素数pがベルヌーイ数を割り切るなら非正則素数である

　 この記事 の補題4より${\mu }_p=⟨{\zeta }_p⟩$とおくと${\mathcal{O}}_K^{\times }={\mu }_p\times {\mathcal{O}}_{K^{+}}^{\times }$が成り立つ。つまり$K$と$K^{+}$はともに同じ基本単数${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_{m-1}$を持つ。
　したがって$R_K$と$R_{K^{+}}$は${\sigma }_i$が実埋め込みであるか複素埋め込みであるかの違いによる
$$R_K=|\det (2\log |{\sigma }_i({\epsilon }_j)|)|,R_{K^{+}}=|\det (\log |{\sigma }_i({\epsilon }_j)|)|$$
という$2^{m-1}$のずれを除いて一致するので主張を得る。

　 この記事 の補題3として示したように$K$に含まれる$1$の冪根は
$$\pm {\zeta }_p^k(k=0,1,2,\dots ,p-1)$$
の$2p$個で尽くされ、また$K^{+}$に含まれる$1$の冪根は$\pm 1$の$2$個しかないため
$$w_K/w_{K^{+}}=2p/2=p$$
を得る。

　 この記事 より$D_K=p^{p-2}=p^{2m-1}$、 この記事 より$D_{K^{+}}=p^{m-1}$であったことからわかる。

　 この記事 より
$${\zeta }_K(s)=\prod _{\chi :\mathrm{prime}}L(s,\chi ),{\zeta }_{K^{+}}(s)=\prod _{\chi :\mathrm{even}}L(s,\chi )$$
であったことからわかる。

　法$p$の自明でないディリクレ指標は全て原始的であるので この記事 の公式2より
$$L(1,\chi )=\frac{\tau (\chi )\pi }{ip}(-B_{1,\bar{\chi }})$$
が成り立ち、また同記事の定理4の証明より
$$B_{1,\chi }=\sum _{a=1}^p\chi (a)B_1\left(\frac{a}{p}\right)$$
が成り立つのであった。
　したがって$B_1(x)=x-\frac{1}{2}$であることに注意すると主張を得る。

　法$p$の奇指標は$\frac{p-1}{2}=m$個であってまた$|\tau (\chi )|=p^{\frac{1}{2}}$なので符号が正であることを示せばよい。

$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$のとき

　ルジャンドル記号$(\frac{\cdot }{p})$は奇指標ではないため実なる奇指標$\chi$は存在せず、また
$$\overline{\tau (\chi )}=\chi (-1)\tau (\bar{\chi })=-\tau (\bar{\chi })$$
に注意すると
$$\begin{array}{rl}\prod _{\chi :\mathrm{odd}}\frac{\tau (\chi )}{\sqrt{p}}& ={\left(\prod _{\chi :\mathrm{odd}}\frac{\tau (\chi )\tau (\bar{\chi })}{p}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ & ={(\prod _{\chi :\mathrm{odd}}(-1))}^{\frac{1}{2}}=\prod _{\chi :\mathrm{odd}}i\end{array}$$
を得る。

$p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$のとき

　ルジャンドル記号以外に実なる奇指標は存在せず、また上と同様に この記事 から
$$\tau ((\frac{\cdot }{p}))=i\sqrt{p}$$
であったことに注意すると上と同様にして
$$\prod _{\chi :\mathrm{odd}}\frac{\tau (\chi )}{\sqrt{p}}=\prod _{\chi :\mathrm{odd}}i$$
を得る。

　類数公式
$$\begin{array}{rl}\underset{s\to 1}{lim}(s-1){\zeta }_K(s)& =\frac{(2\pi {)}^m{h}_K{R}_K}{w_K\sqrt{|D_K|}}\\ \underset{s\to 1}{lim}(s-1){\zeta }_{K^{+}}(s)& =\frac{2^m{h}_{K^{+}}{R}_{K^{+}}}{w_{K^{+}}\sqrt{|D_{K^{+}}|}}\end{array}$$
に注意すると補題3,4,5より
$$\begin{array}{rl}\underset{s\to 1}{lim}\frac{{\zeta }_K(s)}{{\zeta }_{K^{+}}(s)}& =\frac{{\pi }^m(R_K/R_{K^{+}})}{(w_K/w_{K^{+}})\sqrt{|D_K|/|D_{K^{+}}|}}\cdot \frac{h_K}{h_{K^{+}}}\\ & =\frac{2^{m-1}{\pi }^m}{p\cdot p^{\frac{m}{2}}}\cdot \frac{h_K}{h_{K^{+}}}\end{array}$$
が成り立ち、また補題6,7,8より
$$\begin{array}{rl}\underset{s\to 1}{lim}\frac{{\zeta }_K(s)}{{\zeta }_{K^{+}}(s)}& =\prod _{\chi :\mathrm{odd}}L(1,\chi )\\ & =\prod _{\chi :\mathrm{odd}}\frac{\tau (\chi )\pi }{ip}\prod _{\chi :\mathrm{odd}}(-\frac{1}{2p}\sum _{a=1}^p\chi (a)a)\\ & =\frac{{\pi }^m}{p^{\frac{m}{2}}}\prod _{\chi :\mathrm{odd}}(-\frac{1}{2p}\sum _{a=1}^p\chi (a)a)\end{array}$$
と求まることから主張を得る。

