テンソル積の存在と一意性（と自己紹介）

Step1. $T$の土台となる加群の定義

$F$を自由$A$加群$\displaystyle \bigoplus_{M \times N} A$，すなわち$F$を$A$を係数とする$M \times N$の形式的な有限和$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i (x_i, y_i)~~(a_i \in A,~x_i \in M,~y_i \in N)$のなす$A$加群とする．

Step2. $T$の構成

$G$を次のような形の$F$のすべての元によって生成される$F$の部分加群とする．

• $(x+x',y) - (x,y) - (x',y)$
• $(x,y+y') - (x,y) - (x,y')$
• $(ax,y) - a \cdot (x,y)$
• $(x,ay) - a \cdot (x,y)$

ここで，$T = F/G$とおく．勘のいい読者の方はお気づきだろうが，このように$G$を定義し，$T$を$F/G$と定義することで，$A$双線形写像$\phi$をうまく構成できるのである．

Step3.$\phi$の構成

$F$から$T=F/G$への自然な全射$A$準同型を$\pi$とし，$F$の基底をなす任意の元$(x,y)$に対して$\pi(x,y)$を$x \otimes y$とかく．このとき，$\pi$が全射であることから$T$は$x \otimes y$という形の元により生成される．また，$G$の定義より，

• $(x+x') \otimes y = x \otimes y + x' \otimes y$
• $x \otimes (y + y') = x \otimes y + x \otimes y'$
• $(ax) \otimes y = x \otimes (ay) = a(x \otimes y)$

が成り立つ．ここで写像$\phi$を$\phi(x,y)=x\otimes y$と定義すると，上3つの性質は$\phi$が$A$双線形写像であることの条件に他ならない（これがStep2の最後に述べたことの意味である）．したがって写像$\phi:M \times N \to T$は$A$双線形写像となる．

Step4. $T$と$\phi$がテンソル積の普遍性を満たすこと

与えられた$f:M \times N \to S$は線形であるから，$f$は$A$準同型写像$\bar{f}:F \to S$に拡張できる．$G$の定義とそれから導かれるStep3に挙げた3つの性質より，$\bar{f}(G)=\{0\}$．したがって，準同型定理（注意参照）により$\phi(x \otimes y) = f(x,y)$を満たすwell-definedな$A$準同型写像$\phi: T \to S$が誘導される．また，$\phi$はこの条件$\phi(x \otimes y) = f(x,y)$によって一意に定まる．以上より，$T$と$\phi$がテンソル積の普遍性を満たすことが分かった．

Step1.

テンソル積の普遍性より，ただひとつの$A$線形写像$i:T \to T'$と$i': T' \to T$が存在して，次の2つの図式が可換．すなわち，左で$\phi' = i \circ \phi$，右で$\phi = i' \circ \phi'$が成り立つ．
図式2

Step2.

Step1で得た図式を組み合わせれば，さらに次の2つの図式が可換となる．すなわち，左で$\phi = i' \circ i \circ \phi$，右で$\phi' = i \circ i' \circ \phi'$が成り立つ．
図式3

Step3.

ここで，明らかに次の2つの図式は可換である，（$\phi = \textrm{id}_{T} \circ \phi$，$\phi' = \textrm{id}_{T'} \circ \phi'$が成り立つ）
図式4
したがって，テンソル積の普遍性とStep2の図式より$i' \circ i = \textrm{id}_T$，$i \circ i' = \textrm{id}_{T'}$が成り立つが，これは$A$線形写像$i$の逆写像が$i'$であること，すなわち$A$線形写像$i:T \to T'$が$A$同型写像であることを意味する． ゆえに一意性が示された．