ソフィー・ジェルマン素数とメルセンヌ数（よりシンプルな証明）

初等整数論,ソフィージェルマン素数,素数

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経緯

ソフィー・ジェルマン素数とメルセンヌ数で、以下の命題を取り上げ、その証明を書きました。

ソフィー・ジェルマン素数$p$が$p\equiv 3\pmod{4}$を満たすとき、$2p+1$はメルセンヌ数$2^p-1$の約数となる。

その際、コメントを頂き、よりシンプルな証明を教えて頂きました。ありがとうございます！

とても嬉しかったので、教えて頂いた証明をこちらに記しておこうと思います（かなりギチギチに行間を埋めまくって書いていきます）。

前提知識

ソフィー・ジェルマン素数

$2p+1$が素数になるような素数$p$をソフィー・ジェルマン素数という。

フェルマーの小定理

$p$を素数、$a$を$p$の倍数ではない任意の整数であるとする。このとき、以下が成立する。
$$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $$

第二補充法則

$p$を奇素数とする。このとき、以下が成り立つ。
$$ \biggl(\frac{2}{p}\biggr)=(-1)^\frac{p^2-1}{8} $$

本編

ソフィー・ジェルマン素数$p$が$p\equiv 3\pmod{4}$を満たすとき、$2p+1$はメルセンヌ数$2^p-1$の約数となる。

$p\equiv 3\pmod{4}$より、ある整数$k$が存在して$p=4k+3$とかける。
よって
$$ \begin{align*} 2p+1&=2(4k+3)+1\\ &=8k+7 \end{align*} $$
となる。したがって
$$ \begin{align*} \frac{(2p+1)^2-1}{8}&=\frac{(8k+7)^2-1}{8}\\ &=\frac{8^2k^2+2\cdot 8\cdot 7k+48}{8}\\ &=\frac{16(4k^2+7k+3)}{8}\\ &=2(4k^2+7k+3) \end{align*} $$
となるため
$$ \frac{(2p+1)^2-1}{8}\equiv 0\pmod{2} $$
となる。
このことと、$2p+1$は奇素数であることから、第二補充法則より
$$ \biggl(\frac{2}{2p+1}\biggr)=(-1)^\frac{(2p+1)^2-1}{8}=1 $$
となる。
したがって、ある整数$a$が存在して
$$ 2 \equiv a^2 \pmod{2p+1} $$
となる。
よって
$$ 2^p \equiv a^{2p} \pmod{2p+1}\cdots ① $$
が成り立つ。
ここで、$a \equiv 0 \pmod{2p+1}$と仮定すると、$a^2 \equiv 0 \pmod{2p+1}$となり、$a^2 \equiv 2 \pmod{2p+1} $に矛盾する。
したがって、$a \not \equiv 0 \pmod{2p+1}$である。
よって、フェルマーの小定理より
$$ a^{(2p+1)-1} \equiv 1 \pmod{2p+1} $$
となり
$$ a^{2p} \equiv 1 \pmod{2p+1} $$
が成り立つ。
よって、①より
$$ 2^p \equiv a^{2p}\equiv 1 \pmod{2p+1} $$
となり
$$ 2^p -1\equiv 0 \pmod{2p+1} $$
が成り立つ。