大学数学基礎解説

連続関数における有界閉区間上の最大値最小値の存在について

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はじめに

本記事は、こちらの記事において H.E氏の指摘の中でアドバイス頂いた方法を用いた証明となります。

定理

今回扱う定理の主張とは、以下のようなものです。

閉区間 $I = [a, b]$ 上定義された連続関数 $f$ はその区間で最大値、最小値をもつ。

証明の準備

今回の証明において、実数の空でない有界部分集合 $A$ に上限 $sup A$ が存在することを公理とします。すると、次の命題が成立します。

単調有界数列は収束する。

上に有界で単調増加な数列 $(a_{n})$ について考える。 $(a_{n})$ は有界であるので上限が存在し、それを $α$ とおくと、任意の $ϵ > 0$ に対し、ある $N \in N$ が存在し、 $n > N$ ならば $0 < α - a_{n} < ϵ$ となり、数列の収束の定義( $ϵ - N$ 論法)から数列 $(a_{n})$ は収束。下に有界で単調減少な数列についても同様。

つぎに、本題の証明において必要な命題を準備します。

有界単調増加な数列 $(a_{n})$ と有界単調減少な数列 $(b_{n})$ と区間 $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ において、 $| I_{n} | = b_{n} - a_{n}$ とおくとき、 $| I_{n} | \to 0 (n \to \infty)$ ならば $\cap_{n \in N} I_{n} = {c}$ となる $c$ がただ1つ定まる。

命題2より $(a_{n}), (b_{n})$ は収束し、 $lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ から、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n}$
である。この極限値を $c$ とする。
$\cap_{n \in N} I_{n} = {c, d} (c \neq d)$
となるとき、 $ϵ < | c - d |$ となるようにとれば $| a_{n} - c | > ϵ$ となり $(a_{n})$ は $c$ に収束しないので矛盾。

証明

最大値が存在することについて証明する。
$a_{0} = a, b_{0} = b, I_{0} = [a, b]$
とし、二つの区間
$[a_{n}, \frac{a_{n} + b_{n}}{2}], [\frac{a_{n} + b_{n}}{2}, b_{n}]$
のうち、各区間における $f$ の上限が大きい方をとり、それを $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ とする。すると、 $(a_{n}), (b_{n})$ は有界で単調増加、単調減少であるため収束し、その極限値は $| I_{n} | = 2 | I_{n + 1} |$ であることから等しく、これを $c$ とする。すると、
$sup_{x \in I} f (x) = f (c)$
であり、 $c \in I$ であるから $I$ 上で $f$ の最大値は存在する。最小値についても同様の議論によって示せる。(証明終)