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大学数学基礎解説
文献あり

素数pがベルヌーイ数を割り切らないなら正則素数である

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{abs}[0]{\mathrm{abs}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{ep}[0]{\epsilon} \newcommand{eq}[0]{\equiv} \newcommand{even}[0]{\mathrm{even}} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\widehat{G}} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\mathrm{Gal}} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{Im}[0]{\mathrm{Im}} \newcommand{K}[0]{{K^+}} \newcommand{Ker}[0]{\mathrm{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{lra}[0]{\leftrightarrow} \newcommand{ls}[2]{\Big(\frac{#1}{#2}\Big)} \newcommand{m}[1]{\pmod{#1}} \newcommand{Map}[0]{\mathrm{Map}} \newcommand{mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{mr}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{N}[0]{\mathrm{N}_{k/\mathbb{Q}}} \newcommand{ndiv}[0]{\nmid} \newcommand{O}[0]{\mathcal{O}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{odd}[0]{\mathrm{odd}} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{prime}[0]{\mathrm{prime}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\mathrm{Re}} \newcommand{resp}[0]{\mathrm{resp}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{t}[0]{\tau} \newcommand{th}[0]{\theta} \newcommand{ti}[0]{{}^\times} \newcommand{Tr}[0]{\mathrm{Tr}_{k/\mathbb{Q}}} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{wh}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{x}[0]{\chi} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事では 前回の記事 に引き続き以下の主張を示していきます。

 素数$p$がベルヌーイ数$B_2,B_4,\ldots,B_{p-3}$のいずれも割り切らなければ、$p$は円分体$\Q(\z_p)$の類数も割り切らない。

 今回の記事では クンマーの補題の記事 で証明の肝となった以下の主張(定理13)が重要となってきます。

 素数$p$がベルヌーイ数$B_2,B_4,\ldots,B_{p-3}$を割り切らないとき
$$\{1,\log(\d_2^{p-1}),\log(\d_3^{p-1}),\ldots,\log(\d_{m}^{p-1})\}$$
$\Z_p[\z]^+$$\Z_p$上の基底となる。

 ただし$\log x$$p$進数上の対数関数
$$\log x\coloneqq\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(x-1)^n}{n}$$
であり
$$m=\frac{p-1}{2},\quad \eta=-\z_p^{\frac{p+1}{2}},\quad \d_{k}=\frac{\eta^k-\eta^{-k}}{\eta-\eta^{-1}}=\frac{\sin(k\pi/p)}{\sin(\pi/p)}$$
としました。
 以下、複素関数としての対数は$\ln x$と書き分け、また$1$の原始$p$乗根$\z_p$$\z$と表します。

証明のあらすじ

 $K=\Q(\z),\K=\Q(\z+\z^{-1})$について 前回の記事 から
$$h_K\equiv\l(\prod^{m-1}_{k=1}-\frac{1}{2}\cdot\farc{B_{2k}}{2k}\r)\cdot h_\K\pmod{p}$$
であったので、仮定より$h_\K$$p$で割り切れないことを言えばよい。
 まず単数群$E=(\Z[\z]^+)^\times$$\d_2,\d_3,\ldots,\d_{m}$のなすその部分群$E_0$を考えたとき、類数公式
$$h_\K=\frac{p^{\frac{m-1}2}}{2^{m-1}R_\K}\prod_{\x:\even}L(1,\x)$$
から$h_\K$がその指数$|E/E_0|$に一致することを示す。
 そして$p|h_\K$であると仮定すると
$$\e^p=\prod^m_{k=2}\d_k^{c_k}\quad(\gcd(p,c_2,c_3,\ldots,c_m)=1)$$
なる$\e\in E$が取れることを示す。
 しかし$\Z_p[\z]$においてこの$p-1$乗の対数を取ると
$$p\log(\e^{p-1})=\sum^m_{k=2}c_k\log(\d_k^{p-1})$$
となるので定理2よりすべての$c_k$$p$で割り切れなければならず矛盾を得る。

$h_\K$の変形

$$h_\K=\frac{(-1)^{m-1}}{R_\K}\prod_{\substack{\x:\even\\\x\neq\x_0}}\l(\sum^{m}_{a=1}\x(a)\ln|1-\z^a|\r)$$

