拡張されたフィボナッチ数列(k-ナッチ数)の一般項を線形代数を使って求める

はじめに

Mathlogで フィボナッチ数を一般化したk-ナッチ数の一般項 という記事を拝見し、自分も同じようなことを別のアプローチからやっていたことを思い出したので、書いてみました。厳密なものではないのでその点はご承知ください。また、ヴァンデルモンド行列式を使った式変形が面白いので、そこだけでもぜひご覧ください。

問題

解答

基底を求める

数列$\{a_n\}$の最初の$k$項 $a_0,a_1,\dots ,a_{k-1}$ が与えられているので、$n\ge k$において数列 $\{a_n\}$ は一意に定まる。$k$個のベクトルを次のように定義する。

$c_0,c_1,\dots ,c_{k-1}$に対して、$c_0{\mathit{v}}_{\mathbf{0}}+c_1{\mathit{v}}_{\mathbf{1}}+\cdots +c_{k-1}{\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}=\mathbf{0}$が成り立ったとすると、
$$\begin{array}{rl}{c}_0{\mathit{v}}_{\mathbf{0}}+c_1{\mathit{v}}_{\mathbf{1}}+\cdots +c_{k-1}{\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}& =c_0\{1,0,0,\dots \}+c_1\{0,1,0,\dots \}+\cdots +c_{k-1}\{0,\dots ,0,1,\dots \}\\ & =\{c_0,c_1,\dots ,c_{k-1},\dots \}\\ & =\{0,0,\dots ,0,\dots \}\end{array}$$
となるので、$c_0=c_1=\cdots =c_{k-1}=0$ である。よって、${\mathit{v}}_{\mathbf{0}},{\mathit{v}}_{\mathbf{1}},\dots ,{\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}$は一次独立である。
$$\begin{array}{r}\mathit{a}=\{a_0,a_1,\dots ,a_{k-1},\dots \}\end{array}$$
を$V$の勝手な元とすると、
$$\begin{array}{rl}\mathit{a}& =\{a_0,0,0,\dots \}+\{0,a_1,0,\dots \}+\cdots +\{0,\dots ,0,a_{k-1},\dots \}\\ & =a_0\{1,0,0,\dots \}+a_1\{0,1,0,\dots \}+\cdots +a_{k-1}\{0,\dots ,0,1,\dots \}\\ & =a_0{\mathit{v}}_{\mathbf{0}}+a_1{\mathit{v}}_{\mathbf{1}}+\cdots +a_{k-1}{\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}\end{array}$$

となり、${\mathit{v}}_{\mathbf{0}},{\mathit{v}}_{\mathbf{1}},\dots ,{\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}$ の一次結合で表せる。よって、${\mathit{v}}_{\mathbf{0}},{\mathit{v}}_{\mathbf{1}},\dots ,{\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}$ は$V$を生成する。

以上より、${\mathit{v}}_{\mathbf{0}},{\mathit{v}}_{\mathbf{1}},\dots ,{\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}$ は一次独立かつ$V$を生成するので、$V$の基底である。

線形写像の定義

$\mathit{a}=\{a_0,a_1,a_2,\dots \}\in V$のとき、$f(\mathit{a})=\{a_1,a_2,a_3,\dots \}$も漸化式を満たすので、$f(\mathit{a})\in V$である。

$$\begin{array}{r}\mathit{a}=\{a_n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\in V\\ \mathit{b}=\{b_n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\in V\end{array}$$
とすると、定数 $c$ に対して、

$$\begin{array}{r}f(\mathit{a}+\mathit{b})=f(\{a_n+b_n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }})=\{a_n+b_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}=\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}+\{b_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}=f(\mathit{a})+f(\mathit{b})\\ f(c\mathit{a})=f(c\{a_n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }})=c\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}=cf(\mathit{a})\end{array}$$
が成り立つので、$f$は$V$の線形変換である。

漸化式を行列で表現

${\mathit{v}}_{\mathbf{0}},{\mathit{v}}_{\mathbf{1}},\dots ,{\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}$ に関して、

$$\begin{array}{rl}f({\mathit{v}}_{\mathbf{0}})& =\{0,0,\dots ,0,1,\dots \}={\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}\\ f({\mathit{v}}_{\mathbf{1}})& =\{1,0,\dots ,0,1,\dots \}={\mathit{v}}_{\mathbf{0}}+{\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}\\ f({\mathit{v}}_{\mathbf{2}})& =\{0,1,\dots ,0,1,\dots \}={\mathit{v}}_{\mathbf{1}}+{\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}\\ ⋮\\ f({\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}})& =\{0,0,\dots ,1,1,\dots \}={\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{2}}+{\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}\end{array}$$
なので、

