数論工具箱 (2)

** 謹賀新年
2021年を迎えることとなった。新年も数学研究と数学の発信に励んでいきたい。
昨日にして昨年の記事に続き、オイラー関数を含む和に関する不等式について触れていきたい。

$n=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}$ （$p_1,p_2,\dots ,p_r$ は相異なる素数）に対して
通例通りオイラー関数 $$\phi (n)=\prod _{i=1}^r{p}_i^{e_i-1}(p_i-1)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_r})$$ を $n$ 以下の、 $n$ と互に素な正の整数の個数、メビウス関数 $\mu (n)$ を $e_1=e_2=\cdots =e_r=1$ のとき $\mu (n)=(-1{)}^r$, それ以外のとき $\mu (n)=0$ と定義する。したがって $e_1=e_2=\cdots =e_r=1$ のとき ${\mu }^2(n)=1$、それ以外のとき ${\mu }^2(n)=0$ となる。
また $$\gamma (n)=\prod _{p\mid n}p=p_1{p}_2\cdots p_r$$ を $n$ を割り切る素数を1回ずつかけた積とする${\mu }^2(\gamma (n))=1$ がつねに成り立つ。$\tau (m)$ を $m$ の約数の個数とする。
また $O^{\ast }(g(x))$ を 絶対値が $g(x)$ を超えない、 $x$ の関数をあらわすときに使う。

つまり、平方因子をもたない数全体でオイラー関数の逆数の和をとると、大きさはだいたい自然対数と一致する（したがって調和級数と増加の速さは一致する）ことがわかる。

下からの評価を $1$ から $x$ までの和について行っている論文として
Kevin Ford,
An explicit sieve bound and small values of \sigma(\varphi(m)),
Period. Math. Hungar. 43 (2002), 15–29
があるが、意外と上記の形の不等式を証明した文献が見当たらないので、ここで証明しておきたい。

証明

$Q_m(x_1,x)=\sum _{x_1<n\le x,gcd(n,m)=1}{\mu }^2(n)/n$ とおくと
$$\begin{array}{rl}\sum _{x_1<q\le x}\frac{{\mu }^2(q)}{\phi (q)}=& \sum _{x_1<q\le x}\frac{{\mu }^2(q)}{q}\prod _{p\mid q}\frac{p}{p-1}=\sum _{x_1<q\le x}\frac{{\mu }^2(q)}{q}\prod _{\gamma (m)\mid q}\frac{1}{m}\\ =& \sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m}\sum _{\begin{array}{c}\gamma (m)\mid q,\\ x_1<q\le x\end{array}}\frac{{\mu }^2(q)}{q}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m\gamma (m)}\sum _{\begin{array}{c}{x}_1/\gamma (m)<r\le x/\gamma (m),\\ gcd(r,m)=1\end{array}}\frac{{\mu }^2(r)}{r}\cdots (1)\\ & \sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m\gamma (m)}{Q}_m(\frac{x_1}{\gamma (m)},\frac{x}{\gamma (m)})\end{array}$$
が成り立つ。

