有理数と無理数、循環小数と循環しない小数

まず任意の $0$ から $9$ までの整数からなる数列 $\{a_n\}$ に対して無限級数
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{{10}^n}$$
がある実数に収束することを示す。そのためには
$$A_N=\sum _{n=1}^N\frac{a_n}{{10}^n}$$
からなる数列 $\{A_N\}$ が上に有界であることを示せば良いが、このことは
$$A_N\le \sum _{n=1}^N\frac{9}{{10}^n}<\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{9}{{10}^n}=\frac{1}{10}\cdot \frac{9}{1-1/10}=1$$
より成り立つ。

任意の自然数 $n$ に対して
$$[0,1)=\bigcup _{k=0}^9[\frac{k}{10},\frac{k+1}{10})$$
が成り立つから $0\le x<10$ ならある $0\le a_1\le {10}^1-1$ に対して
$$\frac{a_1}{10}\le x<\frac{a_1+1}{10}$$
となる。このような $a_1$ は一意に定まる。もしある $a_i\in \{0,1,\cdots 9\},(0\le i\le n)$ に対して
$$\sum _{i=1}^n\frac{a_i}{{10}^i}\le x<\sum _{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{{10}^i}+\frac{a_n+1}{{10}^n}$$
が成り立つなら
$$x\in [\sum _{i=1}^n\frac{a_n}{{10}^n},\sum _{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{{10}^i}+\frac{a_n+1}{{10}^n})=\bigcup _{k=0}^9[\sum _{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{{10}^i}+\frac{10a_n+k}{{10}^{n+1}},\sum _{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{{10}^i}+\frac{10a_n+k+1}{{10}^{n+1}})$$
となるから、ある $a_{n+1}\in \{0,1,\cdots 9\}$ が存在して
$$\sum _{i=1}^{n+1}\frac{a_i}{{10}^i}\le x<\sum _{i=1}^n\frac{a_i}{{10}^i}+\frac{a_{n+1}+1}{{10}^{n+1}}$$
が成り立つ。このような $a_{n+1}$ は一意に定まる。

このようにして帰納的に数列 $\{a_n\}$ が構成され任意の自然数 $n$ に対して
$$\sum _{i=1}^n\frac{a_i}{{10}^i}\le x<\sum _{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{{10}^i}+\frac{a_n+1}{{10}^n}$$
が成り立っている。
$$\alpha =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{{10}^n}$$
とおくとこの不等式の最左辺と最右辺は共に $\alpha$ に収束するから挟みうちの原理により $x=\alpha$ が成り立つ。$◻$

$\{b_1,\cdots ,b_{\varphi (n)}\}$ を $1$ 以上 $n$ 以下で $n$ と互いに素となるような整数の集合とする。$a$ と $n$ は互いに素なので $n$ を法として
$$\{a{b}_1,\cdots ,a{b}_{\varphi (n)}\}=\{b_1,\cdots ,b_{\varphi (n)}\}$$
が成り立つ。実際、各 $1\le i\le \varphi (n)$ に対して $a{b}_i$ を $n$ で割った余りは $n$ と互いに素だからある $1\le j\le \varphi (n)$ に対して $a{b}_i\equiv b_j$ となり、(左辺)$\subset$(右辺)が成り立つ。また、$a{b}_i\equiv a{b}_j$ なら $b_i=b_j$ だから左辺と右辺の要素の個数は等しいので等号が成立する。よって$B=b_1\cdots b_{\varphi (n)}$ とすると
$$a^{\varphi (n)}B\equiv B\mathrm{mod}n$$
が成り立つから
$$a^{\varphi (n)}1\equiv 1\mathrm{mod}n$$
が得られる。$◻$

$0<x<1$ と仮定して良い。$x$ が循環小数であるとし、その小数展開が $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ によって表されているとする。仮定よりある自然数 $N,l$ に対して
$$n\ge N⟹a_n=a_{n+l}$$
が成り立つ。このとき
$$\begin{array}{rl}{10}^{l}x& =\sum _{n=1}^{N+l-1}{10}^{l-n}\cdot a_n+\sum _{n=N+l}^{\mathrm{\infty }}{10}^{l-n}\cdot a_n\\ & =\sum _{n=1}^{N+l-1}{10}^{l-n}\cdot a_n+\sum _{n=N+l}^{\mathrm{\infty }}{10}^{l-n}\cdot a_n\\ & =\sum _{n=1}^{N+l-1}{10}^{l-n}\cdot a_n+\sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}{10}^{-n}\cdot a_n\\ & =\sum _{n=1}^{N+l-1}{10}^{l-n}\cdot a_n+(x-\sum _{n=1}^{N-1}{10}^{-n}\cdot a_n)\end{array}$$
が成り立つ。したがって $({10}^l-1)x$ は有理数となり $x$ が有理数であることが示された。

逆を示そう。$0$ でない整数 $p,q$ があって $x=q/p$ であるとする。まず $p$ が $10$ と互いに素である場合について示す。 このとき補題２より ${10}^{\varphi (p)}-1$ が $p$ の倍数となるから $({10}^{\varphi (p)}-1)x$ は整数となる。よって $x=0.a_1{a}_2\cdots$ とおくと
$$n\ge 1⟹a_n=a_{n+\varphi (p)}$$
となるから $x$ は循環小数である。$p$ が $2$ または $5$ を約数に持つ場合、$p=2^m{5}^l{p}^{\prime }$ となるような正整数 $m,l$ 及び $10$ と互いに素な $p^{\prime }$ が存在する。このとき $n=max\{m,l\}$ とおけば ${10}^{n}x$ は循環小数となるから $x$ も循環小数となる。$◻$