級数解説15
2020/01/06にツイートした級数です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1346816698557501446?s=21
$$ \d\sum_{n=3}^\infty\frac{(-1)^{n-1}F_nL_n}{F_n^4-1}=\frac13 $$
このでの$\d F_n$はフィボナッチ数、$\d L_n$はリュカ数で、それぞれ
$\d F_0=0~,~F_1=1~,~F_n=F_{n-1}+F_{n-2} $
$\d L_0=2~,~L_1=1~,~L_n=L_{n-1}+L_{n-2}$
と定義されます。
$\d F_n^4-1=F_{n-2}F_{n-1}F_{n+1}F_{n+2} $
こちら を参照してください。
$\d L_n=(-1)^n(F_{n-1}^2F_{n+2}-F_{n+1}^2F_{n-2})~~~$($n$は$3$以上の整数)
1.$n=2$の時
$\d L_2=3~,~(-1)^2(F_1^2F_4^2-F_3^2F_0)=3~$より成立します。
2.$n=3$の時
$\d L_3=4~,~(-1)^3(F_2^2F_5^2-F_4^2F_1)=4~$より成立します。
3.$n=k~,~n=k+1$の時に成立すると仮定します。すると、
$ \begin{eqnarray*} &&L_{k+2}\\ &=&L_k+L_{k+1}\\ &=&(-1)^{k-1}(F_{k-1}^2F_{k+2}-F_{k+1}^2F_{k-2})+(-1)^k(F_k^2F_{k+3}-F_{k+2}^2F_{k-1})\\ &=&(-1)^{k-1}(F_{k-1}^2(2F_k+F_{k-1})-F_k^2(3F_k+2F_{k-1})-F_{k+1}^2(F_k-F_{k-1})+(2F_k+F_{k-1})^2F_{k-1}-F_{k+1}^2(5F_k+3F_{k-1})+F_k(2F_k+2F_{k-1}^2))+(-1)^k(F_{k+1}^2F_{k+4}-F_{k+3}^2F_k)\\ &=&(-1)^{k-1}(F_k(3F_k+2F_{k-1})(3F_k+2F_{k-1}-F_k)+F_{k-1}(2F_k+F_{k-1})(F_{k-1}+2F_k+F_{k-1})-F_{k+1}^2(F_k-F_{k-1}+5F_k+3F_{k-1}))+(-1)^k(F_{k+1}^2F_{k+4}-F_{k+3}^2F_k)\\ &=&2(-1)^{k-1}F_{k+1}(F_k(3F_k+2F_{k-1})+F_{k-1}(2F_k+F_{k-1})-F_{k+1}(3F_k+F_{k-1}))+(-1)^k(F_{k+1}^2F_{k+4}-F_{k+3}^2F_k)\\ &=&2(-1)^{k-1}F_{k+1}(3F_n^2+4F_nF_{n-1}+F_{n-1}^2-(F_n+F_{n-1})(3F_n+F_{n-1}))+(-1)^k(F_{k+1}^2F_{k+4}-F_{k+3}^2F_k)\\ &=&(-1)^{k+2}(F_{k+1}^2F_{k+4}-F_{k+3}^2F_k)\\ \end{eqnarray*} $
より、$n=k+2$の時も成立することがわかります。
1.2.3.より、数学的帰納法により命題が成立することが証明されました。
補題2の証明ですが、もっと綺麗な方法を知っている！という人がいましたら是非教えてください。
それでは本題に移ります。
[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=3}^\infty\frac{(-1)^{n-1}F_nL_n}{F_n^4-1}\\ &=&-\sum_{n=3}^\infty\frac{F_n(F_{n-1}^2F_{n+2}-F_{n+1}^2F_{n-2})}{F_{n-2}F_{n-1}F_{n+1}F_{n+2}}\\ &=&\sum_{n=3}^\infty\l\frac{F_nF_{n+1}}{F_{n-1}F_{n+2}}-\frac{F_{n-1}F_n}{F_{n-2}F_{n+1}} \r\\ &=&\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{n=3}^k\l\frac{F_nF_{n+1}}{F_{n-1}F_{n+2}}-\frac{F_{n-1}F_n}{F_{n-2}F_{n+1}} \r\\ &=&\lim_{k\rightarrow\infty}\l\frac{F_kF_{k+1}}{F_{k-1}F_{k+2}}-\frac{F_2F_3}{F_1F_4} \r\\ &=&1-\frac23\\ &=&\frac13 \end{eqnarray*} $
以上より、
$\d\sum_{n=3}^\infty\frac{(-1)^{n-1}F_nL_n}{F_n^4-1}=\frac13$
が証明されました。