 いま この記事 から
$$\z_\K(s)=\prod_{\x:\even}L(s,\x)$$
と表せたので、$\x=\x_0$(自明な指標)のときつまり$L(s,\x_0)=\z(s)$であることを除いて$L(1,\x)$は収束することに注意すると類数公式より
\begin{align} \lim_{s\to1}(s-1)\z_\K(s) &=\prod_{\substack{\x:\even\\\x\neq\x_0}}L(1,\x)\\ &=\frac{2^mh_\K R_\K}{w_\K\sqrt{|D_\K|}}=\frac{2^mh_\K R_\K}{2\cdot p^{\frac{m-1}{2}}} \end{align}
つまり
$$h_\K=\frac{p^{\frac{m-1}{2}}}{2^{m-1}R_\K}\prod_{\substack{\x:\even\\\x\neq\x_0}}L(1,\x)$$
が成り立つ。
 また この記事 の公式3から$\x:\even$に対し
\begin{align} L(1,\x)&=-\frac{\t(\x)}{p}\sum^{p-1}_{a=1}\ol\x(a)\ln|1-\z^a|\\ &=-\frac{\t(\x)}{p}\l(\sum^{m}_{a=1}\ol\x(a)\ln|1-\z^a|+\sum^{m}_{a=1}\ol\x(-a)\ln|1-\z^{-a}|\r)\\ &=-\frac{\t(\x)}{p}\cdot2\sum^{m}_{a=1}\ol\x(a)\ln|1-\z^a| \end{align}
と表せるので、 前回の記事 の補題8と同様にして
$$\prod_{\substack{\x:\even\\\x\neq\x_0}}\frac{\t(\x)}{p}=p^{\frac{m-1}{2}}$$
が成り立つことに注意すると
$$h_\K=\frac{(-1)^{m-1}}{R_\K}\prod_{\substack{\x:\even\\\x\neq\x_0}}\l(\sum^{m}_{a=1}\ol\x(a)\ln|1-\z^a|\r)$$
を得る。

$h_\K$の意味付け

 位数$n$の有限アーベル群
$$G=\{\s_1,\s_2,\ldots,\s_n\}$$
と写像$f:G\to\C$に対し正方行列$A\in M_n(\C)$$A=(f(\s_i^{-1}\s_j))_{i,j}$によって定める。
 このとき
$\dis\det A=\prod_{\x\in\G}\l(\sum_{\s\in G}\x(\s)f(\s)\r)$
が成り立つ。

 $A$の線形独立な$n$個の固有ベクトルがそれぞれ固有値
$$\sum_{\s\in G}\x(\s)f(\s)$$
を持つことを言えばよい。
 いま$\C^n$の標準基底を$e_1,e_2,\ldots,e_n$とおくと各$\x\in\G$に対し
\begin{align} A\sum^n_{k=1}\x(\s_k)e_k &=\sum^n_{k=1}\x(\s_k)\sum^n_{i=1}f(\s_i^{-1}\s_k)e_i\\ &=\sum^n_{i=1}\x(\s_i)e_i\sum_{\s\in G}\x(\s_i^{-1}\s)f(\s_i^{-1}\s)\\ &=\l(\sum^n_{k=1}\x(\s_k)e_k\r)\l(\sum_{\s\in G}\x(\s)f(\s)\r) \end{align}
が成り立つので$A$$\sum_{\s\in G}\x(\s)f(\s)$を固有値に
$$x_\x=\sum^n_{k=1}\x(\s_k)e_k$$
を対応する固有ベクトルに持つことがわかる。
 また$\x,\x'\in\G$に対して$x_\x,x_{\x'}$の内積
$$(x_\x,x_{\x'})=\sum^n_{k=1}\x(\s_k)\ol{\x'(\s_k)}=\sum_{\s\in G}\x(\s)\x'(\s)^{-1}$$
を考えると任意の$\s\in G$に対し
\begin{align} \x(\s)(x_\x,x_{\x'}) &=\sum_{\s'\in G}\x(\s\s')\x'(\s')^{-1}\\ &=\sum_{\s'\in G}\x(\s')\x'(\s^{-1}\s')^{-1}=\x'(\s)(x_\x,x_{\x'}) \end{align}
が成り立つので$\x\neq\x'$ならば$(x_\x,x_{\x'})=0$でなければならない。したがって
$$\{x_\x\mid\x\in\G\}$$
$\C^n$の直交系をなす、特に線形独立であることがわかる。

 写像$f:\ZZt p\to\C$$f(a)=\ln|1-\z^a|$によって定め
$$A=(f(ij))_{i,j}\in M_{p-1}(\C)$$
とおく。このとき
$$h_\K=\frac1{R_\K}\cdot\frac{|\det A|}{\ln\sqrt p}$$
が成り立つ。

