素数pがベルヌーイ数を割り切らないなら正則素数である

　いま この記事 から
$${\zeta }_{K^{+}}(s)=\prod _{\chi :\mathrm{even}}L(s,\chi )$$
と表せたので、$\chi ={\chi }_0$(自明な指標)のときつまり$L(s,{\chi }_0)=\zeta (s)$であることを除いて$L(1,\chi )$は収束することに注意すると類数公式より
$$\begin{array}{rl}\underset{s\to 1}{lim}(s-1){\zeta }_{K^{+}}(s)& =\prod _{\begin{array}{c}\chi :\mathrm{even}\\ \chi \ne {\chi }_0\end{array}}L(1,\chi )\\ & =\frac{2^m{h}_{K^{+}}{R}_{K^{+}}}{w_{K^{+}}\sqrt{|D_{K^{+}}|}}=\frac{2^m{h}_{K^{+}}{R}_{K^{+}}}{2\cdot p^{\frac{m-1}{2}}}\end{array}$$
つまり
$$h_{K^{+}}=\frac{p^{\frac{m-1}{2}}}{2^{m-1}{R}_{K^{+}}}\prod _{\begin{array}{c}\chi :\mathrm{even}\\ \chi \ne {\chi }_0\end{array}}L(1,\chi )$$
が成り立つ。
　また この記事 の公式3から$\chi :\mathrm{even}$に対し
$$\begin{array}{rl}L(1,\chi )& =-\frac{\tau (\chi )}{p}\sum _{a=1}^{p-1}\bar{\chi }(a)\ln |1-{\zeta }^a|\\ & =-\frac{\tau (\chi )}{p}(\sum _{a=1}^m\bar{\chi }(a)\ln |1-{\zeta }^a|+\sum _{a=1}^m\bar{\chi }(-a)\ln |1-{\zeta }^{-a}|)\\ & =-\frac{\tau (\chi )}{p}\cdot 2\sum _{a=1}^m\bar{\chi }(a)\ln |1-{\zeta }^a|\end{array}$$
と表せるので、 前回の記事 の補題8と同様にして
$$\prod _{\begin{array}{c}\chi :\mathrm{even}\\ \chi \ne {\chi }_0\end{array}}\frac{\tau (\chi )}{p}=p^{\frac{m-1}{2}}$$
が成り立つことに注意すると
$$h_{K^{+}}=\frac{(-1{)}^{m-1}}{R_{K^{+}}}\prod _{\begin{array}{c}\chi :\mathrm{even}\\ \chi \ne {\chi }_0\end{array}}(\sum _{a=1}^m\bar{\chi }(a)\ln |1-{\zeta }^a|)$$
を得る。

　$A$の線形独立な$n$個の固有ベクトルがそれぞれ固有値
$$\sum _{\sigma \in G}\chi (\sigma )f(\sigma )$$
を持つことを言えばよい。
　いま${\mathbb{C}}^n$の標準基底を$e_1,e_2,\dots ,e_n$とおくと各$\chi \in \hat{G}$に対し
$$\begin{array}{rl}A\sum _{k=1}^n\chi ({\sigma }_k)e_k& =\sum _{k=1}^n\chi ({\sigma }_k)\sum _{i=1}^{n}f({\sigma }_i^{-1}{\sigma }_k)e_i\\ & =\sum _{i=1}^n\chi ({\sigma }_i)e_i\sum _{\sigma \in G}\chi ({\sigma }_i^{-1}\sigma )f({\sigma }_i^{-1}\sigma )\\ & =(\sum _{k=1}^n\chi ({\sigma }_k)e_k)(\sum _{\sigma \in G}\chi (\sigma )f(\sigma ))\end{array}$$
が成り立つので$A$は$\sum _{\sigma \in G}\chi (\sigma )f(\sigma )$を固有値に
$$x_{\chi }=\sum _{k=1}^n\chi ({\sigma }_k)e_k$$
を対応する固有ベクトルに持つことがわかる。
　また$\chi ,{\chi }^{\prime }\in \hat{G}$に対して$x_{\chi },x_{{\chi }^{\prime }}$の内積
$$(x_{\chi },x_{{\chi }^{\prime }})=\sum _{k=1}^n\chi ({\sigma }_k)\overline{{\chi }^{\prime }({\sigma }_k)}=\sum _{\sigma \in G}\chi (\sigma ){\chi }^{\prime }(\sigma {)}^{-1}$$
を考えると任意の$\sigma \in G$に対し
$$\begin{array}{rl}\chi (\sigma )(x_{\chi },x_{{\chi }^{\prime }})& =\sum _{{\sigma }^{\prime }\in G}\chi (\sigma {\sigma }^{\prime }){\chi }^{\prime }({\sigma }^{\prime }{)}^{-1}\\ & =\sum _{{\sigma }^{\prime }\in G}\chi ({\sigma }^{\prime }){\chi }^{\prime }({\sigma }^{-1}{\sigma }^{\prime }{)}^{-1}={\chi }^{\prime }(\sigma )(x_{\chi },x_{{\chi }^{\prime }})\end{array}$$
が成り立つので$\chi \ne {\chi }^{\prime }$ならば$(x_{\chi },x_{{\chi }^{\prime }})=0$でなければならない。したがって
$$\{x_{\chi }\mid \chi \in \hat{G}\}$$
は${\mathbb{C}}^n$の直交系をなす、特に線形独立であることがわかる。