$$\begin{array}{r}[f({\mathit{v}}_{\mathbf{0}})f({\mathit{v}}_{\mathbf{1}})f({\mathit{v}}_{\mathbf{2}})\cdots f({\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}})]=[{\mathit{v}}_{\mathbf{0}}{\mathit{v}}_{\mathbf{1}}{\mathit{v}}_{\mathbf{2}}\cdots {\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}]\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 1\\ 1& 1& 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]\end{array}$$
と表せる。よって、$f$の基底 ${\mathit{v}}_{\mathbf{0}},{\mathit{v}}_{\mathbf{1}},\dots ,{\mathit{v}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}$ に関する表現行列は、

$$\begin{array}{r}\stackrel{k行k列}{\overbrace{\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 1\\ 1& 1& 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]}}\end{array}$$
である。この表現行列を$A$とする。

固有値と公比の関係

$$\begin{array}{r}\mathit{p}=\{r^n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}=\{1,r,r^2,\dots \}\end{array}$$
が$V$に属したとすると、

$$\begin{array}{r}f(\mathit{p})=f(\{r^n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }})=\{r^n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}=\{r^{n+1}{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}=r\{r^n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}=r\mathit{p}\end{array}$$
より、$\mathit{p}$は固有値$r$の固有ベクトルになる。逆に、上の式から$f$の固有値 $r$の固有ベクトルは、公比$r$の等比数列になることも分かる。よって、公比と固有値は等しいとわかる。

固有値を求める

$f$の固有値を求める。$A$の固有多項式は、$I$を単位行列として、

$$\begin{array}{rl}{\phi }_k(\lambda )& =|A-\lambda I|\\ & =\left|\begin{array}{ccccccc}-\lambda & 1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& -\lambda & 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& -\lambda & 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -\lambda & 1\\ 1& 1& 1& 1& \cdots & 1& 1-\lambda \end{array}\right|\end{array}$$
ここで、$\lambda =1$と仮定すると、
$$\begin{array}{rl}{\phi }_k(1)& =\left|\begin{array}{ccccccc}-1& 1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& -1& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -1& 1\\ 1& 1& 1& 1& \cdots & 1& 0\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccccccc}-1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& -1& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -1& 1\\ 1& 2& 1& 1& \cdots & 1& 0\end{array}\right|(\text{1列目を2列目に加える})\\ & =\cdots (i-1\text{列目を}i\text{列目に加える})\\ & =\left|\begin{array}{ccccccc}-1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& -1& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -1& 0\\ 1& 2& 3& 4& \cdots & k-1& k\end{array}\right|(k-1\text{列目を}k\text{列目に加える})\\ & =\left|\begin{array}{ccccccc}-1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& -1& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& k\end{array}\right|(i\text{行目}\times i\text{を}k\text{行目に加える})\\ & =(-1{)}^{k-1}k\end{array}$$
より、${\phi }_k(1)\ne 0$なので、$\lambda =1$は固有値ではない。

1列目に沿って余因子展開すると、

$$\begin{array}{rl}{\phi }_k& =(-1{)}^{1+1}(-\lambda )\left|\begin{array}{ccccc}-\lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& -\lambda & 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ 1& 1& 1& \cdots & 1-\lambda \end{array}\right|+(-1{)}^{k+1}\cdot 1\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ -\lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& -\lambda & 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right|\\ & =-\lambda {\phi }_{k-1}-(-1{)}^k\cdot 1\cdot 1\\ & =-\lambda {\phi }_{k-1}-(-1{)}^k\end{array}$$
と漸化式のように表せる。両辺を$(-1{)}^k$で割ると、

$$\begin{array}{rl}\frac{{\phi }_k}{(-1{)}^k}& =-\lambda \frac{{\phi }_{k-1}}{(-1{)}^k}-1\\ & =\lambda \frac{{\phi }_{k-1}}{(-1{)}^{k-1}}-1\end{array}$$
$b_k={\displaystyle \frac{{\phi }_k}{(-1{)}^k}}$とおくと、$\lambda \ne 1$より、

$$\begin{array}{rl}{b}_k& =\lambda b_{k-1}-1\\ b_k-\frac{1}{\lambda -1}& =\lambda (b_{k-1}-\frac{1}{\lambda -1})\\ & =\cdots \\ & ={\lambda }^{k-2}(b_2-\frac{1}{\lambda -1})\end{array}$$
であり、初項は、

