先にこんな記事を書きました。
フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想
上記記事では四捨五入を使った表現についての予想について書きましたが、この四捨五入を使わない表現について、予想ではなくちゃんと一般項を導出します。四捨五入を使った表現は未証明ですが、今回導出する表現は確認済です。
また、導出方法は過去記事と同じ流れですのでそちらも参照してください。
フィボナッチ数の一般項の四捨五入による表現の導出
トリボナッチ数の一般項の四捨五入による表現の導出
テトラナッチ数列の一般項を求める
フィボナッチ数列を一般化した数列で、漸化式が先行k項の和で定義される次のような数列をこの記事ではk-ナッチ数列と呼び、
漸化式による定義はこんな感じです。
k-ナッチ数の母関数をこの記事では
次のように並べてから辺々引いて閉じた式を作ります。
ここで
ここまで
すると、
これで、k-ナッチ数の一般項を表す式ができました!
ただし、
ところで、
と書き換えることができます。
ただし、
確かにビネの公式と一致しました!
最後に私の予想との関係を説明したいと思います。
フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想
私の予想では