　ファウルハーバーの公式から
$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})p^{n+1-k}{B}_k\\ & =p(B_n+\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})p^{n-1-k}p{B}_k)\end{array}$$
であってvon-Staudt-Clausenの定理から$p^2{B}_k\equiv 0(\mathrm{mod}p)$および明らかに$p{B}_0\equiv 0(\mathrm{mod}p)$であることから前者が従う。
　後者についてはフェルマーの小定理から
$$S_n\equiv \sum _{a=1}^{p-1}1=p-1\equiv -1(\mathrm{mod}p)$$
とわかる。

　$g$を$p$の原始根の一つとし
$$\begin{array}{rl}F(t)& =\frac{gt}{e^{gt}-1}-\frac{t}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{n!}(g^n-1)t^n\\ G(u)& =\frac{g}{(1+u{)}^g-1}-\frac{1}{u}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{u}^k\end{array}$$
とおく。このとき
$$\underset{u\to 0}{lim}\frac{u}{(1+u{)}^g-1}=\frac{1}{g}\in {\mathbb{Z}}_{(p)}$$
に注意すると$c_k\in {\mathbb{Z}}_{(p)}$であり、また
$$\begin{array}{rl}F(t)& =tG(e^t-1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{k}t(e^t-1{)}^k\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k\sum _{j=0}^k(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})t{e}^{jt}\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k\sum _{j=0}^k(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{j^n}{n!}{t}^{n+1}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k\sum _{j=0}^k(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})j^n)\frac{t^{n+1}}{n!}\end{array}$$
と表せるので$m\equiv n(\mathrm{mod}p-1)$において
$$\begin{array}{rl}\frac{B_m}{m}(g^m-1)& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k\sum _{j=0}^k(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})j^m\\ & \equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k\sum _{j=0}^k(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})j^n\\ & =\frac{B_n}{n}(g^n-1)\equiv \frac{B_n}{n}(g^m-1)(\mathrm{mod}p)\end{array}$$
が成り立つ。
　あとは$g$の取り方から
$m\not\equiv 0(\mathrm{mod}p-1)$のとき$g^m-1\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$
$m\equiv 0(\mathrm{mod}p-1)$のとき$g^m-1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$
が成り立つことに注意するとわかる。

　$g$を$p$の原始根の一つとし$\omega$をタイヒミュラー指標
$$\omega :(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{Z}}_{p}a\mapsto \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^{p^n}$$
とする。このとき$1$の原始$p-1$乗根${\zeta }_{p-1}$に対し$\omega (g)$を対応させる埋め込み
$$\phi :\mathbb{Q}({\zeta }_{p-1})\mapsto {\mathbb{Q}}_p$$
を考えると、これは同型
$$\widehat{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }}\to ⟨\omega ⟩$$
を引き起こす。
　特に法$p$の奇ディリクレ指標は${\omega }^{2k-1}(k=1,\dots ,m)$に対応するので$h_K/h_{K^{+}}\in \mathbb{Q}$に$\phi$を作用させることで補題9から
$$\begin{array}{rl}\frac{h_K}{h_{K^{+}}}& =2p\prod _{\chi :\mathrm{odd}}(-\frac{1}{2p}\sum _{a=1}^p\chi (a)a)\\ & =2p\prod _{k=1}^m(-\frac{1}{2p}\sum _{a=1}^p\omega (a{)}^{2k-1}a)\end{array}$$
と表せる。
　また
$$\omega (a)\equiv a^p(\mathrm{mod}{p}^2)$$
および
$$1+p(2k-1)\equiv 2k(\mathrm{mod}p-1)$$
に注意すると補題10,11から$k\ne m$において
$$\begin{array}{rl}-\frac{1}{2p}\sum _{a=1}^p\omega (a{)}^{2k-1}a& \equiv -\frac{1}{2p}{S}_{1+p(2k-1)}\\ & \equiv -\frac{1}{2}\cdot \frac{B_{1+p(2k-1)}}{1+p(2k-1)}\\ & \equiv -\frac{1}{2}\cdot \frac{B_{2k}}{2k}(\mathrm{mod}p)\end{array}$$
が成り立ち、また$\omega (a)\equiv a(\mathrm{mod}p)$より$k=m$において
$$2p(-\frac{1}{2p}\sum _{a=1}^p\omega (a{)}^{p-2}a)\equiv -S_{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$
が成り立つので
$$\frac{h_K}{h_{K^{+}}}\equiv \prod _{k=1}^{m-1}(-\frac{1}{2}\cdot \frac{B_{2k}}{2k})(\mathrm{mod}p)$$
を得る。