フィボナッチ数を一般化したk-ナッチ数の一般項

はじめに

先にこんな記事を書きました。
フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想

上記記事では四捨五入を使った表現についての予想について書きましたが、この四捨五入を使わない表現について、予想ではなくちゃんと一般項を導出します。四捨五入を使った表現は未証明ですが、今回導出する表現は確認済です。

また、導出方法は過去記事と同じ流れですのでそちらも参照してください。
フィボナッチ数の一般項の四捨五入による表現の導出
トリボナッチ数の一般項の四捨五入による表現の導出
テトラナッチ数列の一般項を求める

k-ナッチ数列について

フィボナッチ数列を一般化した数列で、漸化式が先行k項の和で定義される次のような数列をこの記事ではk-ナッチ数列と呼び、 ${\displaystyle \{a_k(n)\}}$ と表記することにします。

漸化式による定義はこんな感じです。

母関数を閉じた式にする

k-ナッチ数の母関数をこの記事では $G^{[k]}(x)$ と表記します。

$ \begin{align} G^{[k]}(x)&=a_k(0) x^0+a_k(1) x^1 + a_k(2) x^2+a_k(3)x^3 + a_k(4) x^4 +a_k(5)x^5+T_6x^6+T_7x^7+T_8x^8+\cdots\\ &=a_k(k-1)x^{k-1}+a_k(k)x^{k}+ a_k(k+1)x^{k+1}+ a_k(k+2)x^{k+2}+ \cdots\\ \end{align} $

次のように並べてから辺々引いて閉じた式を作ります。
　　　　$ \begin{array}{c} G^{[k]}(x)&=&a_k(k-1)x^{k-1}+&a_k(k)x^{k}+ &\cdots+& a_k(2k-1)x^{2k-1}+ \cdots\\ xG^{[k]}(x)&=&&a_k(k-1)x^{k}+ &\cdots+ &a_k(2k-2)x^{2k-1}+ \cdots\\ \qquad\vdots&&&&&\vdots\\ x^kG^{[k]}(x)&=&&&&a_k(k-1)x^{2k-1}+ \cdots\\ \end{array} $

　　　　$ (1-x-x^2-x^3-\cdots -x^{k})G^{[k]}(x)=x^{k-1} $

　　　　$ \therefore G^{[k]}(x)=\frac{x^{k-1}}{1-x-x^2-x^3-\cdots -x^{k}} $

部分分数分解して無限級数化する

　　$x$の方程式 $1-x-x^2-x^3-\cdots -x^{k}=0$の$k$つの解を $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k$ として、
　　　　${\displaystyle \begin{align} G^{[k]}(x)&=\frac{x^{k-1}}{1-x-x^2-x^3-\cdots -x^{k}}\\ &=\frac{-x^{k-1}}{(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_k)}\\ &=\sum_{i=1}^{k} \frac{-x^{k-1}}{x-\alpha_i}\cdot\frac{1}{\prod_{\substack{j=1\\i\ne j}}^{k}(\alpha_i-\alpha_j)}\\ &=\sum_{i=1}^{k} \frac{x^{k-1}}{1-\frac{x}{\alpha_i}}\cdot\frac{1}{\alpha_i\prod_{\substack{j=1\\i\ne j}}^{k}(\alpha_i-\alpha_j)}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\left(x^{n+k-1} \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{\alpha_i^{n+1}\prod_{\substack{j=1\\i\ne j}}^{k}(\alpha_i-\alpha_j)}\right) \\ \end{align} } $

ここで　${\displaystyle G^{[k]}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_k(n) x^n }$　だったことを思い出して上記の式と係数比較すると、

　　　　${\displaystyle \begin{align} a_k(n)&= \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{\alpha_i^{n-k+2}\prod_{\substack{j=1\\i\ne j}}^{k}(\alpha_i-\alpha_j)}\\ \end{align} }$

ここまで$x$の方程式 $1-x-x^2-x^3-\cdots -x^{k}=0$の $k$ つの解を $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k$ として計算してきましたが、$x=\frac{1}{t}$と置換した $t$の方程式　$t^k-t^{k-1}-\cdots-t^2-t-1=0$の解を $t=\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_k$　とすると、$\alpha_i=\frac{1}{\beta_i}$ と書き換えることができます。

すると、
　　　　${\displaystyle \begin{align} a_k(n)&= \sum_{i=1}^{k} \frac{\beta_i^{n-k+2}}{\prod_{\substack{j=1\\i\ne j}}^{k}\left(\frac{1}{\beta_i}-\frac{1}{\beta_j}\right)}\\ &= \sum_{i=1}^{k} \frac{\beta_i^{n-k+2}\cdot \beta_i^{k-2}\cdot\beta_1 \beta_2 \cdots\beta_k}{\prod_{\substack{j=1\\i\ne j}}^{k}\left(\beta_j-\beta_i\right)}\\ &= \sum_{i=1}^{k} \frac{\beta_i^{n}}{\prod_{\substack{j=1\\i\ne j}}^{k}\left(\beta_i-\beta_j\right)}\qquad\because \beta_1 \beta_2 \cdots\beta_k=(-1)^{k+1} \\ \end{align} }$

これで、k-ナッチ数の一般項を表す式ができました!

別表現を作る

ところで、$f(x)=x^k-x^{k-1}-\cdots-x^2-x-1$ とすると$f(x)=(x-\beta_1)(x-\beta_2)\cdots(x-\beta_k)$ と因数分解できることと、ロピタルの定理を使うと、

　　　　　　　　${\displaystyle \begin{align} \prod_{\substack{j=1\\i\ne j}}^{k}\left(\beta_i-\beta_j\right) &=\lim_{x\to\beta_i} \frac{f(x)}{x-\beta_i}\\ &=f'(\beta_i) \end{align} }$
と書き換えることができます。

$k=2$ 、つまりフィボナッチ数で検算してみましょう。
$x^2-x-1=0$ の解は　$\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ で、導関数は $2x-1$ ですから、
　　　　${\displaystyle \begin{align} a_2(n) &=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}{2\cdot\left(\frac{1 +\sqrt{5}}{2}\right)-1} +\frac{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}{2\cdot\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)-1}\\ &=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \right\} \end{align} }$

確かにビネの公式と一致しました!

予想との関係

最後に私の予想との関係を説明したいと思います。
フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想

私の予想では $x^k-x^{k-1}-\cdots-x^2-x-1=0$ は$k$にかかわらず $1< x<2$ の範囲に実数解を１つもち、残りの $k-1$ 個の(複素数範囲の)解の絶対値は１未満となり、上記の一般項の式では絶対値１未満の解は計算結果にほとんど影響を与えない結果、1つの実数解を用いた四捨五入による表現が$k$によらず可能なのではないか、と考えています。$k=2,3$の場合は正しいことがわかりましたが、$k\ge4$の場合は未証明です。何か情報等ありましたらコメント欄等へご連絡お願いします!