$$\begin{array}{rl}{b}_2-\frac{1}{\lambda -1}& ={\displaystyle \frac{{\phi }_2}{(-1{)}^2}-\frac{1}{\lambda -1}}\\ & ={\phi }_2-\frac{1}{\lambda -1}\\ & =\left|\begin{array}{cc}-\lambda & 1\\ 1& 1-\lambda \end{array}\right|-\frac{1}{\lambda -1}\\ & ={\lambda }^2-\lambda -1-\frac{1}{\lambda -1}\\ & =\frac{{\lambda }^3-2{\lambda }^2}{\lambda -1}\end{array}$$
よって、

$$\begin{array}{rl}{b}_k& -\frac{1}{\lambda -1}={\lambda }^{k-2}\frac{{\lambda }^3-2{\lambda }^2}{\lambda -1}\\ b_k& =\frac{{\lambda }^{k+1}-2{\lambda }^k}{\lambda -1}+\frac{1}{\lambda -1}\\ & =\frac{{\lambda }^{k+1}-2{\lambda }^k+1}{\lambda -1}\\ & ={\lambda }^k-{\lambda }^{k-1}-{\lambda }^{k-2}-\cdots -{\lambda }^2-\lambda -1(\because 組み立て除法)\\ & ={\lambda }^k-\sum _{i=0}^{k-1}{\lambda }^i\\ & =-\sum _{i=0}^k(-1{)}^{{\delta }_{ik}}{\lambda }^i\end{array}$$
が導出された。ただし、${\delta }_{ij}$はクロネッカーのデルタである。また、方程式 ${\phi }_k(\lambda )=(-1{)}^k{b}_k=0$ は、$b_k=0$ や$-b_k=0$と同値である。すなわち、
$$\begin{array}{r}g(\lambda )=(\lambda -1)b_k={\lambda }^{k+1}-2{\lambda }^k+1=0\end{array}$$
の$\lambda =1$以外の$k$個の解が求める固有値である。しかし、これは簡単に求めることはできないので、計算機などを使って求める。

ここで、$g(\lambda )=0$が重解$\alpha \ne 1$を持つと仮定する。このとき、$g(\lambda )=(\lambda -\alpha {)}^{2}h(\lambda )$と表せる。
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}g(\lambda )}{\mathrm{d}\lambda }& =2(\lambda -\alpha )h(\lambda )+(\lambda -\alpha {)}^2\frac{\mathrm{d}h(\lambda )}{\mathrm{d}\lambda }\\ & =(\lambda -\alpha )(2h(\lambda )+(\lambda -\alpha )\frac{\mathrm{d}h(\lambda )}{\mathrm{d}\lambda })\end{array}$$
より、$\alpha$は${\displaystyle \frac{\mathrm{d}g(\lambda )}{\mathrm{d}\lambda }=0}$でも解となる。

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}g(\lambda )}{\mathrm{d}\lambda }& =(k+1){\lambda }^k-2k{\lambda }^{k-1}\\ & =\{(k+1)\lambda -2k\}{\lambda }^{k-1}\\ & =0\end{array}$$
より、解は$\lambda ={\displaystyle \frac{2k}{k+1},0}$である。
$$\begin{array}{rl}g\left(\frac{2k}{k+1}\right)& ={\left(\frac{2k}{k+1}\right)}^{k+1}-2{\left(\frac{2k}{k+1}\right)}^k+1\\ & =\frac{(2k{)}^{k+1}-2(2k{)}^k(k+1)+(k+1{)}^{k+1}}{(k+1{)}^{k+1}}\\ & =\frac{2^{k+1}{k}^{k+1}-2^{k+1}{k}^k(k+1)+(k+1{)}^{k+1}}{(k+1{)}^{k+1}}\\ & =\frac{2^{k+1}{k}^{k+1}-2^{k+1}{k}^{k+1}-2^{k+1}{k}^k+(k+1{)}^{k+1}}{(k+1{)}^{k+1}}\\ & =\frac{-2^{k+1}{k}^k+(k+1{)}^{k+1}}{(k+1{)}^{k+1}}\\ & =1-\frac{2}{k+1}{\left(\frac{2k}{k+1}\right)}^k\end{array}$$

$k>1$では、$2k>k+1$が成り立ち、$g(2k/(k+1))$は$k>1$では常に負になるので、$g(\lambda )=0$の解ではない。また、$g(0)=1$なので$\lambda =0$も$g(\lambda )=0$の解ではない。よって、$g(\lambda )=0$の$\lambda =1$以外の$k$個の解${\lambda }_0,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{k-1}$は全て異なる。

