大学数学基礎解説

級数解説15

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2020/01/06にツイートした級数です。

https://twitter.com/sounansya_29/status/1346816698557501446?s=21

$\sum_{n = 3}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1} F_{n} L_{n}}{F_{n}^{4} - 1} = \frac{1}{3}$

このでの $F_{n}$ はフィボナッチ数、 $L_{n}$ はリュカ数で、それぞれ

$F_{0} = 0, F_{1} = 1, F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}$

$L_{0} = 2, L_{1} = 1, L_{n} = L_{n - 1} + L_{n - 2}$

と定義されます。

$F_{n}^{4} - 1 = F_{n - 2} F_{n - 1} F_{n + 1} F_{n + 2}$

こちらを参照してください。

$L_{n} = (- 1)^{n} (F_{n - 1}^{2} F_{n + 2} - F_{n + 1}^{2} F_{n - 2})$ ( $n$ は $3$ 以上の整数)

帰納法

1. $n = 2$ の時
$L_{2} = 3, (- 1)^{2} (F_{1}^{2} F_{4}^{2} - F_{3}^{2} F_{0}) = 3$ より成立します。

2. $n = 3$ の時
$L_{3} = 4, (- 1)^{3} (F_{2}^{2} F_{5}^{2} - F_{4}^{2} F_{1}) = 4$ より成立します。

3. $n = k, n = k + 1$ の時に成立すると仮定します。すると、

$\begin{array}{rcl} L_{k + 2} \\ = & L_{k} + L_{k + 1} \\ = & (- 1)^{k - 1} (F_{k - 1}^{2} F_{k + 2} - F_{k + 1}^{2} F_{k - 2}) + (- 1)^{k} (F_{k}^{2} F_{k + 3} - F_{k + 2}^{2} F_{k - 1}) \\ = & (- 1)^{k - 1} (F_{k - 1}^{2} (2 F_{k} + F_{k - 1}) - F_{k}^{2} (3 F_{k} + 2 F_{k - 1}) - F_{k + 1}^{2} (F_{k} - F_{k - 1}) + (2 F_{k} + F_{k - 1})^{2} F_{k - 1} - F_{k + 1}^{2} (5 F_{k} + 3 F_{k - 1}) + F_{k} (2 F_{k} + 2 F_{k - 1}^{2})) + (- 1)^{k} (F_{k + 1}^{2} F_{k + 4} - F_{k + 3}^{2} F_{k}) \\ = & (- 1)^{k - 1} (F_{k} (3 F_{k} + 2 F_{k - 1}) (3 F_{k} + 2 F_{k - 1} - F_{k}) + F_{k - 1} (2 F_{k} + F_{k - 1}) (F_{k - 1} + 2 F_{k} + F_{k - 1}) - F_{k + 1}^{2} (F_{k} - F_{k - 1} + 5 F_{k} + 3 F_{k - 1})) + (- 1)^{k} (F_{k + 1}^{2} F_{k + 4} - F_{k + 3}^{2} F_{k}) \\ = & 2 (- 1)^{k - 1} F_{k + 1} (F_{k} (3 F_{k} + 2 F_{k - 1}) + F_{k - 1} (2 F_{k} + F_{k - 1}) - F_{k + 1} (3 F_{k} + F_{k - 1})) + (- 1)^{k} (F_{k + 1}^{2} F_{k + 4} - F_{k + 3}^{2} F_{k}) \\ = & 2 (- 1)^{k - 1} F_{k + 1} (3 F_{n}^{2} + 4 F_{n} F_{n - 1} + F_{n - 1}^{2} - (F_{n} + F_{n - 1}) (3 F_{n} + F_{n - 1})) + (- 1)^{k} (F_{k + 1}^{2} F_{k + 4} - F_{k + 3}^{2} F_{k}) \\ = & (- 1)^{k + 2} (F_{k + 1}^{2} F_{k + 4} - F_{k + 3}^{2} F_{k}) \end{array}$

より、 $n = k + 2$ の時も成立することがわかります。

1.2.3.より、数学的帰納法により命題が成立することが証明されました。

補題2の証明ですが、もっと綺麗な方法を知っている！という人がいましたら是非教えてください。

それでは本題に移ります。

[解説]

$\begin{array}{rcl} \sum_{n = 3}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1} F_{n} L_{n}}{F_{n}^{4} - 1} \\ = & - \sum_{n = 3}^{\infty} \frac{F_{n} (F_{n - 1}^{2} F_{n + 2} - F_{n + 1}^{2} F_{n - 2})}{F_{n - 2} F_{n - 1} F_{n + 1} F_{n + 2}} \\ = & \sum_{n = 3}^{\infty} (\frac{F_{n} F_{n + 1}}{F_{n - 1} F_{n + 2}} - \frac{F_{n - 1} F_{n}}{F_{n - 2} F_{n + 1}}) \\ = & lim_{k \to \infty} \sum_{n = 3}^{k} (\frac{F_{n} F_{n + 1}}{F_{n - 1} F_{n + 2}} - \frac{F_{n - 1} F_{n}}{F_{n - 2} F_{n + 1}}) \\ = & lim_{k \to \infty} (\frac{F_{k} F_{k + 1}}{F_{k - 1} F_{k + 2}} - \frac{F_{2} F_{3}}{F_{1} F_{4}}) \\ = & 1 - \frac{2}{3} \\ = & \frac{1}{3} \end{array}$