有理数と無理数、循環小数と循環しない小数

まず任意の $0$ から $9$ までの整数からなる数列 $\{a_n\}$ に対して無限級数
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n}$$
がある実数に収束することを示す。そのためには
$$A_N=\sum_{n=1}^{N} \frac{a_n}{10^n}$$
からなる数列 $\{A_N\}$ が上に有界であることを示せば良いが、このことは
$$A_N\leq\sum_{n=1}^{N} \frac{9}{10^n}<\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9}{10^n}=\frac{1}{10}\cdot\frac{9}{1-1/10}=1$$
より成り立つ。

任意の自然数 $n$ に対して
$$[0,1)=\bigcup_{k=0}^{9}\left[ \frac{k}{10},\frac{k+1}{10}\right)$$
が成り立つから $0\leq x<10$ ならある $0\leq a_1\leq 10^{1}-1$ に対して
$$\frac{a_1}{10}\leq x<\frac{a_1+1}{10}$$
となる。このような $a_1$ は一意に定まる。もしある $a_i\in\{0,1,\cdots 9\},\;(0\leq i\leq n)$ に対して
$$\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{10^i}\leq x<\sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{10^i}+\frac{a_n+1}{10^n}$$
が成り立つなら
$$x\in\left[\sum_{i=1}^n\frac{a_n}{10^n},\sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{10^i}+\frac{a_n+1}{10^n}\right)=\bigcup_{k=0}^{9}\left[ \sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{10^i}+\frac{10a_n+k}{10^{n+1}},\sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{10^i}+\frac{10a_n+k+1}{10^{n+1}}\right)$$
となるから、ある $a_{n+1}\in\{0,1,\cdots 9\}$ が存在して
$$\sum_{i=1}^{n+1}\frac{a_i}{10^i}\leq x<\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{10^i}+\frac{a_{n+1}+1}{10^{n+1}}$$
が成り立つ。このような $a_{n+1}$ は一意に定まる。

このようにして帰納的に数列 $\{a_n\}$ が構成され任意の自然数 $n$ に対して
$$\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{10^i}\leq x<\sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{10^i}+\frac{a_n+1}{10^n}$$
が成り立っている。
$$\alpha=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{10^n}$$
とおくとこの不等式の最左辺と最右辺は共に $\alpha$ に収束するから挟みうちの原理により $x=\alpha$ が成り立つ。$\Box$

$\{b_1,\cdots,b_{\phi(n)}\}$ を $1$ 以上 $n$ 以下で $n$ と互いに素となるような整数の集合とする。$a$ と $n$ は互いに素なので $n$ を法として
$$ \{ab_1,\cdots,ab_{\phi(n)}\}=\{b_1,\cdots,b_{\phi(n)}\}$$
が成り立つ。実際、各 $1\leq i\leq \phi(n)$ に対して $ab_i$ を $n$ で割った余りは $n$ と互いに素だからある $1\leq j\leq \phi(n)$ に対して $ab_i\equiv b_j$ となり、(左辺)$\subset$(右辺)が成り立つ。また、$ab_i\equiv ab_j$ なら $b_i=b_j$ だから左辺と右辺の要素の個数は等しいので等号が成立する。よって$ B=b_1\cdots b_{\phi(n)}$ とすると
$$a^{\phi(n)}B\equiv B\mod n$$
が成り立つから
$$a^{\phi(n)}1\equiv 1\mod n$$
が得られる。$\Box$

$0< x<1$ と仮定して良い。$x$ が循環小数であるとし、その小数展開が $\{a_n\}_{n\geq 1}$ によって表されているとする。仮定よりある自然数 $N,l$ に対して
$$n\geq N\Longrightarrow a_n=a_{n+l}$$
が成り立つ。このとき
\begin{align*} 10^{l}x&=\sum_{n=1}^{N+l-1}10^{l-n}\cdot a_n+\sum_{n=N+l}^{\infty}10^{l-n}\cdot a_n\\ &=\sum_{n=1}^{N+l-1}10^{l-n}\cdot a_n+\sum_{n=N+l}^{\infty}10^{l-n}\cdot a_n\\ &=\sum_{n=1}^{N+l-1}10^{l-n}\cdot a_n+\sum_{n=N}^{\infty}10^{-n}\cdot a_n\\ &=\sum_{n=1}^{N+l-1}10^{l-n}\cdot a_n+\left(x-\sum_{n=1}^{N-1}10^{-n}\cdot a_n\right) \end{align*}
が成り立つ。したがって $(10^l-1)x$ は有理数となり $x$ が有理数であることが示された。

逆を示そう。$0$ でない整数 $p,q$ があって $x=q/p$ であるとする。まず $p$ が $10$ と互いに素である場合について示す。 このとき補題２より $10^{\phi(p)}-1$ が $p$ の倍数となるから $(10^{\phi(p)}-1)x$ は整数となる。よって $x=0.a_1a_2\cdots$ とおくと
$$n\geq 1\Longrightarrow a_n=a_{n+\phi(p)}$$
となるから $x$ は循環小数である。$p$ が $2$ または $5$ を約数に持つ場合、$p=2^m5^lp^{\prime}$ となるような正整数 $m,l$ 及び $10$ と互いに素な $p^{\prime}$ が存在する。このとき $n=\max\{m,l\}$ とおけば $10^nx$ は循環小数となるから $x$ も循環小数となる。$\Box$