$$n=n_1{n}_2^2{n}_3,p\mid n_1\Rightarrow p\mid m,gcd(n_2^2{n}_3,m)=1$$
で $n_3$ が平方因子をもたないように $n$ を分解する。
このとき
$$\sum _{k^2\mid n_2^2{n}_3}\mu (k)=\sum _{k\mid n_2}\mu (k)=\{\begin{array}{ll}1& (n_2=1\text{ つまり }{\mu }^2(n_2^2{n}_3)=1),\\ 0& (n_2>1\text{ つまり }{\mu }^2(n_2^2{n}_3)=0),\end{array}$$
$$\sum _{\ell \mid n_1}\mu (\ell )=\{\begin{array}{ll}1& (n_1=1\text{ つまり }gcd(n,m)=1),\\ 0& (n_1>1\text{ つまり }gcd(n,m)>1)\end{array}$$
だから
$$\sum _{\begin{array}{c}{k}^2\ell \mid n,\\ gcd(k,m)=1,\\ \ell \mid m\end{array}}\mu (k)\mu (\ell )=(\sum _{k\mid n_2}\mu (k))(\sum _{\ell \mid n_1}\mu (\ell ))=\{\begin{array}{ll}1& (gcd(n,m)=1,{\mu }^2(n)=1),\\ 0& (gcd(n,m)>1\text{ または }{\mu }^2(n)=0)\end{array}$$
となる。よって
$$\begin{array}{rl}{Q}_m(x_1,x)=& \sum _{x_1<n\le x}\frac{1}{n}(\sum _{\ell \mid gcd(n,m)}\mu (\ell ))(\sum _{\begin{array}{c}k\mid n,\\ gcd(k,m)=1\end{array}}\mu (k))\\ =& \sum _{\ell \mid m}\mu (\ell )\sum _{\begin{array}{c}k\le \sqrt{x},\\ gcd(k,m)=1\end{array}}\mu (k)\sum _{\begin{array}{c}{k}^2\ell \mid n,\\ x_1<n\le x\end{array}}\frac{1}{n}\\ =& \sum _{\ell \mid m}\frac{\mu (\ell )}{\ell }\sum _{\begin{array}{c}k\le \sqrt{x},\\ gcd(k,m)=1\end{array}}\frac{\mu (k)}{k^2}\sum _{\frac{x_1}{k^2\ell }<n\le \frac{x}{k^2\ell }}\frac{1}{n}\cdots (2)\\ =& \sum _{\ell \mid m}\frac{\mu (\ell )}{\ell }\sum _{\begin{array}{c}k\le \sqrt{x},\\ gcd(k,m)=1\end{array}}\frac{\mu (k)}{k^2}(\log \frac{x}{x_1}+O^{\ast }\left(k^2\ell (\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x})\right))\\ =& \log \frac{x}{x_1}\left(\sum _{\ell \mid m}\frac{\mu (\ell )}{\ell }\right)\left(\sum _{\begin{array}{c}k\le \sqrt{x},\\ (k,m)=1\end{array}}\frac{\mu (k)}{k^2}\right)+\sum _{\ell \mid m}{\mu }^2(\ell )\sum _{\begin{array}{c}k\le \sqrt{x},\\ gcd(k,m)=1\end{array}}{O}^{\ast }(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x})\end{array}$$
が成り立つ。
主要項に現れる $\ell$ に関する和については
$$\sum _{\ell \mid m}\frac{\mu (\ell )}{\ell }=\prod _{p\mid m}(1-\frac{1}{p})=\frac{\phi (m)}{m}$$
が成り立つ。また $k$ に関する和については
$$\sum _{k\le \sqrt{x},gcd(k,m)=1}\frac{\mu (k)}{k^2}=\sum _{gcd(k,m)=1}\frac{\mu (k)}{k^2}+\sum _{k>\sqrt{x},gcd(k,m)=1}\frac{\mu (k)}{k^2},$$
となるが、
$$\sum _{gcd(k,m)=1}\frac{\mu (k)}{k^2}=\prod _{p\nmid m}(1-\frac{1}{p^2})=\frac{1}{\zeta (2)}\prod _{p\mid m}{(1-\frac{1}{p^2})}^{-1}$$
および
$$\left|\sum _{k>\sqrt{x},gcd(k,m)=1}\frac{\mu (k)}{k^2}\right|\le \sum _{k>\sqrt{x}}\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{\sqrt{x}-1}$$
が成り立つから、
$$h(m)=\prod _{p\mid m}{(1-\frac{1}{p^2})}^{-1}$$
とおくと
$$\sum _{k\le \sqrt{x},gcd(k,m)=1}\frac{\mu (k)}{k^2}=\frac{h(m)}{\zeta (2)}+O^{\ast }\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right)$$
となる。
誤差項において、 ${\mu }^2(\ell )=1$ となる $\ell$ の選び方は $m$ の平方因子をもたない約数の個数を超えないから、 $\tau (\gamma (m))$ を超えない。
$k$ の選び方は明らかに $\sqrt{x}$ を超えないから (2)
$$Q_m(x_1,x)=\frac{\phi (m)}{m}(\frac{h(m)}{\zeta (2)}+O^{\ast }\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right))\log \frac{x}{x_1}+O^{\ast }(\tau (\gamma (m))\sqrt{x}\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x})$$
が成り立つ。
よって (1) の右辺について
$$\begin{array}{rl}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m\gamma (m)}{Q}_m(\frac{x_1}{\gamma (m)},\frac{x}{\gamma (m)})=& (\sum _m\frac{\phi (m)h(m)}{m^2\gamma (m)\zeta (2)}+O^{\ast }\left(\frac{\phi (m)}{m^2\gamma (m)(\sqrt{x}-1)}\right))\log \frac{x}{x_1}\cdots (3)\\ & +O^{\ast }\left(\left(\sum _m\frac{\tau (\gamma (m))}{m\gamma (m)}\right)\sqrt{x}(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x})\right)\end{array}$$
がいえる。

$$\sum _m\frac{\phi (m)h(m)}{m^2\gamma (m)\zeta (2)}$$
を求める必要がある。$m=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}$ と素因数分解すると
$$\begin{array}{rl}\frac{\phi (m)h(m)}{m^2\gamma (m)}=& \frac{\phi (m)}{m}\times \frac{1}{m\gamma (m)}\times h(m)\\ =& \prod _{i=1}^r\frac{p_i-1}{p_i}\times \frac{1}{p_i^{e_i+1}}{(1-\frac{1}{p_i^2})}^{-1}\end{array}$$
だから
$$\begin{array}{rl}\sum _m\frac{\phi (m)h(m)}{m^2\gamma (m)}=& \prod _p(1+{(1-\frac{1}{p^2})}^{-1}\frac{p-1}{p}(\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+\cdots ))\\ =& \prod _p(1+\frac{p^2}{p^2-1}\times \frac{p-1}{p}\times \frac{1}{p(p-1)})\\ =& \prod _p(1+\frac{1}{p^2-1})\\ =& \zeta (2)\end{array}$$
となる。よって
$$\sum _m\frac{\phi (m)h(m)}{m^2\gamma (m)\zeta (2)}=1$$
となって1に一致してしまう。(1) と (3) から
$$\sum _{x_1<n\le x}\frac{{\mu }^2(n)}{\phi (n)}=\log \frac{x}{x_1}+O^{\ast }(\frac{c_1\log x}{\sqrt{x}-1}+c_2\sqrt{x}(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x})),$$
$$c_1=\sum _m\frac{\phi (m)}{m^2\gamma (m)},c_2=\sum _m\frac{\tau (\gamma (m))}{m\gamma (m)}$$
となって、定理が証明された。