので
$$\d_j=\prod^{m-1}_{i=1}\e_k^{c_{i,j}}$$
つまり
$$\begin{bmatrix} \ln\d_2&\ln\d_3&\cdots&\ln\d_m \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \ln\e_2&\ln\e_3&\cdots&\ln\e_m \end{bmatrix}C$$
なる整数行列$C=(c_{i,j})_{2\leq i,j\leq m}$を取ると
$$h_\K=\frac{|\det(\ln|\s_i(\d_j)|)|}{\det(\ln|\s_i(\e_j)|)}=|\det C|=|E/E_0|$$
を得る。

　 前回の記事 の定理12系から$p$は$h_K/h_\K$を割り切らないので、$p$が$h_\K$を割り切らないことを示せば十分である。
　いま$p$は$h_\K$ひいては$|E/E_0|$を割り切ると仮定する。このとき$\e\not\in E_0$かつ$\e^p\in E_0$なる$\e\in E$が存在し、また$\e^p\in E_0$から
$$\e^p=\prod^m_{k=2}\d_k^{e_k}$$
とおくと$\e\not\in E_0$からある$k$に対し$p\nmid e_k$が成り立つ。
　しかし$\Z_p[\z]$上でこの$p-1$乗の$\log$を取ると
$$p\log(\e^{p-1})=\sum^m_{k=2}e_k\log(\d_k^{p-1})$$
となるので定理2よりすべての$k$に対し$p\mid e_k$が成り立たなければならず矛盾を得る。