複素フーリエ級数展開(基本)

　周期$2\pi$の関数が複素数値をとる関数$f(x)$であるときのフーリエ級数展開をしていく。この時、$f(x)=e^{inx}$とする。($x$は実数値の変数)　(iは虚数単位)

複素数の関数の周期性

　複素数$z$実数$x$,$y$を用いて次のように表される。
$$z=x+iy$$
この時$x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$となる。
これを他の形で表すと、
$$z=r{e}^{i\theta } (極表示)$$
また、オイラーの式は$r{e}^{i\theta }=r\cos \theta +ir\sin \theta$となる。$xy$グラフにおいて三角関数は、$x$が$\cos$、$y$が$\sin$を用いて表すことになる。これを複素数に当てはめたものが$z=rcos\theta +ir\sin \theta$であるわけだから、$z=r{e}^{i\theta }$は$\theta$のみが変動する場合円を描く。よって、式$z=r{e}^{i\theta }$は周期$2\pi$の関数と言え、当然$f(x)=e^{inx}$も周期性(周期$2\pi$)を持つ関数と言える。

複素フーリエ級数展開の公式

　関数$f(x)$を複素フーリエ級数展開すると、次のような式となる。
$$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{inx}$$
この時展開係数$c_n$は、
$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx$$
と求められる。

展開係数$c_n$の決定法についての証明

　まず元の式
$$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{inx}$$
の両辺に$e^{-imx}$と$\frac{1}{2\pi }$を掛け、$-\pi$から$\pi$の範囲で積分を取る。
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-imx}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{inx}{e}^{-imx}dx$$
右辺について、シグマが邪魔なので外に出し、
$$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{i(n-m)x}dx$$
とする。複素数の直交性$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{i(n-m)x}dx={\delta }_{nm}$　( 複素数の直交性の証明 )により、
$$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{\delta }_{nm}$$
となる。${\delta }_{nm}$がクロネッカーのデルタとなる為、$n=m$の時のみしか${\delta }_{nm}=1$とならない(後は$0$)。よって解は$c_mとなる。$