Henselの補題

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はじめに

　この記事ではHenselの補題の証明について解説していきます。
　ここではHenselの補題を以下のような形で扱います(因数分解型のものについてもこちらの記事で解説しています)。

Henselの補題

　 $A$ を整域、 $π A$ をその単項極大イデアルとする。
　いま $f (x) \in A [x]$ と $x_{0} \in A$ に対しある非負整数 $e_{1}, e_{2}$ が存在して
$f (x_{0}) \equiv 0 (\mod π^{e_{1}}), f^{'} (x_{0}) ≢ 0 (\mod π^{e_{2} + 1})$
および $e_{1} > 2 e_{2}$ が成り立つとする。
　このとき
$f (x_{n}) \equiv 0 (\mod π^{e_{1} + n}), x_{n + 1} \equiv x_{n} (\mod π^{e_{1} - e_{2} + n})$
を満たすような $A$ 内の列 ${x_{n}}_{n = 0}^{\infty}$ が存在する。

　また数論においては逆極限 $B = {\lim_{\leftarrow}}_{n} A / π^{n} A$ の世界で考え、また $e_{1} = 1, e_{2} = 0$ とした以下の形がしばしばよく使われます。

$f (x_{0}) \equiv 0 (\mod π), f^{'} (x_{0}) ≢ 0 (\mod π)$
であれば $f (x) = 0$ かつ $x \equiv x_{0} (\mod π)$ を満たすような $x \in B$ が存在する。

証明

　以下の主張を示せば十分である( $x_{1}$ が $x_{0}$ と同じ仮定を満たすので同様にして $x_{1}$ から $x_{2}$ を、 $x_{2}$ から $x_{3}$ を $\dots$ と構成できることになる)。

　定理1の条件下において
$f (x_{1}) \equiv 0 (\mod π^{e_{1} + 1}) かつ x_{1} \equiv x_{0} (\mod π^{e_{1} - e_{2}})$
および
$f^{'} (x_{1}) ≢ 0 (\mod π^{e_{2} + 1})$
を満たすような $x_{1} \in A$ が存在する。

$f^{'} (x_{0}) \equiv 0 (\mod π^{e})$
なる非負整数 $e$ であって最大のものを改めて $e_{2}$ とおく。このとき
$y_{0} = \frac{f^{'} (x_{0})}{π^{e_{3}}}$
は $y_{0} \in A$ かつ $y_{0} \notin π A$ を満たすことに注意する。
　いま仮定より $A / π A$ は体であるので $y_{0} z_{0} \equiv 1 (\mod π)$ なる $z_{0} \in A$ が取れ、このとき
$x_{1} = x_{0} - \frac{f (x_{0})}{π^{e_{2}}} z_{0}$
とおくと、これは主張を満たす( $y_{0}, z_{0}$ の取り方からこれはお気持ち $x_{1} = x_{0} - \frac{f (x_{0})}{f^{'} (x_{0})}$ となっている(cf. ニュートン法))。
　実際まず明らかに
$x_{1} \equiv x_{0} (\mod π^{e_{1} - e_{2}})$
であり、またある多項式 $g (x) \in A [x]$ が存在して
$f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + g (x) (x - x_{0})^{2}$
と表せることと
$\begin{aligned} (x_{1} - x_{0})^{2} & \equiv 0 (\mod π^{2 (e_{1} - e_{2})}) \\ \equiv 0 (\mod π^{e_{1} + 1}) \end{aligned}$
が成り立つことに注意すると
$\begin{aligned} f (x_{1}) & \equiv f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x_{1} - x_{0}) \\ \equiv f (x_{0}) - f (x_{0}) y_{0} z_{0} \\ \equiv 0 (\mod π^{e_{1} + 1}) \end{aligned}$
がわかる。
　そして $e_{1} - e_{2} \geq e_{2} + 1$ より
$x_{1} \equiv x_{0} (\mod π^{e_{2} + 1})$
とも評価できることに注意すると
$f^{'} (x_{1}) \equiv f^{'} (x_{0}) (\mod π^{e_{2} + 1})$
が成り立つ。