Henselの補題

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はじめに

　この記事ではHenselの補題の証明について解説していきます。
　ここではHenselの補題を以下のような形で扱います(因数分解型のものについてもこちらの記事で解説しています)。

Henselの補題

　$A$を整域、$\pi A$をその単項極大イデアルとする。
　いま$f(x)\in A[x]$と$x_0\in A$に対しある非負整数$e_1,e_2$が存在して
$$f(x_0)\equiv0\pmod{\pi^{e_1}},\quad f'(x_0)\not\equiv0\pmod{\pi^{e_2+1}}$$
および$e_1>2e_2$が成り立つとする。
　このとき
$$f(x_n)\equiv 0\pmod{\pi^{e_1+n}},\quad x_{n+1}\equiv x_n\pmod{\pi^{e_1-e_2+n}}$$
を満たすような$A$内の列$\{x_n\}_{n=0}^\infty$が存在する。

　また数論においては逆極限$B=\varprojlim_nA/\pi^nA$の世界で考え、また$e_1=1, e_2=0$とした以下の形がしばしばよく使われます。

$$f(x_0)\equiv 0\pmod{\pi},\quad f'(x_0)\not\equiv0\pmod{\pi}$$
であれば$f(x)=0$かつ$x\equiv x_0\pmod{\pi}$を満たすような$x\in B$が存在する。

証明

　以下の主張を示せば十分である($x_1$が$x_0$と同じ仮定を満たすので同様にして$x_1$から$x_2$を、$x_2$から$x_3$を$\cdots$と構成できることになる)。

　定理1の条件下において
$$f(x_1)\equiv 0\pmod{\pi^{e_1+1}}\quad\mbox{かつ}\quad x_1\equiv x_0\pmod{\pi^{e_1-e_2}}$$
および
$$f'(x_1)\not\equiv0\pmod{\pi^{e_2+1}}$$
を満たすような$x_1\in A$が存在する。

$$f'(x_0)\equiv0\pmod{\pi^e}$$
なる非負整数$e$であって最大のものを改めて$e_2$とおく。このとき
$$y_0=\frac{f'(x_0)}{\pi^{e_3}}$$
は$y_0\in A$かつ$y_0\not\in\pi A$を満たすことに注意する。
　いま仮定より$A/\pi A$は体であるので$y_0z_0\equiv 1\pmod{\pi}$なる$z_0\in A$が取れ、このとき
$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{\pi^{e_2}}z_0$$
とおくと、これは主張を満たす($y_0,z_0$の取り方からこれはお気持ち$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$となっている(cf. ニュートン法))。
　実際まず明らかに
$$x_1\equiv x_0\pmod{\pi^{e_1-e_2}}$$
であり、またある多項式$g(x)\in A[x]$が存在して
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+g(x)(x-x_0)^2$$
と表せることと
\begin{align} (x_1-x_0)^2 &\equiv0\pmod{\pi^{2(e_1-e_2)}}\\ &\equiv0\pmod{\pi^{e_1+1}} \end{align}
が成り立つことに注意すると
\begin{align} f(x_1) &\equiv f(x_0)+f'(x_0)(x_1-x_0)\\ &\equiv f(x_0)-f(x_0)y_0z_0\\ &\equiv 0\pmod{\pi^{e_1+1}} \end{align}
がわかる。
　そして$e_1-e_2\geq e_2+1$より
$$x_1\equiv x_0\pmod{\pi^{e_2+1}}$$
とも評価できることに注意すると
$$f'(x_1)\equiv f'(x_0)\pmod{\pi^{e_2+1}}$$
が成り立つ。