数論工具箱 (2)

** 謹賀新年
2021年を迎えることとなった。新年も数学研究と数学の発信に励んでいきたい。
昨日にして昨年の記事に続き、オイラー関数を含む和に関する不等式について触れていきたい。

$n=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$ （$p_1, p_2, \ldots, p_r$ は相異なる素数）に対して
通例通りオイラー関数 $$\varphi(n)=\prod_{i=1}^r p_i^{e_i-1}(p_i-1)=n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{p_r}\right)$$ を $n$ 以下の、 $n$ と互に素な正の整数の個数、メビウス関数 $\mu(n)$ を $e_1=e_2=\cdots =e_r=1$ のとき $\mu(n)=(-1)^r$, それ以外のとき $\mu(n)=0$ と定義する。したがって $e_1=e_2=\cdots =e_r=1$ のとき $\mu^2(n)=1$、それ以外のとき $\mu^2(n)=0$ となる。
また $$\gamma(n)=\prod_{p\mid n} p=p_1 p_2 \cdots p_r$$ を $n$ を割り切る素数を1回ずつかけた積とする$\mu^2(\gamma(n))=1$ がつねに成り立つ。$\tau(m)$ を $m$ の約数の個数とする。
また $O^*(g(x))$ を 絶対値が $g(x)$ を超えない、 $x$ の関数をあらわすときに使う。

つまり、平方因子をもたない数全体でオイラー関数の逆数の和をとると、大きさはだいたい自然対数と一致する（したがって調和級数と増加の速さは一致する）ことがわかる。

下からの評価を $1$ から $x$ までの和について行っている論文として
Kevin Ford,
An explicit sieve bound and small values of \sigma(\varphi(m)),
Period. Math. Hungar. 43 (2002), 15–29
があるが、意外と上記の形の不等式を証明した文献が見当たらないので、ここで証明しておきたい。

証明

$Q_m(x_1, x)=\sum_{x_1< n\leq x, \gcd(n, m)=1}\mu^2(n)/n$ とおくと
$$\begin{split} \sum_{x_1< q\leq x}\frac{\mu^2(q)}{\varphi(q)} =&\sum_{x_1< q\leq x}\frac{\mu^2(q)}{q}\prod_{p\mid q}\frac{p}{p-1} =\sum_{x_1< q\leq x}\frac{\mu^2(q)}{q}\prod_{\gamma(m)\mid q}\frac{1}{m}\\ =&\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m}\sum_{\substack{\gamma(m)\mid q,\\ x_1< q\leq x}}\frac{\mu^2(q)}{q} =\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m\gamma(m)}\sum_{\substack{x_1/\gamma(m)< r\leq x/\gamma(m), \\ \gcd(r, m)=1}}\frac{\mu^2(r)}{r} \ \ \ \cdots (1)\\ &\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m\gamma(m)}Q_m\left(\frac{x_1}{\gamma(m)},\frac{x}{\gamma(m)}\right) \end{split}$$
が成り立つ。

