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約数個数函数の2種類の母函数

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はじめに

約数個数函数というものがあります。その名の通り整数nに対しnの約数の個数を返してくる函数dで、

d(n)=k|n1

と定義されます。(k|nnkで割り切れるという意味です。)

この約数個数函数の2つの母函数をこの記事では求めます。具体的にいうと、

母函数としてのディリクレ級数n=1d(n)ns

通常型母函数n=1d(n)xn

この2つを求めます。

母函数としてのディリクレ級数

n=1d(n)ns=0<a,bn=ab1ns=0<a,b1asbs=ζ2(s)

以上より、

n=1d(n)ns=ζ2(s)

がわかりました。

1行目から2行目への式変形ですが、ab=nを満たす正整数a,bの組がd(n)通りであるため成立します。

通常型母函数

通常型母函数を求める前に、q-類似について軽く触れます。

q-類似(きゅーるいじ、英: q-analog, q-analogue)とは、理論に q → 1 の極限で、元の理論に一致するように径数 q を導入するような拡張のことをいう。q-拡張(英: q-extension)などとも呼ばれる。

詳しく知りたい、という方は こちら をご覧ください。q-類似に関するwikiです。また、 nkswtr さんが書かれた こちら のPDFも良いかもしれません。

ここでは通常型母函数を導出するにあたり必要なq-Pochhammer記号、q-ガンマ函数、q-ディガンマ函数、q-Euler定数の定義について説明します。

まず、q-Pochhammer記号です。これは

(a,q)n=k=0n1(1aqk)

と定義されます。この記事ではnとした

(a,q)=k=0(1aqk)

を使います。

次にq-ガンマ函数です。これは

Γq(z)=(q,q)(q,qz)(1q)1z

と定義されます。この記事ではこの定義を式変形し、

Γq(z)=(1q)1zk=01qk+11qk+z

としたものを使います。

そしてq-ディガンマ函数とq-Euler定数ですが、それぞれ

ψq(z)=zlogΓq(z)

γ(q)=ψq(1)

と定義されます。

定義を一通り確認したところで本題に入ります。

まず、Γq(z)=(1q)1zk=01qk+11qk+zから出発します。

logΓq(z)=(1z)log(1q)+k=0(log(1qk+1)log(1qk+z))

zlogΓq(z)=z((1z)log(1q)+k=0(log(1qk+1)log(1qk+z)))

ψq(z)=log(1q)+logqk=0qk+z1qk+z

ψx(1)=log(1x)+logxk=0xk+11xk+1

k=1xk1xk=log(1x)γ(x)logx

ここで、

k=1xk1xk=0<n,kxnk=0<n,ka=nkxa=n=1d(n)xn

より、

n=1d(n)xn=log(1x)γ(x)logx

がわかりました。

おわりに

ディリクレ級数の方ですが、この等式をうまく用いることで 前回の記事 の問題を解くことが出来ます。興味が湧いた方は是非挑戦してみてください。

この記事を書くにあたり協力してくださった don@ld さん、本当にありがとうございます。

投稿日:202111
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神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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