${\lambda }_0,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{k-1}$ が全て異なることより、$f$の相異なる固有値に対応する固有ベクトルなので一次独立である。また、$\dim V=k$ である。よって、${\mathit{u}}_{\mathbf{0}},{\mathit{u}}_{\mathbf{1}},\dots ,{\mathit{u}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}$ は$V$の基底となる。

係数の決定

以上より、ある $c_0,c_1,\dots ,c_{k-1}$が存在して、

$$\begin{array}{r}{\mathit{a}}_{\mathit{n}}=c_0{\mathit{u}}_{\mathbf{0}}+c_1{\mathit{u}}_{\mathbf{1}}+\cdots +c_{k-1}{\mathit{u}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}\end{array}$$
と表せるので、

$$\begin{array}{rl}{\mathit{a}}_{\mathit{n}}& =c_0{\mathit{u}}_{\mathbf{0}}+c_1{\mathit{u}}_{\mathbf{1}}+\cdots +c_{k-1}{\mathit{u}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}\\ \iff \{a_0,a_1,\dots ,a_{k-1},\dots \}& =c_0\{{\lambda }_0^n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}+c_1\{{\lambda }_1^n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}+\cdots +c_{k-1}\{{\lambda }_{k-1}^n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\\ \iff \{0,0,\dots ,1,\dots \}& =c_0\{1,{\lambda }_0,\dots ,{\lambda }_0^{k-1},\dots \}+c_1\{1,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_1^{k-1},\dots \}+\cdots +c_{k-1}\{1,{\lambda }_{k-1},\dots ,{\lambda }_{k-1}^{k-1},\dots \}\\ \iff \{0,0,\dots ,1,\dots \}& =\{c_0+c_1+\cdots +c_{k-1},c_0{\lambda }_0+c_1{\lambda }_1+\cdots +c_{k-1}{\lambda }_{k-1},\dots ,c_0{\lambda }_0^{k-1}+c_1{\lambda }^{k-1}+\cdots +c_{k-1}{\lambda }^{k-1},\dots \}\end{array}$$
これを行列で表現すると、

$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ {\lambda }_0& {\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_{k-1}\\ {\lambda }_0^2& {\lambda }_1^2& {\lambda }_2^2& \cdots & {\lambda }_{k-1}^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\lambda }_0^{k-1}& {\lambda }_1^{k-1}& {\lambda }_2^{k-1}& \cdots & {\lambda }_{k-1}^{k-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\\ ⋮\\ c_{k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$

