複素フーリエ級数展開(基本)

　周期$2\pi$の関数が複素数値をとる関数$f(x)$であるときのフーリエ級数展開をしていく。この時、$f(x)=e^{inx}$とする。($x$は実数値の変数)　(iは虚数単位)

複素数の関数の周期性

　複素数$z$実数$x$,$y$を用いて次のように表される。
$$ z = x + iy $$
この時$x=r\cos\theta $、$y=r\sin\theta $となる。
これを他の形で表すと、
$$ z = r e^{i\theta}　(極表示) $$
また、オイラーの式は$re^{i\theta}=r\cos\theta+ir \sin\theta $となる。$xy$グラフにおいて三角関数は、$x$が$\cos $、$y$が$\sin $を用いて表すことになる。これを複素数に当てはめたものが$z=rcos\theta + ir\sin\theta $であるわけだから、$z=re^{i\theta}$は$\theta $のみが変動する場合円を描く。よって、式$z=re^{i\theta} $は周期$2\pi $の関数と言え、当然$f(x)=e^{inx}$も周期性(周期$2\pi $)を持つ関数と言える。

複素フーリエ級数展開の公式

　関数$f(x)$を複素フーリエ級数展開すると、次のような式となる。
$$ f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}e^{inx} $$
この時展開係数$c_{n}$は、
$$ c_{n}=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx} dx\ $$
と求められる。

展開係数$c_{n} $の決定法についての証明

　まず元の式
$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}e^{inx} $$
の両辺に$e^{-imx} $と$\frac{1}{2\pi} $を掛け、$-\pi $から$\pi $の範囲で積分を取る。
$$ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-imx} dx\ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}e^{inx} e^{-imx} dx\ $$
右辺について、シグマが邪魔なので外に出し、
$$ =\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(n-m)x} dx\ $$
とする。複素数の直交性$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(n-m)x} dx\ = \delta _{nm}$　( 複素数の直交性の証明 )により、
$$ =\sum_{n=-\infty}^{\infty} c _ {n} \delta _ {nm} $$
となる。$\delta _ {nm} $がクロネッカーのデルタとなる為、$n=m$の時のみしか$\delta _{nm}=1$とならない(後は$0$)。よって解は$c_{m}となる。$