 $f(a)=f(-a)$に注意すると$f$$\ZZt{p}$の商群
$$G=\ZZt{p}/\{\pm1\}=\{1,2,\ldots,m\}$$
から$\C$への写像ともみなせる。したがって
$$\sum^m_{a=1}f(a) =\farc12\ln\l|\prod^{p-1}_{a=1}(1-\z^a)\r|=\frac12\ln|\Phi_p(1)|=\ln\sqrt{p}$$
および
$$\G=\{\x|_G\mid\x:\even\}$$
に注意すると上の補題より
\begin{align} (\ln\sqrt p)\cdot (-1)^{m-1}R_\K h_\K &=\l(\sum^m_{a=1}f(a)\r)\cdot\prod_{\substack{\x\in\G\\\x\neq1}}\l(\sum^{m}_{a=1}\x(a)f(a)\r)\\ &=\prod_{\x\in\G}\l(\sum^m_{a=1}\x(a)f(a)\r)\\ &=\det(f(i^{-1}j)) \end{align}
が成り立つ(ただし$i^{-1}$$ai\equiv1\m{p}$なる整数$a$の意)。
 またこの両辺の絶対値を取り$(f(i^{-1}j))$の行を適当に入れ替えることで主張を得る。

$$E=\{\e\in(\Z[\z]^+)^\times\mid\e>0\},\quad E_0=\langle\d_2,\d_3,\ldots,\d_m\rangle$$
とおくと$h_\K=|E/E_0|$が成り立つ。

$$\sum^m_{i=1}f(ij)=\sum^m_{a=1}f(a)=\ln\sqrt{p}$$
に注意して$A=(f(ij))$の1行目に他のすべての行を足し合わせることで
$$h_\K=\frac1{R_\K}|\det\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\\f(2)&f(4)&\cdots&f(2m)\\f(3)&f(6)&\cdots&f(3m)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\f(m)&f(2m)&\cdots&f(m^2)\end{pmatrix}|$$
となり、この1列目を他の全ての列から引くことで結局
$$h_\K=\frac1{R_\K}|\det(f(ij)-f(i))_{2\leq i,j\leq m}|$$
が成り立つ。
 いま$\K$上の共役写像$\s_k\;(k=1,2,\ldots,m)$$\s_k(\z)=\z^k$によって定めると
$$f(ij)-f(i)=\ln\l|\frac{1-\z^{ij}}{1-\z^i}\r|=\ln\l|\frac{\eta^{ij}-\eta^{-ij}}{\eta^i-\eta^{-i}}\r|=\ln|\s_i(\d_j)|$$
と表せ、また$\K$の基本単数を$\e_2,\e_3,\ldots,\e_m$とおくと単数規準の定義から
$$R_\K=\det(\ln|\s_i(\e_j)|)_{2\leq i,j\leq m}$$
と表せるので
$$\d_j=\prod^{m-1}_{i=1}\e_k^{c_{i,j}}$$
つまり
$$\begin{bmatrix} \ln\d_2&\ln\d_3&\cdots&\ln\d_m \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \ln\e_2&\ln\e_3&\cdots&\ln\e_m \end{bmatrix}C$$
なる整数行列$C=(c_{i,j})_{2\leq i,j\leq m}$を取ると
$$h_\K=\frac{|\det(\ln|\s_i(\d_j)|)|}{\det(\ln|\s_i(\e_j)|)}=|\det C|=|E/E_0|$$
を得る。

証明

 素数$p$がベルヌーイ数$B_2,B_4,\ldots,B_{p-3}$のいずれも割り切らなければ、$p$は円分体$\Q(\z_p)$の類数も割り切らない。

  前回の記事 の定理12系から$p$$h_K/h_\K$を割り切らないので、$p$$h_\K$を割り切らないことを示せば十分である。
 いま$p$$h_\K$ひいては$|E/E_0|$を割り切ると仮定する。このとき$\e\not\in E_0$かつ$\e^p\in E_0$なる$\e\in E$が存在し、また$\e^p\in E_0$から
$$\e^p=\prod^m_{k=2}\d_k^{e_k}$$
とおくと$\e\not\in E_0$からある$k$に対し$p\nmid e_k$が成り立つ。
 しかし$\Z_p[\z]$上でこの$p-1$乗の$\log$を取ると
$$p\log(\e^{p-1})=\sum^m_{k=2}e_k\log(\d_k^{p-1})$$
となるので定理2よりすべての$k$に対し$p\mid e_k$が成り立たなければならず矛盾を得る。

 ちなみにこの証明からもわかるように上の主張は
$$p\nmid h_K/h_\K\Rightarrow p\nmid h_\K$$
とも言い換えられるが、実はこの後者の命題は恒等的に真なのではないかと予想されている。

Kummer–Vandiver予想

 素数$p$が実円分体$\Q(\z_p+\z_p^{-1})$の類数を割り切ることはない。

参考文献

参考文献

[2]
Z. I. Borevich and I. R. Shafarevich, Number Theory, Academic Press, 1966, pp.359-362, p.376, p.421 PROBLEMS 13
投稿日:20201219
更新日:111

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投稿者

子葉
子葉
875
161993
主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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