　$f(a)=f(-a)$に注意すると$f$は$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$の商群
$$G=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }/\{\pm 1\}=\{1,2,\dots ,m\}$$
から$\mathbb{C}$への写像ともみなせる。したがって
$$\sum _{a=1}^{m}f(a)=\frac{1}{2}\ln |\prod _{a=1}^{p-1}(1-{\zeta }^a)|=\frac{1}{2}\ln |{\mathrm{\Phi }}_p(1)|=\ln \sqrt{p}$$
および
$$\hat{G}=\{\chi {|}_G\mid \chi :\mathrm{even}\}$$
に注意すると上の補題より
$$\begin{array}{rl}(\ln \sqrt{p})\cdot (-1{)}^{m-1}{R}_{K^{+}}{h}_{K^{+}}& =(\sum _{a=1}^{m}f(a))\cdot \prod _{\begin{array}{c}\chi \in \hat{G}\\ \chi \ne 1\end{array}}(\sum _{a=1}^m\chi (a)f(a))\\ & =\prod _{\chi \in \hat{G}}(\sum _{a=1}^m\chi (a)f(a))\\ & =\det (f(i^{-1}j))\end{array}$$
が成り立つ(ただし$i^{-1}$は$ai\equiv 1(\mathrm{mod}p)$なる整数$a$の意)。
　またこの両辺の絶対値を取り$(f(i^{-1}j))$の行を適当に入れ替えることで主張を得る。

$$\sum _{i=1}^{m}f(ij)=\sum _{a=1}^{m}f(a)=\ln \sqrt{p}$$
に注意して$A=(f(ij))$の1行目に他のすべての行を足し合わせることで
$$h_{K^{+}}=\frac{1}{R_{K^{+}}}|\det \left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ f(2)& f(4)& \cdots & f(2m)\\ f(3)& f(6)& \cdots & f(3m)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f(m)& f(2m)& \cdots & f(m^2)\end{array}\right)|$$
となり、この1列目を他の全ての列から引くことで結局
$$h_{K^{+}}=\frac{1}{R_{K^{+}}}|\det (f(ij)-f(i){)}_{2\le i,j\le m}|$$
が成り立つ。
　いま$K^{+}$上の共役写像${\sigma }_k(k=1,2,\dots ,m)$を${\sigma }_k(\zeta )={\zeta }^k$によって定めると
$$f(ij)-f(i)=\ln \left|\frac{1-{\zeta }^{ij}}{1-{\zeta }^i}\right|=\ln \left|\frac{{\eta }^{ij}-{\eta }^{-ij}}{{\eta }^i-{\eta }^{-i}}\right|=\ln |{\sigma }_i({\delta }_j)|$$
と表せ、また$K^{+}$の基本単数を${\epsilon }_2,{\epsilon }_3,\dots ,{\epsilon }_m$とおくと単数規準の定義から
$$R_{K^{+}}=\det (\ln |{\sigma }_i({\epsilon }_j)|{)}_{2\le i,j\le m}$$
と表せるので
$${\delta }_j=\prod _{i=1}^{m-1}{\epsilon }_k^{c_{i,j}}$$
つまり
$$\left[\begin{array}{cccc}\ln {\delta }_2& \ln {\delta }_3& \cdots & \ln {\delta }_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\ln {\epsilon }_2& \ln {\epsilon }_3& \cdots & \ln {\epsilon }_m\end{array}\right]C$$
なる整数行列$C=(c_{i,j}{)}_{2\le i,j\le m}$を取ると
$$h_{K^{+}}=\frac{|\det (\ln |{\sigma }_i({\delta }_j)|)|}{\det (\ln |{\sigma }_i({\epsilon }_j)|)}=|\det C|=|E/E_0|$$
を得る。

　 前回の記事 の定理12系から$p$は$h_K/h_{K^{+}}$を割り切らないので、$p$が$h_{K^{+}}$を割り切らないことを示せば十分である。
　いま$p$は$h_{K^{+}}$ひいては$|E/E_0|$を割り切ると仮定する。このとき$\epsilon \notin E_0$かつ${\epsilon }^p\in E_0$なる$\epsilon \in E$が存在し、また${\epsilon }^p\in E_0$から
$${\epsilon }^p=\prod _{k=2}^m{\delta }_k^{e_k}$$
とおくと$\epsilon \notin E_0$からある$k$に対し$p\nmid e_k$が成り立つ。
　しかし${\mathbb{Z}}_p[\zeta ]$上でこの$p-1$乗の$\log$を取ると
$$p\log \left({\epsilon }^{p-1}\right)=\sum _{k=2}^m{e}_k\log \left({\delta }_k^{p-1}\right)$$
となるので定理2よりすべての$k$に対し$p\mid e_k$が成り立たなければならず矛盾を得る。