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連続関数における有界閉区間上の最大値最小値の存在について

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はじめに

本記事は、 こちら の記事において H.E氏 の指摘の中でアドバイス頂いた方法を用いた証明となります。

定理

今回扱う定理の主張とは、以下のようなものです。

閉区間$I=[a,b]$上定義された連続関数$f$はその区間で最大値、最小値をもつ。

証明の準備

今回の証明において、実数の空でない有界部分集合$A$に上限$\sup A$が存在することを公理とします。すると、次の命題が成立します。

単調有界数列は収束する。

上に有界で単調増加な数列$(a_n)$について考える。$(a_n)$は有界であるので上限が存在し、それを$\alpha$とおくと、任意の$\epsilon>0$に対し、ある$N\in\mathbb{N}$が存在し、$n>N$ならば$0<\alpha-a_n<\epsilon$となり、数列の収束の定義($\epsilon-N$論法)から数列$(a_n)$は収束。下に有界で単調減少な数列についても同様。

つぎに、本題の証明において必要な命題を準備します。

有界単調増加な数列$(a_n)$と有界単調減少な数列$(b_n)$と区間$I_n=[a_n,b_n]$において、$|I_n|=b_n-a_n$とおくとき、$|I_n|\to0\ (n\to\infty)$ならば$\cap_{n\in\mathbb{N}}I_n=\{c\}$となる$c$がただ1つ定まる。

命題2より$(a_n),\ (b_n)$は収束し、$\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$から、$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n$
である。この極限値を$c$とする。
$$ \cap_{n\in\mathbb{N}}I_n=\{c,d\} \ (c\neq d) $$
となるとき、$\epsilon<|c-d|$となるようにとれば$|a_n-c|>\epsilon$となり$(a_n)$$c$に収束しないので矛盾。

証明

最大値が存在することについて証明する。
$$ a_0=a,\ b_0=b,\ I_0=[a,b] $$
とし、二つの区間
$$ \left[a_n,\frac{a_n+b_n}{2} \right],\ \left[\frac{a_n+b_n}{2},b_n\right] $$
のうち、各区間における$f$の上限が大きい方をとり、それを$I_n=[a_n,b_n]$とする。すると、$(a_n), (b_n)$は有界で単調増加、単調減少であるため収束し、その極限値は$|I_n|=2|I_{n+1}|$であることから等しく、これを$c$とする。すると、
$$ \sup_{x\in I}f(x)=f(c) $$
であり、$c\in I$であるから$I$上で$f$の最大値は存在する。最小値についても同様の議論によって示せる。(証明終)

最後に

高校数学を超えた範囲になりましたが、なるべく厳密に証明しました。間違い等ありましたらご指摘いただけると幸いです。

投稿日:202113

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空集合
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