テンソル積の存在と一意性（と自己紹介）

Step1. $T$の土台となる加群の定義

$F$を自由$A$加群${\displaystyle \underset{M\times N}{⨁}A}$，すなわち$F$を$A$を係数とする$M\times N$の形式的な有限和${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i(x_i,y_i)(a_i\in A,x_i\in M,y_i\in N)}$のなす$A$加群とする．

Step2. $T$の構成

$G$を次のような形の$F$のすべての元によって生成される$F$の部分加群とする．

• $(x+x^{\prime },y)-(x,y)-(x^{\prime },y)$
• $(x,y+y^{\prime })-(x,y)-(x,y^{\prime })$
• $(ax,y)-a\cdot (x,y)$
• $(x,ay)-a\cdot (x,y)$

ここで，$T=F/G$とおく．勘のいい読者の方はお気づきだろうが，このように$G$を定義し，$T$を$F/G$と定義することで，$A$双線形写像$\varphi$をうまく構成できるのである．

Step3.$\varphi$の構成

$F$から$T=F/G$への自然な全射$A$準同型を$\pi$とし，$F$の基底をなす任意の元$(x,y)$に対して$\pi (x,y)$を$x\otimes y$とかく．このとき，$\pi$が全射であることから$T$は$x\otimes y$という形の元により生成される．また，$G$の定義より，

• $(x+x^{\prime })\otimes y=x\otimes y+x^{\prime }\otimes y$
• $x\otimes (y+y^{\prime })=x\otimes y+x\otimes y^{\prime }$
• $(ax)\otimes y=x\otimes (ay)=a(x\otimes y)$

が成り立つ．ここで写像$\varphi$を$\varphi (x,y)=x\otimes y$と定義すると，上3つの性質は$\varphi$が$A$双線形写像であることの条件に他ならない（これがStep2の最後に述べたことの意味である）．したがって写像$\varphi :M\times N\to T$は$A$双線形写像となる．

Step4. $T$と$\varphi$がテンソル積の普遍性を満たすこと

与えられた$f:M\times N\to S$は線形であるから，$f$は$A$準同型写像$\overline{f}:F\to S$に拡張できる．$G$の定義とそれから導かれるStep3に挙げた3つの性質より，$\overline{f}(G)=\{0\}$．したがって，準同型定理（注意参照）により$\varphi (x\otimes y)=f(x,y)$を満たすwell-definedな$A$準同型写像$\varphi :T\to S$が誘導される．また，$\varphi$はこの条件$\varphi (x\otimes y)=f(x,y)$によって一意に定まる．以上より，$T$と$\varphi$がテンソル積の普遍性を満たすことが分かった．

Step1.

テンソル積の普遍性より，ただひとつの$A$線形写像$i:T\to T^{\prime }$と$i^{\prime }:T^{\prime }\to T$が存在して，次の2つの図式が可換．すなわち，左で${\varphi }^{\prime }=i\circ \varphi$，右で$\varphi =i^{\prime }\circ {\varphi }^{\prime }$が成り立つ．
図式2

Step2.

Step1で得た図式を組み合わせれば，さらに次の2つの図式が可換となる．すなわち，左で$\varphi =i^{\prime }\circ i\circ \varphi$，右で${\varphi }^{\prime }=i\circ i^{\prime }\circ {\varphi }^{\prime }$が成り立つ．
図式3

Step3.

ここで，明らかに次の2つの図式は可換である，（$\varphi ={\text{id}}_T\circ \varphi$，${\varphi }^{\prime }={\text{id}}_{T^{\prime }}\circ {\varphi }^{\prime }$が成り立つ）
図式4
したがって，テンソル積の普遍性とStep2の図式より$i^{\prime }\circ i={\text{id}}_T$，$i\circ i^{\prime }={\text{id}}_{T^{\prime }}$が成り立つが，これは$A$線形写像$i$の逆写像が$i^{\prime }$であること，すなわち$A$線形写像$i:T\to T^{\prime }$が$A$同型写像であることを意味する． ゆえに一意性が示された．