クラメルの公式を用いると、$0\le m\le k-1$ に対して

$$\begin{array}{rl}{c}_m& =\frac{\left|\begin{array}{cccccccc}1& 1& \cdots & 1& 0& 1& \cdots & 1\\ {\lambda }_0& {\lambda }_1& \cdots & {\lambda }_{m-1}& 0& {\lambda }_{m+1}& \cdots & {\lambda }_{k-1}\\ {\lambda }_0^2& {\lambda }_1^2& \cdots & {\lambda }_{m-1}^2& 0& {\lambda }_{m+1}^2& \cdots & {\lambda }_{k-1}^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\lambda }_0^{k-1}& {\lambda }_1^{k-1}& \cdots & {\lambda }_{m-1}^{k-1}& 1& {\lambda }_{m+1}^{k-1}& \cdots & {\lambda }_{k-1}^{k-1}\end{array}\right|}{V_k}\\ & =\frac{(-1{)}^m\left|\begin{array}{cccccccc}0& 1& 1& \cdots & 1& 1& \cdots & 1\\ 0& {\lambda }_0& {\lambda }_1& \cdots & {\lambda }_{m-1}& {\lambda }_{m+1}& \cdots & {\lambda }_{k-1}\\ 0& {\lambda }_0^2& {\lambda }_1^2& \cdots & {\lambda }_{m-1}^2& {\lambda }_{m+1}^2& \cdots & {\lambda }_{k-1}^2\\ 0& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\lambda }_0^{k-1}& {\lambda }_1^{k-1}& \cdots & {\lambda }_{m-1}^{k-1}& {\lambda }_{m+1}^{k-1}& \cdots & {\lambda }_{k-1}^{k-1}\end{array}\right|}{V_k}(\because 列をm回交換)\\ & =\frac{(-1{)}^{m+k-1}\left|\begin{array}{cccccccc}1& {\lambda }_0^{k-1}& {\lambda }_1^{k-1}& \cdots & {\lambda }_{m-1}^{k-1}& {\lambda }_{m+1}^{k-1}& \cdots & {\lambda }_{k-1}^{k-1}\\ 0& 1& 1& \cdots & 1& 1& \cdots & 1\\ 0& {\lambda }_0& {\lambda }_1& \cdots & {\lambda }_{m-1}& {\lambda }_{m+1}& \cdots & {\lambda }_{k-1}\\ 0& {\lambda }_0^2& {\lambda }_1^2& \cdots & {\lambda }_{m-1}^2& {\lambda }_{m+1}^2& \cdots & {\lambda }_{k-1}^2\\ 0& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& {\lambda }_0^{k-2}& {\lambda }_1^{k-2}& \cdots & {\lambda }_{m-1}^{k-2}& {\lambda }_{m+1}^{k-2}& \cdots & {\lambda }_{k-1}^{k-2}\end{array}\right|}{V_k}(\because 行をk-1回交換)\\ & =\frac{(-1{)}^{m+k-1}\left|\begin{array}{ccccccc}1& 1& \cdots & 1& 1& \cdots & 1\\ {\lambda }_0& {\lambda }_1& \cdots & {\lambda }_{m-1}& {\lambda }_{m+1}& \cdots & {\lambda }_{k-1}\\ {\lambda }_0^2& {\lambda }_1^2& \cdots & {\lambda }_{m-1}^2& {\lambda }_{m+1}^2& \cdots & {\lambda }_{k-1}^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\lambda }_0^{k-2}& {\lambda }_1^{k-2}& \cdots & {\lambda }_{m-1}^{k-2}& {\lambda }_{m+1}^{k-2}& \cdots & {\lambda }_{k-1}^{k-2}\end{array}\right|}{V_k}\\ & =\frac{(-1{)}^{m+k-1}{\displaystyle \prod _{0\le i<j\le k-1かつi\ne mかつj\ne m}({\lambda }_j-{\lambda }_i)}}{{\displaystyle \prod _{0\le i<j\le k-1}({\lambda }_j-{\lambda }_i)}}(\because ヴァンデルモンド行列式)\\ & =\frac{(-1{)}^{m+k-1}}{{\displaystyle \prod _{0\le i<j\le k-1かつ(i=mまたはj=m)}({\lambda }_j-{\lambda }_i)}}\\ & =\frac{(-1{)}^{m+k-1}}{{\displaystyle \prod _{0\le i<m}({\lambda }_m-{\lambda }_i)\prod _{m<j\le k-1}({\lambda }_j-{\lambda }_m)}}\\ & =\frac{(-1{)}^{m+k-1}}{{\displaystyle \prod _{0\le i<m}({\lambda }_m-{\lambda }_i)\prod _{m<j\le k-1}(-1)({\lambda }_m-{\lambda }_j)}}\\ & =\frac{(-1{)}^{m+k-1}}{{\displaystyle \prod _{0\le i<m}({\lambda }_m-{\lambda }_i)(-1{)}^{k-m-1}\prod _{m<j\le k-1}({\lambda }_m-{\lambda }_j)}}\\ & =\frac{(-1{)}^{(m+k-1)-(k-m-1)}}{{\displaystyle \prod _{0\le i<m}({\lambda }_m-{\lambda }_i)\prod _{m<j\le k-1}({\lambda }_m-{\lambda }_j)}}\\ & =\frac{(-1{)}^{2m}}{{\displaystyle \prod _{0\le i<m}({\lambda }_m-{\lambda }_i)\prod _{m<j\le k-1}({\lambda }_m-{\lambda }_j)}}\\ & =\frac{1}{{\displaystyle \prod _{0\le i<m,m<i\le k-1}({\lambda }_m-{\lambda }_i)}}\end{array}$$
が求められる。

以上より、

$$\begin{array}{rl}{\mathit{a}}_{\mathit{n}}& =c_0{\mathit{u}}_{\mathbf{0}}+c_1{\mathit{u}}_{\mathbf{1}}+\cdots +c_{k-1}{\mathit{u}}_{\mathit{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}\\ & ={\{\frac{{\lambda }_0^n}{{\displaystyle \prod _{1\le i\le k-1}({\lambda }_0-{\lambda }_i)}}+\frac{{\lambda }_1^n}{{\displaystyle \prod _{0\le i<1,1<j\le k-1}({\lambda }_1-{\lambda }_i)}}+\cdots +\frac{{\lambda }_{k-1}^n}{{\displaystyle \prod _{0\le i\le k-2}({\lambda }_{k-1}-{\lambda }_i)}}\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\\ & ={\left\{\sum _{i=0}^{k-1}\frac{{\lambda }_i^n}{{\displaystyle \prod _{0\le j<i,i<j\le k-1}({\lambda }_i-{\lambda }_j)}}\right\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\end{array}$$

である。

一般項

以上より、一般項を求めることができた。