$$n=n_1 n_2^2 n_3, p\mid n_1\Rightarrow p\mid m, \gcd(n_2^2 n_3, m)=1$$
で $n_3$ が平方因子をもたないように $n$ を分解する。
このとき
$$\sum_{k^2\mid n_2^2 n_3}\mu(k)=\sum_{k\mid n_2}\mu(k)=\begin{cases} 1 & (n_2=1\textrm{ つまり }\mu^2(n_2^2 n_3)=1), \\ 0 & (n_2>1\textrm{ つまり }\mu^2(n_2^2 n_3)=0),\end{cases}$$
$$\sum_{\ell\mid n_1}\mu(\ell)=\begin{cases} 1 & (n_1=1\textrm{ つまり } \gcd(n, m)=1), \\ 0 & (n_1>1\textrm{ つまり }\gcd(n, m)>1)\end{cases}$$
だから
$$\sum_{\substack{k^2 \ell\mid n, \\ \gcd(k, m)=1, \\ \ell\mid m}} \mu(k) \mu(\ell)=\left(\sum_{k\mid n_2}\mu(k)\right)\left(\sum_{\ell\mid n_1}\mu(\ell)\right) =\begin{cases} 1 & (\gcd(n, m)=1, \mu^2(n)=1), \\ 0 & (\gcd(n, m)>1\textrm{ または }\mu^2(n)=0)\end{cases}$$
となる。よって
\begin{split} Q_m(x_1, x)=&\sum_{x_1< n\leq x}\frac{1}{n}\left(\sum_{\ell\mid \gcd(n, m)}\mu(\ell)\right)\left(\sum_{\substack{k\mid n,\\ \gcd(k, m)=1}}\mu(k)\right) \\ =&\sum_{\ell\mid m}\mu(\ell)\sum_{\substack{k\leq\sqrt{x},\\ \gcd(k, m)=1}}\mu(k)\sum_{\substack{k^2\ell\mid n,\\ x_1< n\leq x}}\frac{1}{n} \\ =&\sum_{\ell\mid m}\frac{\mu(\ell)}{\ell}\sum_{\substack{k\leq\sqrt{x},\\ \gcd(k, m)=1}}\frac{\mu(k)}{k^2}\sum_{\frac{x_1}{k^2 \ell}< n\leq\frac{x}{k^2 \ell}}\frac{1}{n} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\cdots (2)\\ =&\sum_{\ell\mid m}\frac{\mu(\ell)}{\ell}\sum_{\substack{k\leq\sqrt{x},\\ \gcd(k, m)=1}}\frac{\mu(k)}{k^2}\left(\log\frac{x}{x_1}+O^*\left(k^2\ell\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x}\right)\right)\right)\\ =&\log\frac{x}{x_1}\left(\sum_{\ell\mid m}\frac{\mu(\ell)}{\ell}\right)\left(\sum_{\substack{k\leq\sqrt{x},\\ (k, m)=1}}\frac{\mu(k)}{k^2}\right) +\sum_{\ell\mid m}\mu^2(\ell)\sum_{\substack{k\leq\sqrt{x},\\ \gcd(k, m)=1}} O^*\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x}\right)\\ \end{split}
が成り立つ。
主要項に現れる $\ell$ に関する和については
$$\sum_{\ell\mid m}\frac{\mu(\ell)}{\ell}=\prod_{p\mid m}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\frac{\varphi(m)}{m}$$
が成り立つ。また $k$ に関する和については
$$\sum_{k\leq\sqrt{x}, \gcd(k, m)=1}\frac{\mu(k)}{k^2}=\sum_{\gcd(k, m)=1}\frac{\mu(k)}{k^2}+\sum_{k>\sqrt{x}, \gcd(k, m)=1}\frac{\mu(k)}{k^2},$$
となるが、
$$\sum_{\gcd(k, m)=1}\frac{\mu(k)}{k^2}=\prod_{p\not\mid m}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)=\frac{1}{\zeta(2)}\prod_{p\mid m}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)^{-1}$$
および
$$\abs{\sum_{k>\sqrt{x}, \gcd(k, m)=1}\frac{\mu(k)}{k^2}}\leq \sum_{k>\sqrt{x}}\frac{1}{k^2}\leq \frac{1}{\sqrt{x}-1}$$
が成り立つから、
$$h(m)=\prod_{p\mid m}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)^{-1}$$
とおくと
$$\sum_{k\leq\sqrt{x}, \gcd(k, m)=1}\frac{\mu(k)}{k^2}=\frac{h(m)}{\zeta(2)}+O^*\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right)$$
となる。
誤差項において、 $\mu^2(\ell)=1$ となる $\ell$ の選び方は $m$ の平方因子をもたない約数の個数を超えないから、 $\tau(\gamma(m))$ を超えない。
$k$ の選び方は明らかに $\sqrt{x}$ を超えないから (2)
$$Q_m(x_1, x)=\frac{\varphi(m)}{m}\left(\frac{h(m)}{\zeta(2)}+O^*\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right)\right)\log\frac{x}{x_1} +O^*\left(\tau(\gamma(m))\sqrt{x}\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x}\right)$$
が成り立つ。
よって (1) の右辺について
$$\begin{split} \sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m\gamma(m)}Q_m\left(\frac{x_1}{\gamma(m)},\frac{x}{\gamma(m)}\right) =& \left(\sum_m \frac{\varphi(m)h(m)}{m^2\gamma(m)\zeta(2)} + O^*\left(\frac{\varphi(m)}{m^2\gamma(m)(\sqrt{x}-1)}\right)\right)\log\frac{x}{x_1} \ \ \ \cdots (3)\\ & +O^*\left(\left(\sum_m \frac{\tau(\gamma(m))}{m \gamma(m)}\right) \sqrt{x}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x}\right)\right) \end{split}$$
がいえる。

$$\sum_m \frac{\varphi(m)h(m)}{m^2\gamma(m)\zeta(2)}$$
を求める必要がある。$m=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$ と素因数分解すると
$$\begin{split}\frac{\varphi(m)h(m)}{m^2\gamma(m)}=&\frac{\varphi(m)}{m}\times \frac{1}{m\gamma(m)}\times h(m) \\ =&\prod_{i=1}^r \frac{p_i-1}{p_i}\times \frac{1}{p_i^{e_i+1}}\left(1-\frac{1}{p_i^2}\right)^{-1}\end{split}$$
だから
$$\begin{split} \sum_m \frac{\varphi(m)h(m)}{m^2\gamma(m)}= & \prod_p \left(1+\left(1-\frac{1}{p^2}\right)^{-1}\frac{p-1}{p}\left(\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+\cdots \right)\right) \\ = & \prod_p \left(1+\frac{p^2}{p^2-1}\times \frac{p-1}{p}\times \frac{1}{p(p-1)}\right) \\ = & \prod_p \left(1+\frac{1}{p^2-1}\right) \\ = & \zeta(2)\end{split}$$
となる。よって
$$\sum_m \frac{\varphi(m)h(m)}{m^2\gamma(m)\zeta(2)}=1$$
となって1に一致してしまう。(1) と (3) から
$$\sum_{x_1< n\leq x}\frac{\mu^2(n)}{\varphi(n)}=\log \frac{x}{x_1}+O^*\left(\frac{c_1 \log x}{\sqrt{x}-1}+c_2\sqrt{x}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x}\right)\right),$$
$$c_1=\sum_m \frac{\varphi(m)}{m^2\gamma(m)}, c_2=\sum_m \frac{\tau(\gamma(m))}{m \gamma(m)}$$
となって、定理が証明された。